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中考数学一轮复习 课件 微专题四 全等、相似三角形的进阶模型（K字型）
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这是一份中考数学一轮复习 课件 微专题四 全等、相似三角形的进阶模型（K字型），共21页。PPT课件主要包含了第1题，模拟演练，第2题，第3题，第4题等内容，欢迎下载使用。
特征：一条直线上有三个相等的角，即∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上．如图1，图2，当∠1=∠2=∠3时，为一线三等角模型； 特殊地，如图3，图4，当∠1=∠2=∠3=90°时，为一线三垂直模型．
题型1直接应用一线三等角模型
如图1，当AB=CD（或AC=CE或BC=DE） 时，△ABC≌△CDE；否则，△ABC∽△CDE． 如图3，当AB=CD（或AC=CE或BC=DE） 时，△ABC≌△CDE；否则，△ABC∽△CDE．
【例 1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠BAD= °，∠AED= °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）． （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
解：当DC=2时，△ABD≌△DCE．理由如下：∵∠B=∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°．又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°．∴∠ADB=∠DEC．又∵AB=DC=2，∴△ABD≌△DCE（AAS）．
【例 2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E．若BD=4 cm，CE=3 cm，求DE的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠DAB+∠EAC=90°．∵BD⊥AD，CE⊥AE，∴∠D=∠E=90°．∴∠DAB+∠DBA=90°．∴∠DBA=∠EAC．又∵AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE=4 cm，AD=CE=3 cm．∴DE=AD+AE=7 cm．
特征：如图1，当图中存在一条直线，且该直线上已经有两个角相等，即∠1=∠2时，根据一线三等角的特点，构造一个与前面的角相等的角，即∠3=∠1=∠2． 特殊地，如图2，当一条直线上有一个直角时，则从已知直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三垂直，即∠3=∠1=∠2=90°．
题型2构造一线三等角模型
1．（2023·山东东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（ ）A．1.8B．2.4C．3D．3.2
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=15，D为边BC上一点，且BD
4．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．【积累经验】（1）如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系，并请说明理由．【类比迁移】（2）如图2，当0<α<180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°．∴∠DBA=∠EAC．∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS）．∴AD=CE，BD=AE．∴DE=AD+AE=BD+CE．（2）DE=BD+CE仍然成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°－α．∴∠DBA=∠EAC．∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS）．∴BD=AE，AD=CE．∴DE=AD+AE=BD+CE．
特征：一条直线上有三个相等的角，即∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上．如图1，图2，当∠1=∠2=∠3时，为一线三等角模型； 特殊地，如图3，图4，当∠1=∠2=∠3=90°时，为一线三垂直模型．
题型1直接应用一线三等角模型
如图1，当AB=CD（或AC=CE或BC=DE） 时，△ABC≌△CDE；否则，△ABC∽△CDE． 如图3，当AB=CD（或AC=CE或BC=DE） 时，△ABC≌△CDE；否则，△ABC∽△CDE．
【例 1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠BAD= °，∠AED= °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）． （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
解：当DC=2时，△ABD≌△DCE．理由如下：∵∠B=∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°．又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°．∴∠ADB=∠DEC．又∵AB=DC=2，∴△ABD≌△DCE（AAS）．
【例 2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E．若BD=4 cm，CE=3 cm，求DE的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠DAB+∠EAC=90°．∵BD⊥AD，CE⊥AE，∴∠D=∠E=90°．∴∠DAB+∠DBA=90°．∴∠DBA=∠EAC．又∵AB=CA，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE=4 cm，AD=CE=3 cm．∴DE=AD+AE=7 cm．
特征：如图1，当图中存在一条直线，且该直线上已经有两个角相等，即∠1=∠2时，根据一线三等角的特点，构造一个与前面的角相等的角，即∠3=∠1=∠2． 特殊地，如图2，当一条直线上有一个直角时，则从已知直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三垂直，即∠3=∠1=∠2=90°．
题型2构造一线三等角模型
1．（2023·山东东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（ ）A．1.8B．2.4C．3D．3.2
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=15，D为边BC上一点，且BD
4．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．【积累经验】（1）如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系，并请说明理由．【类比迁移】（2）如图2，当0<α<180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°．∴∠DBA=∠EAC．∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS）．∴AD=CE，BD=AE．∴DE=AD+AE=BD+CE．（2）DE=BD+CE仍然成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°－α．∴∠DBA=∠EAC．∵AB=AC，∴△DBA≌△EAC（AAS）．∴BD=AE，AD=CE．∴DE=AD+AE=BD+CE．
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