2024年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测（一模）数学试题

这是一份2024年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测（一模）数学试题，共11页。试卷主要包含了开口向下的抛物线经过点等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试题卷共8页，有三个大题，24个小题。全卷满分120分，考试时间120分钟。
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效。
3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。本次考试不能使用计算器。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在－4，－1，0，1这四个数中，比－2小的数是（ ）
A．－4B．－1C．0D．1
2．如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（ ）
第2题图
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则AO不可能是△ABD的（ ）
A．中线B．高线C．中位线D．角平分线
5．为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（ ）
A．B．
C．D．
7．学习了“三角形中位线定理”后，在“△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
②若D是AB的中点，，则E是AC的中点．
③若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．将四边形EBCF沿EF折叠得到四边形，且点恰好在AD边上，连结，则的长是（ ）
第8题图
A．4B．C．D．
9．开口向下的抛物线经过点（2，0），则下列关系式可能成立的是（ ）
A．4a＋b＝0B．3a＋b＝0C．2a＋b＝0D．a＋b＝0
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形ABD，BCF，CAE，连结DF，EF．若△DEF与△ABC面积比为5：2，则的值是（ ）
第10题图
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：______．
12．在平面直角坐标系中，将点P（－3，－2）水平向右平移a个单位后落在第四象限内，则a的值可以是______．（写出一个即可）
13．不等式的解集是______．
14．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，作AC⊥AB交AB于点A，AC交⊙O于C，D两点，若AB＝3，AC＝9，则⊙O的半径长是______．
第14题图
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（1，5），动点C在线段AB上（不与端点重合），点B绕点C顺时针旋转90°得到点D，若点D在反比例函数的图象上，则k的取值范围是______．
第15题图
16．某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）
（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（6分）
为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
第18题图
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
19．（8分）
图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB，BC，CD，DA的长度均为20cm，螺杆AC与水平地面平行．
（1）当∠DAC＝30°时，求千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长．
（2）当∠DAC由30°变为40°时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD的长将增加多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，）
第19题图
20．（8分）
图1，图2，图3均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结BP，使∠ABP＝45°．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结PQ，使直线PQ⊥AB．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结PQ交线段AB于点C，使AC＝3BC．
第20题图
21．（10分）
学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度y（cm）与它所受到的拉力x（N）（）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．
第21题图
实验中，他观察到当拉力为2N时，弹簧长度为6cm，同时还收集到了如下数据：
（1）在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是多少？
（2）求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式．
（3）当弹簧的长度为10cm时，求弹簧受到的拉力x的值．
22．（10分）
【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN＝CN．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD＝2，BC＝3，求的值．
