调兵山市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份调兵山市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合的真子集个数为( )
A.3B.4C.5D.6
2．函数,则( )
A.B.C.1D.2
3．某班的全体学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,,,.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( )
A.40B.45C.50D.60
4．已知,则( )
A.B.C.D.
5．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点,且经过该正方形的另两个顶点,设双曲线E的一条渐近线斜率为k,则为( )
A.B.C.D.
7．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有( )种
A.B.C.D.
8．设A,B为两个事件,已知,,,则( )
C.0.4D.0.5
二、多项选择题
9．要得到如图所示图象,可由图象经过怎样的变换得到( )
A.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变
C.横坐标向右平移个单位,纵坐标不变,再将横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
D.横坐标向右平移个单位,纵坐标不变,再将横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
10．以下四个正方体中，满足平面CDE的有( )
A.B.
C.D.
11．已知曲线C的方程为( )
A.当时,曲线C是半径为2的圆
B.当时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为
C.存在实数k,使得曲线C为离心率为的双曲线
D.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
三、填空题
12．已知,复数是纯虚数,则___________.
13．为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为,则经过_______h后池水中药品的浓度达到最大.
14．的展开式中,的系数为______.
四、解答题
15．某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式:
方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试
方式二:周六一天培训4小时,周日测试
公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组,乙组)先培训;甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如表:
（1）用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1),并据此判断哪种培训方式效率更高?
（2）在甲乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人来自甲组的概率.
16．在①,
②,
③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答该问题.
在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足_______,.
（1）若,求的面积;
（2）求周长l的取值范围.
17．北京时间年月日,历时天的东京奥运会落下帷幕,中国代表团以金､银､铜､打破项世界纪录､创造项奥运会纪录的傲人成绩,顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获金银的好成绩,参赛的名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国,某厂家生产了两批同种规格的乒乓球,第一批占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在将两批乒乓球混合,工作人员从中抽样检查·
（1）从混合的乒乓球中任取1个.
(i)求这个乒乓球是合格品的概率;
(ii)已知取到的是合格品,求它取自第一批乒乓球的概率.
（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次,每次抽取1个,记两次抽取中,抽取的乒乓球是第二批的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,侧棱底面ABCD,AB垂直于AD和BC,,,M是棱SB的中点.
（1）求证:平面SCD;
（2）求平面SCD与平面SAB所成的角的余弦值;
（3）设点N是线段CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为,求的最大值.
19．已知椭圆，的一个顶点坐标为，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线，与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段的中点为M，点，求证：点M不在以为直径的圆上.
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意可知集合中有3个元素,所以共有个,
即有,,三个真子集.
故选:A
2．答案：D
解析：由,
得,
则.
故选:D.
3．答案：C
解析：由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为,
由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是,
故选:C
4．答案：C
解析：.
故选:C
5．答案：C
解析：球O的半径为R,则,解得：,
由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,
体积最大值为.
故选：C.
6．答案：C
解析：设正方形ABCD的边长为,曲线E以正方形顶点A,B为焦点,过正方形顶点C,D,如图所示,
则,代入曲线的方程,,即,
又因为,
所以,即,
等式两边同时除以得,
设,则,即,
解得或(不合题意,舍去),
即,所以,
故选:C.
7．答案：C
解析：先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，
若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为2、2、1，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C.
8．答案：B
解析：由,,得,
所以.
故选：B.
9．答案：BC
解析：由题意设图象对应的函数为,
由图象可知：,
,所以,,
当时,,
得,,
即,,取,得,故,
故由的图象到的图象可以：
先将纵坐标不变横坐标变为原来的,再向右平移得到的图象;
先向右平移,再将纵坐标不变横坐标变为原来的得到的图象.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：对A，，，与CE所成角为，故AB与平面CDE不垂直，故A错误；
对B，在正方体中，平面ABD，平面ABD，所以，又，，DE，平面CDE，所以平面CDE，故B正确；
对C，连接AF，BF，如图，
在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，为正三角形，所以，又，AB与CE所成的角为，所以AB与平面CDE不垂直，故C不正确；
对D，连接MB，BN，如图，
因为平面CMEB，平面CMEB，所以，又，
，BM，平面AMB，所以平面AMB，又平面AMB，所以，同理可得，再由，EC，平面ECD，所以平面CDE，故D正确.
故选：BD
11．答案：ABD
解析：A.当时,曲线方程为,所以是半径为2的圆,故正确;
B.当时,曲线方程为,所以是双曲线,且其渐近线方程为,故正确;
C.若曲线C为离心率为的双曲线,则,方程无解,故错误;
D.当时,,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,故不充分,当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时,则,解得,故必要,故正确;
故选：ABD.
12．答案：
解析：因,复数纯虚数,
于是得,解得,
所以.
故答案为:
13．答案：2
解析：
当且仅当且,即时取等号
14．答案：
解析：展开式的通项公式,令,解得:,则,所以的系数为.
故答案为:
15．答案：（1）方式一
（2）
解析：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为,,则
（小时）
（小时）
据此可估计用方式一与方式二培训,员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时,因,据此可判断培训方式一比方式二效率更高;
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,
则这6人中来自甲组的人数为:,
来自乙组的人数为:,
记来自甲组的2人为:a,b;来自乙组的4人为:c,d,e,f,则从这6人中随机抽取
2人的不同方法数有:,,,,,,,,,,,,,,,共15种,
其中至少有1人来自甲组的有:,,,,,,,,
共9种,故所求的概率.
16．答案：（1）
（2）
解析:（1）若选条件①,由及正弦定理,得
即,化简得,
因为,所以,所以,因为,所以.
若选条件②,由及正弦定理,得,即,化简得,
因为,所以,所以,因为,所以.
若选条件③,由化简得,,由余弦定理得,即,因为,所以,
所以三个条件,都能得到.
由余弦定理得,即,解得,
所以的面积.
（2）因为,,由正弦定理得,
因为,
所以,
因为,所以,
所以,即,所以周长l的取值范围为.
17．答案：（1）(i);
(ii);
（2）分布列见解析,.
解析：设事件“任取一个乒乓球是合格品”,事件“产品取自第一批”,事件“产品取自第二批”,则且,互斥;
（1）(i)由全概率公式可知:,
所以;
(ii)由贝叶斯公式可知:;
（2）由条件可知:X的可取值为0,1,2,
,
,
,
所以X的分布列为:
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明:因为底面ABCD,AB,平面ABCD,
所以,,
因为,所以AD,AB,AS两两垂直,
所以以A为坐标原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
因为M是棱SB的中点,所以,
所以,,,
设平面的法向量为,则
,令,则,
所以,所以,
因为平面ABCD,所以平面SCD;
（2）因为,,,AB,平面SAB,
所以平面SAB,
所以为平面SAB的一个法向量,
设平面SCD与平面SAB所成的角为,则
,
即平面SCD与平面SAB所成的角的余弦值为;
（3）设,则,
因为点N是线段CD上的动点,所以,得,
所以,则,
由（2）知为平面SAB的一个法向量,
因为MN与平面SAB所成的角为,
所以
,
当,即时,取得最大值,
所以的最大值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：设，，，
由得，
所以，
所以当k为任何实数时，都有，
所以，，
因为线段的中点为M，
所以，，
因为B(1，0)，所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以点M不在以为直径的圆上.
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
X
0
1
2
P
0.36
0.48
0.16