专题13 一线三等角模型证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，在边长为的等边中，为上一点，且，在上，，则的长为 ．
A．B．C．7D．6
2．如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的面积等于 ．
3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．
（1）求证：；
（2）若时，求．
4．如图有一块三角尺，，，，，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．
5．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
6．如图，在矩形中，，，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点．
（1）判断与是否相似，并说明理由．
（2）连接，若，试求出此时的长．
7．如图1，在中，，，点在边上从向运动．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：．
（2）当时（如图，求和的长．
（3）设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长．
8．在中，点、在边上，点在边上，连接、，，
（1）如图1，点、重合，时
①若平分，求证：；
②若，则 ；
（2）如图2，点、不重合．若，，，求的值．
9．已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．
（1）如图1，填空：当点在上，且，，则 ；
（2）如图2，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；
（3）如图3，若，，分别交于点，，求证：．
10．在中，，，点为直线上一动点（不与点、重合），连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与直线相交于点．
（1）当点在线段上，当时，如图1，直接判断的大小；
（2）当点在线段上，当时，如图2，试判断线段的大小，并说明理由；
（3）当点在直线上，当，，时，请利用备用图探究面积的大小（直接写出结果即可）．
11．如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，
①求的长；
②直接写出重叠部分的面积；
（3）在运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求的长．
12．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为．
（1）求的度数；
（2）求的长；
（3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标．
13．【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．
（1）求证：．
（2）若，，为的中点，求的长．
【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 ．
14．如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是射线上一点，以为边在直线的上方作正方形．
（1）连接，观察并猜测的值，并说明理由；
（2）如图2，将图1中正方形改为矩形，，，为常数），是射线上一动点（不含端点，以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上，当点沿射线运动时，请用含，的代数式表示的值．
15．如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，．
（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围 ；
（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图利用描点法画出此抛物线，直接写出 ；
（3）结合图象，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是 ；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程 ．
16．【基础巩固】
（1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积．
17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得；又因为，可得，进而得到 我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与、重合），点是边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点为中点时，求的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
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