专题25以四边形为载体的几何综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用）

这是一份专题25以四边形为载体的几何综合问题-（学生版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用），共12页。

【例1】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF=45°．
(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【例2】（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
(1)如图1，当ADAB＝AGAE＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当ADAB＝AGAE＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝5，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
【例3】（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【例4】（2022·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【例5】（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE．
(1)若AE=CE，
①证明ABCD为菱形；
②若AB=5，AE=3，求BD的长．
(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE．若F在直线CE上，求ABBC的值．
一、解答题【共20题】
1．（2022·山西实验中学模拟预测）综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得∠APE=90°，AP=PE，且点E恰好在射线CD上．
(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_________；
探索发现：
(2)当点E在正方形ABCD外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：
(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=22，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE=62，求△BPE的面积．
2．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G．求证：△BCE≌△CDG；
（2）在（1）的条件下，如图2，延长BF交AD边于点H．若CEBC=23，求GHDH的值；
（3）如图3，四边形ABCD为矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF分别交AD于G，H两点，若ABBC=34,DHGH=45，则DEEC的值为___________．（直接写出结果）
3．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点B、C、E在同一直线上，BC=m(m>1)，CE=1．连接AF、BG．
(1)求图1中AF、BG的长（用含m的代数式表示）．
(2)如图2，正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转α度（0°BC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE．
(1)连接CD，求证：∠BDC=2∠DAC；
(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明．
5．（2022·浙江绍兴·一模）如图①，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形．
(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．
(2)如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4．
①线段AE,CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．
②当△CDE为等腰三角形时，求CG的长．
6．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校三模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
(1)求线段CE的长；
(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设DN=x．
①求证四边形AFGD为菱形；
②是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发现．
(1)如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是AB边上任意一点，则CP的最小值为______．
(2)如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
8．（2022·广东· 三模）特例发现：
如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CE＝CF时，则易得BE＝DF，BE⊥DF．
(1)如图2，点E为正方形ABCD内一点，且∠ECF＝90°，CF＝CE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由；
(2)如图3，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在矩形ABCD内部，∠ECF＝90°，点E，F在直线BC的两侧，CE∶CF＝1∶2，连接EF，BE，DE，BF，DF．请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；
(3)若（2）中矩形ABCD的边AB＝3，Rt△CEF的边CE＝1，当BE＝DF时，求BF的长．
9．（2022·浙江丽水·一模）在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E在AD边上，AE=4，点P是边AB上一个动点，连结EP，将△AEP沿EP翻折得到△FEP．
(1)当EF∥AB时，求∠AEP的度数；
(2)若点F落在对角线BD上，求证：△DEF∼△BFP；
(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何值时，△BHP为直角三角形．
10．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题．如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BH⊥AE于H，延长HB交CG于点M．通过测量发现CM＝MG．为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CN⊥BM于点N．他已经证明了△ABH≌△BCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了．
(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；
(2)深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且ABBC=BGBE=k（其中k＞0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为______；
(3)拓展应用：在图3中，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=30°，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为______．
11．（2022·广东·佛山市华英学校三模）已知，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC,AB∥CD，AC平分∠BAD．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，过点A作AN⊥BC于N，若AC=6，BD=8，求AN的长；
(3)如图3，CA=CB，点R为CB延长线上一点，连接OR交AB于点E，点F、H分别是AB、BC边上一点(BF>BH)，且OF=OH，过点O作BC的垂线，垂足为M，∠HOM=∠BOR，当BF=10，BH=8时，求RB的长．
12．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）在矩形ABCD中，AD>CD，O是AC的中点，点P是AO上一点，连接PD，过点P作PE⊥PD交BC于点E，连接DE．
(1)如图（1），点P在AO上运动时∠DEP的大小是否改变？请说明理由．
(2)如图（2），连接PB，若PB⊥AC，DE⊥AC交AC于点H，PB=4，DP=26，求ADCD的值．
13．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）[阅读理解]在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB．
[灵活应用]如图2，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ΔABD沿AD翻折得到ΔAED，连接BE，CE．

(1)根据题意，则DE的长为 ．
(2)判断ΔBCE的形状，并说明理由．
(3)请直接写出CE的长 ．
14．（2022·广东·东莞市光明中学三模）△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①AB与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：______；
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长．
15．（2022·福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线y=ax2-4ax+2(a