2024年高考押题预测卷—数学（全国卷文科02）（全解全析）

这是一份2024年高考押题预测卷—数学（全国卷文科02）（全解全析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为或，
则，又，
所以.
故选：B
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，
故虚部为，
故选：A
3．若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【详解】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，则．
化目标函数为．
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，
则有最小值为．
故选：C．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得，
因为，所以，
所以.
故选：B．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，进入第一次循环，得；进入第二次循环，得；
进入第三次循环，得；，；
，此时因，退出循环，输出，
而.
故选：C.
6．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（ ）
A．图中的
B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
【答案】C
【详解】由，得，所以A正确；
这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确；
根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确．
故选：C
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
因为，可知，
又因为，所以.
故选：D
8．已知函数满足，且函数为偶函数，若，则（ ）
A．0B．1012C．2024D．3036
【答案】B
【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称，
所以，
所以函数的周期为4，在中，分别令和1，
得，，即，
所以，
所以.
故选：B.
9．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长和攒尖高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，设为的中点，，
异面直线与所成角为或其补角．
连接，
所以，在正四棱锥中，，，
平面，
，设，则由题意得，
在中，．
故选：C．
10．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆，圆心为，半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，的最小值为：，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.
11．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【详解】由题意知：，
在处取得极值，，
解得：或；
当，时，，
在上单调递增，不合题意；
当，时，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点，满足题意；
，又与同号，.
故选：D.
12．已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】C
【详解】由抛物线的准线方程为，可得，解得，
所以抛物线，
设直线，且，，
联立方程组，整理得，
则，解得，且，，
由，所以A正确；
由，所以B正确；
当时，由，可得，
则，或，，所以，所以C错误；
由，
解得，所以，则，所以D正确．
故选：C
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
【答案】．
【详解】由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
14．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为，
设点，则，
点到的两条浙近线的距离之积为，
解得：，故双曲线方程为：，
故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为．
故答案为：．
15．已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【详解】如图，由对称性可知，点是的中点，设，则，，点是的中点，
由底面矩形的对角线的交点作底面的垂线，过等边三角形的中心作平面的垂线，两条垂线交于点，点是四棱锥外接球的球心，
，，则，
当，即时，等号成立，则的最小值为,
所以四棱锥外接球表面积的最小值为.
故答案为：
16．若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
又，所以，
因为点在边上，，所以，
因为，，所以，
所以，
所以，得，
在中，，
由余弦定理可得，
得．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：，其中．
(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.
【详解】（1）
将表中的数据带入，得到
．3分
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关．5分
（2）
由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，6分
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
，，，，，，，，，，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，8分
其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有7种情况，10分
所以（至少有一名女生）．12分
18．设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【详解】（1）由，，得，解得，1分
由，，所以，所以或，3分
当时，此时；4分
当时，此时；5分
综上可得数列的通项公式为或；6分
（2）因为，所以，则，7分
则
，9分
所以
.12分
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.
(1)证明：平面平面ABCD；
(2)求点A到平面SBC的距离.
【详解】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，1分
易得，，因为，，
所以，，，故，3分
又，，
所以，故，4分
因为平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD，又因为平面SCD，
所以平面平面ABCD.6分
（2）由（1）知平面ABCD，且，
在中，，
所以，
故.8分
在中，，，
所以SB边上的高，
所以.10分
设点A到平面SBC的距离为d，
则，即，解得，
所以点A到平面SBC的距离为.12分
20．已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得，3分
故椭圆方程为4分
（2）当斜率不存在时，易知；5分
②当斜率存在时，设，,，,，
由，得，显然，
所以，，7分
因为，，
所以，9分
因为，
所以，
又，10分
设，则，，解得且，
所以，
综上可得的取值范围为．12分

21．已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
【详解】（1）因为，
所以,1分
令，则，
因为，
当时，，则，即，
此时在上单调递增，3分
当时，，由，得，且，
当或时，，即；
当时，，即，
所以在,上单调递增，在上单调递减；5分
综上，当时，在上单调递增，
当时，在,上单调递增，在上单调递减，
其中.6分
（2）由（1）可知，为的两个极值点，且，
所以，且是方程的两不等正根，
此时，，，
所以，，且有，，8分
则
10分
令，则，令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
所以的最小值为.12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的极坐标为且点在曲线上.
(1)求曲线的普通方程以及曲线的极坐标方程；
(2)已知直线与曲线分别交于，两点，其中，异于原点，求的面积.
【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，
由，得曲线的直角坐标方程为；
由曲线的参数方程为（为参数），又，
得，2分
因为，所以，即，
即曲线的极坐标方程为.
又点在曲线上，所以，解得，
所以曲线的极坐标方程为；4分
（2）因为点，则，即点的直角坐标为，5分
由（1）得曲线的直角坐标方程为，
联立，解得或，所以，
联立，解得或，所以，8分
则，
点到直线的距离，9分
所以.10分
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）当时，可化为.1分
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.4分
故当时，不等式的解集为.5分
（2）因为，
所以等价于.7分
因为，当且仅当时取等号，8分
所以的最小值为，所以，
解得或，
故的取值范围是.10分
历史
物理
合计
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合计
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828