云南省楚雄彝族自治州民族中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省楚雄彝族自治州民族中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，是方程的两个虚数根，则( )
A.0B.C.2D.4
3．已知向量，满足，，则( )
A.B.C.D.
4．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t(月)近似满足关系(其中a、b为正常数)，经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过( )个月(参考数据：)
A.20B.22C.24D.26
5．若，则函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
6．将函数()的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.5
7．已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立.若，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点A为球心，为半径的球面与侧面的交线长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则( )
A.A与B互斥B.C与D互为对立事件
C.A与C相互独立D.
10．已知函数，则( )
A.在定义域上单调递增B.曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C.的图象关于点对称D.
11．在棱长为2的正方体中，P是线段上的动点，则( )
A.存在点P，使
B.存在点P，使点P到直线的距离为
C.存在点P，使直线与所成角的余弦值为
D.存在点P，使点A，C到平面的距离之和为3
12．已知抛物线C：的焦点为F，过点()分别向抛物线C与圆F：作切线，切点分别为P，Q(P，Q异于坐标原点O)，则( )
A.B.
C.P，Q，F三点共线D.
三、填空题
13．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据()，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______.
14．将函数()的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______.
15．除以1000的余数是______.
16．过双曲线(，)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线与双曲线的左，右两支分別交于点M，N.若，则双曲线的离心率为______.
四、解答题
17．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度(单位：)进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.5.
(1)估计这批种子密度的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发相互独立).
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求的值；
(2)若，的面积为3，求c的值.
19．已知数列的前n项和为，且是首项为4，公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，，求m的取值范围.
20．如图，四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，P是棱的中点，点Q在棱上.
(1)证明：；
(2)若平面，求二面角的余弦值.
21．已知椭圆：()的焦距与短轴长相等，左右焦点分别为，，且为抛物线E：的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B为椭圆C上两点，且都在x轴上方，满足.若直线与抛物线E没有交点，求四边形的面积的取值范围.
22．已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：，，
.
故选：C.
2．答案：C
解析：复数，是方程的两个虚数根，，为，.
故选：C.
3．答案：A
解析：结合题意：，，
，，
.
故选：A.
4．答案：B
解析：由题意，可得，解得，则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，
所以，则.
故选：B.
5．答案：B
解析：对比各个选项可知，
由三次函数图象与性质可得，()是函数的零点，
令，
可知()且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C；
若，则函数的图象形状为增减增，
具体在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合；
若，则函数的图象形状为减增减，
具体在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意可得
，，，解得，，
又，当时，取得最小值为5.
故选：D.
7．答案：B
解析：由得.
令，则，
所以在R上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则.
故选：B.
8．答案：C
解析：将正三棱台补形成正三棱锥，
如图，由得.
，，为正三角形，
三棱锥为正四面体.令正的中心为O，连接，，
则平面，，.
球半径为，这个球面截平面所得截面小圆是以O为圆心，为半径的圆.
在正中，取，的中点H，E，取的三等分点G，F，连接，，
显然，即，，同理，即，
六边形是正六边形，点，，E，F，G，H在此球面截平面所得截面小圆上.
连接，，，，则，此球面与侧面的交线为图中的两段圆弧(实线)，
交线长度为.
故选：C.
9．答案：BC
解析：基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，
事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；
事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”.
，A与B不是互斥事件，故A错误；
，，C与D互为对立事件，故B正确；
事件“12，21”，，，，，A与C相互独立，故C正确；
事件“31，41，32，42”，，，，故D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：对A，，，
根据复合函数单调性知在，上单调递增，
当时，，当时，，在定义域上不是单调递增，故A错误；
对B，因为，故B正确；
对C，，，
的图象关于点对称，故C错误；
，由可得D正确.
故选：BD.
11．答案：AB
解析：连接，则，故A正确；
点P到直线的距离，故B正确；
以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，则，，
假设存在点P，使直线与所成角的余弦值为，
则，
整理得，解得，故C错误；
在平面中，过，分别作，，垂足为，，
则点，到平面的距离之和为.
设，则，
当点P与重合时，点A，C到平面的距离之和最大，
所以不存在点P，使点A，C到平面的距离之和为3，故D错误.
故选：AB.
12．答案：ABC
解析：由已知可得，，
由题意可设：，
联立得，.
因为，直线与抛物线相切，
所以，，即，
所以，，故.
设，显然y轴与圆F：相切于原点O，
则圆的几何性质可知O，Q两点关于直线：对称，
所以，，解得，故.
对于A项，因为，，
所以，，故A正确；
对于B项，因为，
所以，所以，故B正确；
对于C项，因为，，
所以，共线，所以P，Q，F三点共线，故C正确；
对于D项，设，，
则，，
所以，
即，，，
所以，故D错误.
故选：ABC.
13．答案：/
解析：经验回归直线过样本点的中心，，，
经验回归方程为.当时，，残差为.
故答案为：0.6.
14．答案：
解析：，由，即，可得，，
由，即，可得，，
函数在区间()上单调递减，在区间()上单调递增，
函数极小值点为，，，，
数列是公差为的等差数列，
.
故答案为：.
15．答案：24
解析：
，
除以1000的余数是24.
故答案为：24.
16．答案：
解析：如图，
根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为.
设双曲线的左焦点为，连接，则.
在中，设，则，
在中，由余弦定理得，
将代入整理后得，
同理.
，，
该双曲线的离心率为.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)分布列见解析；
解析：(1)估计种子密度的平均值为；
(2)由频率分布直方图知优种占比为，
任选一粒种子萌发的概率.
因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数X符合二项分布，
所以X可取的值为0，1，2，
所以，
，
，
所以X的分布列为：
所以期望，
故期望值为1.36.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，
得，
则，两边同除以得，
，
解得；
(2)由(1)知，
，
，
，
，且，
，
由正弦定理可得，
，，
，
，
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以，
当时，，所以，
又符合上式，所以；
(2)由(1)得，
所以
，
因为，，所以，所以，
由题意可得，即m的取值范围是.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，取的中点R，连接，，则，
由知，P，R，B，C四点共面，
由题设知，，
又，平面，平面，
平面，，
，且，均为锐角，
，
，，
，平面，平面，
平面，；
(2)平面，平面平面，
，四边形为平行四边形，，
由题设知，，两两垂直，
以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得.
设是平面的一个法向量，
则，令，得.
，
即二面角的余弦值为.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意椭圆的右焦点为，即，且，，，椭圆C的方程为.
(2)如图，设直线交椭圆C于另一点，直线交椭圆C于另一点，由得，由椭圆对称性得，，且四边形为平行四边形.
由题意直线的斜率不为0，设直线：，
联立，消去x整理得，
由得.
联立，消去x整理得，
设，，则，，
，
与间的距离(即点到的距离)，
，
令，函数在区间上单调递增，
，，
四边形的面积的取值范围是.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)当时，，
，.
令，则，
易知当时，；当，，在上递增.
，当时，，递减；
当时，，递增，.
(2)，.
当时，，
令，取，
，，，，，
，，
有小于零的函数值，
，存在使得，不合题意；
当时，满足题意；
当时，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，即，将替换x代入上式可得，
当时，
，
记，则，
单调递增，当时，，
，；
当时，，
，
记，则，
在上单调递增，，
，，，
，即，
综上，.
X
0
1
2
P