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上海市上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 （原卷版+解析版）
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这是一份上海市上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 （原卷版+解析版），文件包含上海市上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷原卷版docx、上海市上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2024.4
一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1. 函数在区间上的平均变化率为______．
2. 已知抛物线焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的离心率为________.
3. 一质点做直线运动，若它所经过路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______．
4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为________．
5. 函数，若，则______．
6. 已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为_______
7. 曲线过点的切线方程为_________．
8. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______
9. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______．
10. 在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值______．
11. 设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是______．（将所有正确的结论序号填在横线上）
①在区间上是增函数
②在区间上是减函数
③在区间上是增函数
④当时，取极大值
⑤是的一个驻点
12. 我们通常称离心率为椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：，，分别为左､右顶点，，分别为上､下顶点，，分别为左､右焦点，P为椭圆上的一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有___________.
①，
②，
③轴，且，
④四边形的内切圆过焦点，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（ ）．
A. B. C. D.
14. 设，利用函数单调性比大小，可得（ ）
A. B. C. D.
15. 直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
16. 设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知双曲线
（1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
（2）根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
18. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”
（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围
19. 如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米）
（1）求的解析式
（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？
20. 利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线
（1）求的解析式
（2）求证：
（3）设，若对恒成立，求的取值范围．
21. 阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”：，从而得到，而性质得证
根据上述材料回答以下问题
（1）如图3，已知椭圆的左右焦点分别为，一束光线从射出，经椭圆上点反射：处法线（与椭圆在处切线垂直的直线）与轴交于点，已知，求椭圆方程（直接写出结果）
（2）已知椭圆，长轴长为，焦距为，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次回到左焦点所经过的路程为，求椭圆的离心率
（3）对于抛物线，猜想并证明其光线性质．
2024.4
一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1. 函数在区间上的平均变化率为______．
2. 已知抛物线焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的离心率为________.
3. 一质点做直线运动，若它所经过路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为______．
4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为________．
5. 函数，若，则______．
6. 已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为_______
7. 曲线过点的切线方程为_________．
8. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______
9. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______．
10. 在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值______．
11. 设函数可导，的导函数的图像如下图所示，则下面判断正确的是______．（将所有正确的结论序号填在横线上）
①在区间上是增函数
②在区间上是减函数
③在区间上是增函数
④当时，取极大值
⑤是的一个驻点
12. 我们通常称离心率为椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：，，分别为左､右顶点，，分别为上､下顶点，，分别为左､右焦点，P为椭圆上的一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有___________.
①，
②，
③轴，且，
④四边形的内切圆过焦点，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（ ）．
A. B. C. D.
14. 设，利用函数单调性比大小，可得（ ）
A. B. C. D.
15. 直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
16. 设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知双曲线
（1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
（2）根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
18. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”
（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围
19. 如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米）
（1）求的解析式
（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？
20. 利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线
（1）求的解析式
（2）求证：
（3）设，若对恒成立，求的取值范围．
21. 阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”：，从而得到，而性质得证
根据上述材料回答以下问题
（1）如图3，已知椭圆的左右焦点分别为，一束光线从射出，经椭圆上点反射：处法线（与椭圆在处切线垂直的直线）与轴交于点，已知，求椭圆方程（直接写出结果）
（2）已知椭圆，长轴长为，焦距为，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次回到左焦点所经过的路程为，求椭圆的离心率
（3）对于抛物线，猜想并证明其光线性质．
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