四川省资阳市雁江区2023_2024学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份四川省资阳市雁江区2023_2024学年高一数学上学期第一次月考试题含解析，共13页。试卷主要包含了 已知集合，则， 命题“”的否定为， 函数的定义域为， “函数在上为增函数”是“”的， 已知，则的最大值为， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解.
详解】,
故选：B.
2. 命题“”的否定为（）
A. B. 不存在C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题“”的否定为：.
故选：D.
3. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】偶次开根根号下非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解.
【详解】依题意，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B．
4. “函数在上为增函数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的单调性，结合一次函数性质求参数范围，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由在上为增函数，则，
所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5已知函数，若，实数（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出，从而，进而，由此能求出实数的值．
【详解】解：函数，
，
，
，
解得实数．
故选：．
6. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）
A. －B. C. －D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b
【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数
∴有：b＝0，且a－1＝－2a
∴a＝
∴a＋b＝
故选：B
【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值
7. 已知，则的最大值为（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为2.
故选：D.
8. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，
因为是上增函数，
所以有，
故选：B
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分，选错得0分）
9. 已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出集合中的元素，然后逐一代入集合计算求，不要遗漏即可.
【详解】，
当时，，符合题意；
当时，，得，
当时，，得，
综合得.
故选：ABC.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】用不等式的性质或使用特例排除法，逐一验证选项.
【详解】和都无法比较与的大小，故选项A和选项B错误；
由，则，由，则，所以时，有，选项C正确；
当，时，满足，但不满足，选项D错误.
故选：ABD
11. 已知函数，，构造函数，那么关于函数的说法正确的是（）
A. 的图象与x轴有3个交点B. 在上单调递增
C. 有最大值1，无最小值D. 有最大值3，最小值1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，作出函数的图象，借助图象逐项判断作答.
【详解】依题意，由解得，则，
作出函数的图象，如图：
观察图象知，函数的图象与x轴有三个交点，在上单调递减，有最大值1，无最小值，
即选项A，C正确；选项B，D不正确.
故选：AC
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（）
A. 函数的最大值为1；
B. 函数的最小值为0
C. 函数的图象与直线有无数个交点
D. 函数是增函数
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，
对于A：函数，故A错误；
对于B：函数的最小值为0，故B正确；
对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；
对于D：函数不是上的增函数，故D错误；
故选：BC
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若幂函数为偶函数，则________ .
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.
【详解】∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为：.
14. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法可得答案.
【详解】令，则，，
所以，
所以，.
故答案为：.
15. 已知定义域为R的偶函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】因为在上单调递减，为偶函数，，
所以在单调递增，，
不等式可变形为或，解得或.
故答案为：.
16. 已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是_____.
【答案】####
【解析】
【分析】求出函数的值域，再解不等式组即得解.
【详解】解：由题得在时，
当函数取最小值当时，函数取最大值3，
所以此时函数的值域为；
在时的值域为，
由题得.
所以.
故答案为：
四．解答题（共6小题）
17. 设集合．
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出集合，然后直接求即可；
（2）根据集合的包含关系列不等式求实数的取值范围．
【小问1详解】
由得或，
所以或，，
所以
【小问2详解】
由得或，解得或，
所以实数a的取值范围为或．
18. 已知是定义在R上的偶函数，当时，
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）画出简图；写出的单调递增区间(只需写出结果，不要解答过程).
【答案】（1）；（2）；
（3）（﹣1，0），（1，+∞）
【解析】
【详解】解：（1）当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，f（﹣x）＝f（x），
∴f（1）＝﹣1，f（﹣2）＝f（2）＝0；
（2）∵y＝f（x）是定义在R上的偶函数，
当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
当x＜0时，﹣x＞0，
f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，
∴f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，
∴f（x）．
（2）∵f（x），
∴当x≥0时，y＝x2﹣2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x＝1，顶点坐标（1，﹣1），
当y＝0时，x1＝0，x2＝2；当x＝0时，y＝0．
当x＜0时，y＝x2+2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1），
当y＝0时，x＝﹣2．
由此能作出函数f（x）的图象如下：
结合图象，知f（x）的增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．
19. 已知命题p：，不等式恒成立；命题q：为实数，使有解.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三个“二次”的关系列不等式求解；
（2）分真假和假真两种情况讨论即可.
【小问1详解】
根据题意，命题：，不等式恒成立；
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
【小问2详解】
根据题意，命题，，成立，
则，即，
∴或，
又由命题，中恰有一个为真命题，则命题，一真一假，
①当真假时，，解得：，
②当假真时，，解得：．
综上，实数的取值范围．
20. 已知函数，满足条件.
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据，代入得到方程组，解得即可；
（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.
【小问1详解】
因为，且，
所以解得
所以；
【小问2详解】
由，
设任意的且，
则
因为且，所以，
所以，则在上单调递增，
所以.
21. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算.该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中.
（1）求，并说明的实际意义：
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.
【答案】（1）；发车时间间隔为分钟时，载客量为
（2）发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．
【解析】
【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义；
（2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
，实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；
【小问2详解】
，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，当时，取得最大值；
当时，，该函数在区间上单调递减，
则当时，取得最大值．
综上所述，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．
22. 定义域在R的单调函数满足恒等式，且.
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）函数是奇函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出；
（2）令，可得，即，可得函数为奇函数；
（3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围.
【小问1详解】
令可得，令∴∴∴；
【小问2详解】
令∴∴，即
∴函数是奇函数.
小问3详解】
是奇函数，且在时恒成立，
∴在时恒成立，
又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令，
∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为.