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（高考新构架19题）云南师范大学附属中学2024届高三下学期高考适应性月考卷（八）数学（含解析）
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这是一份（高考新构架19题）云南师范大学附属中学2024届高三下学期高考适应性月考卷（八）数学（含解析），共16页。试卷主要包含了若点在圆O，已知，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
2．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
4．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知为等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．2600B．2480C．1660D．1460
6．已知平面向，，，，， ，若，则的最大值为（ ）
A．8B．C．D．
7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（参号数据：，）
A．0.32元．B．0.44元C．0.56元D．0.64元
8．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2，，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目婴水，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
11．p为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．的离心率为
C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共IS分）
12．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13．我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为______．
14．如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长AB长为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
（1）数据显示，该地区年龄在岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；
（2）对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．
年龄
附：，其中．
16．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．
（1）证明：O，P，三点共线；
（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知，其中为自然对数底数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知有极值，求的所有极值之和的最大值．
18．（本小题满分17分）
平面上一动点满足．
（1）求P点轨迹的方程；
（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并说明：为定值
19．（本小题满分17分）
材料一：有理数都能表示成（s，，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为
材料二：我们知道．当时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数．
设对等式两边求导，
得
对比各项系数，可得：，，，…，；
所以，取，有，
代回原式：．
材料三：对于公比为的等比数列，当时，数列的前n项和
阅读上述材料，完成以下两个问题：
（1）证明：无限循环小数3.7为有理数；
（2）用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．因为为纯虚数，
所以且，即故选C．
2．“，”为真命题，当时，，则，故选D．
3．3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，
抽检总量为件，分层随机抽样，
分别从A，B，C三条生产线抽检，、件，
按照分步乘法计数原理，共有种方法，故选A．
4．配方可得，圆，点在圆O外，
所以，即，解得或，故选A．
5．因为为等差数列，所以，当时，，
所以，，所以，
公差为6；，且也为等差数列，
公差，
所以，故选B．
6．如图，令，，，由余弦定理得，
，，
因为，所以，
则C点在圆E的优弧AB上运动，
其中，，，，
则，所以，
所以故选C．
7．该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米，
则纸箱的体积，表面积，
成本为，
则，令，得，
则．当时，，当时，，
当时，P有最小值，
所以（元），故选D．
8．Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD）如图所示，
其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，
高为2，底面半径为1，体积为；
AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，
半径为1，，，
，
所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为；
ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为，
所以Q的轨迹所围成的几何体体积为，故选A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．因为在上单调递增，
所以，即移项得，故A正确：由基本不等式，取等，，故B正确；
，则，故C正确；
若，则，不一定成立，故D错误，故选ABC．
10．N为为AB的中点，则，
，所以N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；，
又因为，，则，
所以，故C正确；
有向线段，，，
所以，故D正确，故选BCD．
11．如图，在中，
由正弦定理，，
则，即，
所以，，
最大值为，故A正确，B错误；
由题意可得，的．斜率不为0，设，联立方程
得，
恒成立，，，
设与的内切圆半径分别为，，
因为，
，所以，即，
，，，
所以，
即，，所以，C正确；
作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，
设，，，
所以，，
则，
得，同理可得，
所以，故D正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
13．，将函数图象向左平移个单位，
得到的图象，即，它表示的曲线是以为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为．
14．如图，在等腰三角形ABC中，
，，取的角平分线交AC于点D，
则，，
则，且，设，
因为，即，解得，则，正五角星的边长为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）设A＝“此人年龄在[内”，B＝“此人是自行车骑行者”，
则．
（2）由频率分布直方图可得，这100位自行车骑行者中，
年龄岁的共有（人），
其中骑行频率次/周的有（人），
年龄岁的有26人，骑行频率次/周的有（人），
列联表如下：
零假设为：骑行频率与年龄之间无关联．
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
16．（本小题满分15分）
（1）证明：，所以，
而，
所以，即O，P，三点共线．
（2）解：连接，，，所以，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又为BD的中点，，．
，，即．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）可得，P为线段三等分点，
所以，
，，，
设平面PAB的法向量为，
则可取．
设直线与平面PAB所成角为，
则，
直线与平面PAB所成角的正弦值为．
17．（本小题满分15分）
解：（1），
令，解得或．
①当，时，，在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，在R上单调递增；
③当时，，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得，当时，无极值，当时，
有两个极值，分别为，
，
，
令，，，
，令，得，
在上单减，在，上单增，在上单减，
当时，，，
，即为所求．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，）为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，，即；
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，
则，，
假设成立，即，
则有，
即．
又，，
又点P的坐标满足，即，
，
，假设成立，当时，有成立．
此时，由对称性可知，，而，
为定值．
19．（本小题满分17分）
证明：（1）
，
当时，，故为有理数．
（2）由题可得，，
取，有，
假设e为有理数，不妨令（，且，s与t互质），
等式两边同乘t!得：，
易得，为正整数，也为正整数，则亦为正整数，
但
，不可能为正整数，矛盾，
所以e为无理数．
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周
次/周
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
C
D
A
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
ACD
题号
