初中数学苏科版七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.4 乘法公式同步测试题

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本试卷满分100分，考试时间40分钟，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•亭湖区校级期中）下列各题中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）B．（2x+1）（2x﹣1）
C．（﹣a﹣b）（﹣a+b）D．（2a+3b）（3a﹣2b）
【分析】这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解析】A、（a+b）（a﹣b）中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
B、（2x+1）（2x﹣1）中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
C、（﹣a﹣b）（﹣a+b）中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；
D、（2a+3b）（3a﹣2b），没有相同的项和互为相反数的项，所以不符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2020秋•崇川区校级期中）下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（﹣x+2y）（2y+x）B．（x+y）（x﹣y）
C．（a﹣b）（﹣a+b）D．（﹣2m+n）（﹣2m﹣n）
【分析】利用平方差公式和完全平方公式对各选项进行判断．
【解析】（﹣x+2y）（2y+x）＝（2y﹣x）（2y+x）＝4y2﹣x2；
（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，
（﹣2m+n）（﹣2m﹣n）＝（﹣2m）2﹣n2＝4m2﹣n2．
故选：C．
3．（2020秋•浦东新区期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x+y）（x+y）D．（﹣x+y）（x﹣y）
【分析】利用平方差公式和完全平方公式对各选项进行判断．
【解析】（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y）＝﹣（x2﹣y2）＝﹣x2+y2；
（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x﹣y）（x+y）＝﹣（x2﹣y2）＝﹣x2+y2．
﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2．
故选：D．
4．（2020春•句容市期末）下面有4道题，小明在横线上面写出了答案：①（a+b）（b﹣a）＝﹣a2+b2，②（﹣a5）÷（﹣a）2＝﹣a3，③32019×（13）2020＝3，④若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝4．他写对答案的题是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
【分析】按整式乘除法法则计算①②④，按同底数幂的乘法法则和积的乘方法则计算③．
【解析】∵①（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2＝﹣a2+b2；
②（﹣a5）÷（﹣a）2＝﹣a5÷a2＝﹣a3；
③32019×（13）2020＝（3×13）2019×13=13≠3；
④当a﹣b＝2时，即a＝b+2，a2﹣b2﹣4b＝（b+2）2﹣b2﹣4b＝4．
∴①②④正确．
故选：C．
5．（2020•盱眙县校级模拟）下列运算正确的是（ ）
A．（a5）2＝a7B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】A、结果是a10，故本选项不符合题意；
B、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、结果是a2﹣4，故本选项符合题意；
D、结果是4a2，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2020秋•崇川区校级期中）已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（ ）
A．0B．1C．3D．4
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解析】∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
故选：B．
7．（2020秋•船营区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解析】第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
8．（2020秋•庐阳区校级期中）如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为n，则另一边长是（ ）
A．m+2nB．2m+nC．m+nD．2（m+n）
【分析】根据面积之间的关系可求出答案．
【解析】（m+n）2﹣m2＝m2+2mn+n2﹣m2＝2mn+n2＝n（2m+n），
故选：B．
9．（2020秋•蓬溪县期中）计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（ ）
A．1﹣a4B．1+a4C．1﹣2a2+a4D．1+2a2+a4
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解析】（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．
故选：A．
10．（2020春•高新区期中）如图，将一张正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，另一边为2m+3，则原正方形边长是（ ）
A．m+6B．m+3C．2m+3D．2m+6
【分析】根据大小正方形的边长，与拼成的长方形的长、宽的关系得出答案．
【解析】设原正方形的边长为x，则x﹣m＝3，
解得，x＝m+3，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•高淳区期末）若a﹣b＝﹣3，a2﹣b2＝6，则代数式a+b的值是 ﹣2 ．
【分析】利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求出答案．
【解析】∵a2﹣b2＝6＝（a+b）（a﹣b），a﹣b＝﹣3，
∴a+b＝6÷（﹣3）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（2020春•仪征市期末）若a+b=13，a﹣b＝﹣3，则a2﹣b2＝ ﹣1 ．
【分析】原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值．
【解析】∵a+b=13，a﹣b＝﹣3，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）=13×（﹣3）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（2020春•高港区期中）计算：（﹣m﹣n）（m﹣n）＝ ﹣m2+n2 ．
【分析】先变形得到原式＝﹣（m+n）（m﹣n），然后利用平方差公式计算．
【解析】原式＝﹣（m+n）（m﹣n）
＝﹣（m2﹣n2）
＝﹣m2+n2．
故答案为﹣m2+n2．
14．（2020•徐州一模）化简（a+b）（a﹣b）﹣2b2的结果为 a2﹣3b2 ．
【分析】先利用平方差公式计算（a+b）（a﹣b），再合并同类项即可．
【解析】（a+b）（a﹣b）﹣2b2
＝a2﹣b2﹣2b2