【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
第22题图
23．（12分）
已知，，，点A与点B不重合．
（1）若点A，B，C都在函数y＝2x的图象上，计算的值．
（2）若点A，B，C都在函数的图象上，求证：．
（3）若点A，B，C都在函数（，常数）的图象上，判断与的大小关系，并说明理由．
24．（12分）
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，，连结AB，AD．
（1）如图1，若∠D＝50°，求∠CAD的度数．
（2）如图2，点N在弦AD上，作MN⊥AD，MN分别交弦AB，AC于点M，P，MN＝BE，过B作BF∥MN交AC于点F．
①求证：BF＝MN．
②如图3，连结ME，若BM＝4，，求AP，PE的长．
第24题图
绍兴市2024年初中毕业生学业水平调测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 9．D 10．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 12．4（答案不唯一，大于3的实数均可）
13． 14．5 15． 16．9
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（本题满分6分）
解：（1）原式＝1＋4－2＝3．
（2）去分母得5x＋15＝6x－3，即－x＝－18，
∴x＝18．
经检验，x＝18是原方程的解，
∴原方程的解是x＝18．
18．（本题满分6分）
解：（1）参与调查的学生中喜爱篮球的人数：，
答：参与调查的学生中喜爱篮球的有21人．
（2）该校九年级学生中喜爱足球的人数为：，
答：估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人．
19．（本题满分8分）
解：（1）如图，连结BD，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC＝30°，BD⊥AC，
∴∠DAB＝60°．
∵AD＝AB，∴△ABD是正三角形，∴BD＝AB＝20cm，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离BD为20cm．
（2）如图，连结BD，BD与AC交于点O．
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC＝40°，AC垂直平分BD，
在Rt△AOD中，∵，∴，
∴，∵25.6－20＝5.60，
∴千斤顶顶部到水平地面的距离BD将增加5.6cm．
20．（本题满分8分）
解：（1）如图1，图中，均可．
（2）如图2，图中PQ（答案不唯一）．
（3）如图3，图中PQ（答案不唯一）．
21．（本题满分10分）
解：（1）6－4＝2cm．
答：在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是2cm．
（2）∵弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，
∴设弹簧的长度为m＝kx＋b，则弹簧伸长的长度y＝m－2，即y＝kx＋b－2，
将（1，2），（2，4）代入计算得b＝2，k＝2，
∴y＝2x（0≤x≤6）．
（3）当弹簧长度为10cm时，弹簧伸长了8cm，
∴2x＝8，解得x＝4．
答：当弹簧的长度为10cm时，所受到的拉力为4N．
22．（本题满分10分）
（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，
∴，，∴．
∵M为DE中点，∴DM＝ME，
∴BN＝NC．
（2）解：∵EF∥BD，∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△AND，
∴，∴．
∵AD∥BC，∴，
∴．
（3）解：延长EF交AD于P，连结PG．
在□ABCD中，AC，BD交于点O，∴O为BD中点，
∵EP∥BD，由（1）可得EF＝FP，
∵FG⊥EF，∴GE＝GP，∴当PG⊥BC时，PG取到最小值．
过A作AH⊥BC，H为垂足，
∵AB＝4，∠ABC＝60°，，
∴PG的最小值为．
23．（本题满分12分）
（1）解：．
（2）证明：∵，，，
∴．
又∵，∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴
．
∵，，∴，又∵，∴，
当时，；
当时，．
24．（本题满分12分）
（1）解：∵∠D＝50°，∴的度数为100°，
∵AC为直径，∴的度数为180°－100°＝80°，
∵，∴的度数为40°，
∴∠CAD＝20°．
（2）①证明：连结BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
令∠CAD＝∠CBD＝x，∴∠ABE＝90°－x．
∵，∵∠BAC＝2∠CAD＝2x，
∴∠AEB＝180°－∠BAE－∠ABE＝90°－x．
∵MN⊥AD．∴∠MPC＝∠APN＝90°－x．
∵BF∥MN，∴∠BFE＝∠MPC＝90°－x，∴∠BFE＝∠AEB，
∴BE＝BF，∵MN＝BE，∴MN＝BF．
②解：连结FN，由①知MN∥BF，MN＝BF，
∴四边形MNFB是平行四边形，∴NF∥MB且NF＝MB＝4，
∴∠FND＝∠BAN＝3x，∴∠AFN＝∠BAE＝2x．
取AP的中点Q，连结QN，
∴AQ＝QP＝QN，∴∠PQN＝2x＝∠AFN，∴QN＝NF＝4，∴AP＝2QN＝8．
过M作MT∥BE交AC于点T，过M作MH⊥AC交AC于点H，
∴∠MTA＝∠BEA＝∠MPE＝90°－x，
∴MT＝MP，∴PH＝HT，设PH＝HT＝a（a＞0），
由①知∠ABE＝∠AEB，∴AM＝AT＝8＋2a，BM＝TE＝4．
在Rt△MHA与Rt△MHE中，，
得，解得a＝1，
∴PE＝PT＋TE＝6．
弹簧受到的拉力x（N）
0.5
1
1.5
2
…
6
弹簧伸长的长度y（cm）
1
2
3
4
…
12