12
13
14
答案
448
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周
18
12
30
次/周
56
14
70
合计
74
26
100
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
2．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
4．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知为等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．2600B．2480C．1660D．1460
6．已知平面向，，，，， ，若，则的最大值为（ ）
A．8B．C．D．
7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（参号数据：，）
A．0.32元．B．0.44元C．0.56元D．0.64元
8．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2，，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目婴水，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
11．p为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．的离心率为
C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共IS分）
12．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
13．我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为______．
14．如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长AB长为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
（1）数据显示，该地区年龄在岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；
（2）对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．
年龄
附：，其中．
16．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．
（1）证明：O，P，三点共线；
（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知，其中为自然对数底数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知有极值，求的所有极值之和的最大值．
18．（本小题满分17分）
平面上一动点满足．
（1）求P点轨迹的方程；
（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并说明：为定值
19．（本小题满分17分）
材料一：有理数都能表示成（s，，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为
材料二：我们知道．当时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数．
设对等式两边求导，
得
对比各项系数，可得：，，，…，；
所以，取，有，
代回原式：．
材料三：对于公比为的等比数列，当时，数列的前n项和
阅读上述材料，完成以下两个问题：
（1）证明：无限循环小数3.7为有理数；
（2）用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．因为为纯虚数，
所以且，即故选C．
2．“，”为真命题，当时，，则，故选D．
3．3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，
抽检总量为件，分层随机抽样，
分别从A，B，C三条生产线抽检，、件，
按照分步乘法计数原理，共有种方法，故选A．
4．配方可得，圆，点在圆O外，
所以，即，解得或，故选A．
5．因为为等差数列，所以，当时，，
所以，，所以，
公差为6；，且也为等差数列，
公差，
所以，故选B．
6．如图，令，，，由余弦定理得，
，，
因为，所以，
则C点在圆E的优弧AB上运动，
其中，，，，
则，所以，
所以故选C．
7．该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米，
则纸箱的体积，表面积，
成本为，
则，令，得，
则．当时，，当时，，
当时，P有最小值，
所以（元），故选D．
8．Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD）如图所示，
其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，
高为2，底面半径为1，体积为；
AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，
半径为1，，，
，
所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为；
ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为，
所以Q的轨迹所围成的几何体体积为，故选A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．因为在上单调递增，
所以，即移项得，故A正确：由基本不等式，取等，，故B正确；
，则，故C正确；
若，则，不一定成立，故D错误，故选ABC．
10．N为为AB的中点，则，
，所以N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；，
又因为，，则，
所以，故C正确；
有向线段，，，
所以，故D正确，故选BCD．
11．如图，在中，
由正弦定理，，
则，即，
所以，，
最大值为，故A正确，B错误；
由题意可得，的．斜率不为0，设，联立方程
得，
恒成立，，，
设与的内切圆半径分别为，，
因为，
，所以，即，
，，，
所以，
即，，所以，C正确；
作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，
设，，，
所以，，
则，
得，同理可得，
所以，故D正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
13．，将函数图象向左平移个单位，
得到的图象，即，它表示的曲线是以为焦点的抛物线，
则原函数图象的焦点坐标为．
14．如图，在等腰三角形ABC中，
，，取的角平分线交AC于点D，
则，，
则，且，设，
因为，即，解得，则，正五角星的边长为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）设A＝“此人年龄在[内”，B＝“此人是自行车骑行者”，
则．
（2）由频率分布直方图可得，这100位自行车骑行者中，
年龄岁的共有（人），
其中骑行频率次/周的有（人），
年龄岁的有26人，骑行频率次/周的有（人），
列联表如下：
零假设为：骑行频率与年龄之间无关联．
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
16．（本小题满分15分）
（1）证明：，所以，
而，
所以，即O，P，三点共线．
（2）解：连接，，，所以，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又为BD的中点，，．
，，即．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）可得，P为线段三等分点，
所以，
，，，
设平面PAB的法向量为，
则可取．
设直线与平面PAB所成角为，
则，
直线与平面PAB所成角的正弦值为．
17．（本小题满分15分）
解：（1），
令，解得或．
①当，时，，在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，在R上单调递增；
③当时，，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得，当时，无极值，当时，
有两个极值，分别为，
，
，
令，，，
，令，得，
在上单减，在，上单增，在上单减，
当时，，，
，即为所求．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，
由双曲线的定义，P点轨迹是以，）为焦点的双曲线的左支，
设，则，，，
所以的方程为．
（2）如图，不妨设点P在第二象限，
①当的斜率不存在时，
，令，解得，则，此时，
在中，，，，即；
②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，
则，，
假设成立，即，
则有，
即．
又，，
又点P的坐标满足，即，
，
，假设成立，当时，有成立．
此时，由对称性可知，，而，
为定值．
19．（本小题满分17分）
证明：（1）
，
当时，，故为有理数．
（2）由题可得，，
取，有，
假设e为有理数，不妨令（，且，s与t互质），
等式两边同乘t!得：，
易得，为正整数，也为正整数，则亦为正整数，
但
，不可能为正整数，矛盾，
所以e为无理数．
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周
次/周
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
C
D
A
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
ACD
题号
12
13
14
答案
448
骑行频率
年龄
合计
岁
岁
次/周
18
12
30
次/周
56
14
70
合计
74
26
100
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