＝a2﹣3b2．
故答案为：a2﹣3b2．
15．（2020春•洪泽区期中）计算：（3a+b）（3a﹣b）＝ 9a2﹣b2 ．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解析】（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，
故答案为：9a2﹣b2．
16．（2019秋•莱山区期末）计算：20192﹣2018×2020＝ 1 ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【解析】原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1，
故答案为：1
17．（2020秋•普陀区期中）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是 16 ．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解析】因为a2﹣9b2＝4，
所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，
所以（a+3b）2（a﹣3b）2
＝[（a+3b）（a﹣3b）]2
＝42
＝16，
故答案为：16．
18．（2020秋•武都区期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝ 22009﹣1 ．
【分析】观察其右边的结果：第一个是x2﹣1；第二个是x3﹣1；…依此类推，得出第n个的结果，从而得出要求的式子的值．
【解析】根据给出的式子的规律可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1，
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝22009﹣1；
故答案为：22009﹣1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•丹阳市校级期末）计算：
（1）(−1)3+(π−2020)0+(12)−3；
（2）（x+y）（x﹣y）+x（y﹣x）+y2．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
（2）先根据整式的乘法法则和平方差公式算乘法，再合并同类项即可．
【解析】（1）原式＝﹣1+1+8
＝8；
（2）原式＝x2﹣y2+xy﹣x2+y2
＝xy．
20．（2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2以及多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解析】原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）
＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）
＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2
＝4n2﹣7mn．
21．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；
②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【分析】①原式可写成（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1），再利用平方差公式计算即可；
②原式可写成12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1），再利用平方差公式计算即可；
③原式可写成（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502），再利用平方差公式计算即可．
【解析】①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）
＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）
＝（28﹣1）•（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）
=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）
=12（38﹣1）•（38+1）
=12×(316−1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
22．（2020春•徐州期中）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……
（1）根据以上规律，（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝ xn﹣1 ；
（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020的值．
【分析】（1）利用题中所给的等式的变换规律写出结论；
（2）先变形为原式=14×（5﹣1）（1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020），然后利用（1）中的结论计算．
【解析】（1）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1；
故答案为xn﹣1；
（2）1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020
=14×（5﹣1）（1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020）
=14×（52021﹣1）
=52021−14．
23．（2020秋•朝阳区校级期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1−122）×（1−132）×（1−142）×…×（1−120192）×（1−120202）．
【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【解析】（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1−122）×（1−132）×（1−142）×…×（1−120192）×（1−120202）
＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14）…（1−12019）（1+12019）（1−12020）（1+12020）
=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
24．（2020春•淮安区期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ．（请选择“A”、“B”、“C”）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−1102)．
【分析】（1）分别表示拼接前后的阴影部分的面积，可得等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得出答案；
（2）①利用平方差公式将x2﹣4y2化为（x+2y）（x﹣2y），再整体代入即可；
②利用平方差公式得出（1+12）（1−12）（1+13）（1−13）…（1+110）（1−110），进而得出答案．
【解析】（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，
∴12＝4（x﹣2y），
即：x﹣2y＝3；
②原式＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14）…（1−110）（1+110），
=12×32×23×43×34×54×⋯×910×1110，
=12×1110，
=1120．