(高考新构架19题)2024届天津市河北区高三总复习质量检测(一)数学试卷(含答案)
展开第I卷(选择题共45分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在指定位置粘贴考试用条形码.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
如果事件互斥,那么
如果事件相互独立,那么
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.设,则“”是“函数在上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知甲乙两组数据分别为和,则下列说法中不正确的是
A.甲组数据中第70百分位数为23 B.甲乙两组数据的极差相同
C.乙组数据的中位数为25.5 D.甲乙两组数据的方差相同
4.函数的导数为,则的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.若,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
6.一个体积为的球在一个正三棱柱的内部,且球面与该正三棱柱的所有面都相切,则此正三棱柱的体积为( )
A.18 B.27 C.36 D.54
7.关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;
②在区间上单调;
③的最大值为,最小值为,则;
④最小正周期是.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线,垂足为交另一条渐近线于点,且点在点之间,若,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图,点在以为直径的圆上,,过作圆经过点的切线的垂线,垂足为,则的最大值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
第II卷
注意事项:
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.
3.本卷共11小题,共105分.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸上)
10.是虚数单位,复数满足,则__________.
11.若的展开式中常数项为,则__________.
12.直线将圆分成两段圆弧,则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为__________.
13.已知某地区烟民的肺癌发病率为,先用低剂量药物进行肺癌䈐查,检查结果分阳性和阴性,阳性被认为是患病,阴性被认为是无病.医学研究表明,化验结果是存在错误的,化验的准确率为,即患有肺癌的人其化验结果呈阳性,而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________;现某烟民的检验结果为阳性,请问他患肺癌的概率为__________.
14.已知,则的最小值为__________.
15.函数若函数恰有两个不同的笭点,则实数的取值范围为__________.
三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分14分)
在中,角的对边分别为,已知.
(1)求角;
(2)若,求的值;
(3)若为的中点,且,求的面积.
17.(本小题满分15分)
如图,三棱台中,,侧棱平面,点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离:
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
18.(本小题满分15分)
设椭圆的离心率等于,拋物线的焦点是椭圆的一个顶点,分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)动点为椭圆上异于的两点,设直线的斜率分别为,且,求证:直线经过定点.
19.(本小题满分15分)
已知是等差数列,其公差大于1,其前项和为是等比数列,公比为,已知.
(1)求和的通项公式;
(2)若正整数满足,求证:不能成等差数列;
(3)记,求的前项和.
20.(本小题满分16分)
已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)若,且,求证:
河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测(一)
数学答案
一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
10.; 11.-40; 12.;
13.; 14.18; 15.或.
三、解答题:本大题共5小题,共75分.
16.(本小题满分14分)
解:(1),由正弦定理,得
,
.
(2),
,
.
(3)中,由余弦定理,得,
,
中,由余弦定理,得,
,
联立得,
代入,解得.
的面积.
17.(本小题满分15分)
证明:(1)平面,以为原点,分别以、
的方向为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
,点是的中点,
,
,
则.
设平面的法向量为,则有
不妨令,得,
.
平面.
(2),
设平面的法向量为,则有
不妨令,得,
.
则,
点到平面的距离为.
(3)设平面与平面的夹角为,
平面的法向量为,平面的法向量为,
,
平面和平面夹角的余弦值等于.
18.(本小题满分15分)
解:(1)的焦点的坐标,由,,
,得,
椭圆的方程为.
(2),
由题意可知,直线的斜率存在,且不为0,设直线的斜率,
直线的方程为,
联立消去,
得.
直线过点,
.
代入,得,
.
同理:直线的方程为,
联立消去,
得.
直线过点,
.
代入,得,
.
若,即
直线的斜率
,
直线的方程为,
令,解得,
直线过定点.
若,此时,直线也过点.
直线过定点.
19.(本小题满分15分)
解:(1)
由题意.
联立即
代入整理,,
.
.
(2),
若成等差数列,
则有,即,
等式的左右两边同时除以,
可得,
,
为偶数,为偶数,而1是奇数,
等式不成立,
不能成等差数列.
(3),
,
,
,
,
.
(20)(本小题满分15分)
解:(1),
,
令,
解得.
,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,有极大值,也就是最大值,
而,
在上恒成立,
在上单调递减.
(2)要证,
只要证.
,
令,
,
解得:.
,当变化时,的变化情况如下表:
当时,有极大值,也就是最大值.
而,
当时,.
令,
,
当时,恒成立,
在上单调递增,
而,
当时,,
.
(3)已知,且,
.
由(1)可知,函数在上单调递减,
.
由(2)可知,当时,,即,
即,
,
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
A
C
D
D
C
B
B
+
0
-
极大值
1
+
0
-
极大值
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