2024年天津市红桥区中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年天津市红桥区中考数学一模试卷附解析，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算：（﹣2）÷（﹣）的结果是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
2．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）据2024年3月22日《天津日报》报道，今年前两个月，被称为“新三样”的锂离子蓄电池、电动汽车、光伏产品合计出口3590000000元．将数据3590000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.359×1010B．3.59×109
C．35.9×108D．359×107
5．（3分）估计﹣2的值应在（ ）
A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间
6．（3分）计算sin60°﹣的结果等于（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
9．（3分）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，四边形OACB是菱形，点B的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（6，3）B．（7，4）C．（8，4）D．（8，5）
11．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为边AB上一点，将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BEC，点A，D的对应点分别为B，E，连接DE．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠DCB＝∠DEBB．CD＝DEC．AC∥BED．BC⊥DE
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论：
①△PBQ面积的最大值为25cm2．
②出发时间t有两个不同的值满足△PBQ的面积为9cm2．
③PQ的长可以是8cm．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球和5个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
14．（3分）计算（x3y）2的结果等于 ．
15．（3分）将多项式xy2﹣4x分解因式的结果等于 ．
16．（3分）若直线y＝x+m（m是常数）向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则m的值为 ．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，DE＝1．以点B为圆心，透当长为半径画弧，分别交BA，BE于点F，G；以点A为圆心，BF长为半径画弧，交AD于点H，以点H为圆心，FG长为半径画弧，两弧相交于点I；连接AI并延长，交BE于点M，交CD于点P，连接BP，若N为BP的中点，连接MN，则MN的长为 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，顶点A，C均在格点上，顶点B在网格上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个AB为边的矩形ABPQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（1）解不等式组：；
（2）请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某公司为提高服务质量，对其某一个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档．工作人员从收回的问卷中随机抽取了a份问卷．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E．
（Ⅰ）如图①，若∠D＝36°，求∠ECG 和∠EGC的大小；
（Ⅱ）如图②，若∠E＝∠ECG，F为AO的中点，OA＝，求EG的长．
22．（10分）如图，某渔船在A处测得小岛C位于A的北偏西30°方向，小岛D位于A的北偏东31°方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向．且B，C相距20海里，小岛D位于B的南偏东45°方向．
（Ⅰ）求该渔船航行的距高AB；
（Ⅱ）求B处与小岛D之间的距离BD（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.60，取1.4．
23．（10分）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍0.8km，篮球馆离宿舍2km．小明从宿舍出发，先匀速步行8min到达便利店买饮用水，在便利店停留12min，之后匀速步行15min到达篮球馆，在篮球馆锻炼了55min后，匀速骑行10min返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤35时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅳ）当小明离开便利店2min时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前3min到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．（10分）在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），B（2，2），C，DD分别为OA、OB的中点．以点O为中心，逆时针旋△OCD，得△OC'D'，点C，D的对应点分别为C'，D'．
（Ⅰ）填空：如图①，当C'落在y轴上时，点D'的坐标为 ；点C'的坐标为 ；
（Ⅱ）如图②，当C'落在OB上时，求点D'的坐标和BD'的长；
（Ⅲ） 若M为C'D'的中点，求BM的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a、b为常数，a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若点P是直线BC上方该抛物线的一点，且∠ACO＝∠PBC，求点P的坐标．
2024年天津市红桥区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：（﹣2）÷（﹣）的结果是（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【答案】D
【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2×（﹣2）
＝4，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟练运用有理数的除法运算，本题属于基础题型．
2．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图是从正面看到的平面图形．
3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．如图4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：选项A、B、D中的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C中的汉字“里”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）据2024年3月22日《天津日报》报道，今年前两个月，被称为“新三样”的锂离子蓄电池、电动汽车、光伏产品合计出口3590000000元．将数据3590000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.359×1010B．3.59×109
C．35.9×108D．359×107
【答案】B
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：3590000000＝3.59×109，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（3分）估计﹣2的值应在（ ）
A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间
【答案】C
【分析】先估算出4＜＜5，再根据不等式的性质估算出﹣2的值即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴2＜﹣2＜3，
∴﹣2的值应在2和3之间；
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜＜5是解题关键，又利用了不等式的性质．
6．（3分）计算sin60°﹣的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先计算特殊角的三角函数值，然后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】解：sin60°﹣
＝﹣
＝﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②，可得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入②，可得：3+2y＝1，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
8．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣1＜0，0＜1＜2，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（3分）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形OACB是菱形，点B的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（6，3）B．（7，4）C．（8，4）D．（8，5）
【答案】C
【分析】延长CB交y轴于点D，根据菱形的性质和勾股定理求出OB，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CB交y轴于点D，
∵四边形OACB是菱形，
∴OA＝AC＝BC＝OB，BC∥OA，
∵B（3，4），
∴BD＝3，OD＝4，
∴OB＝BC＝＝5，
∴CD＝BC+BD＝8，
∴C（8，4），
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为边AB上一点，将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BEC，点A，D的对应点分别为B，E，连接DE．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠DCB＝∠DEBB．CD＝DEC．AC∥BED．BC⊥DE
【答案】A
【分析】通过证明点B，点E，点C，点D四点共圆，可得∠DCB＝∠DEB．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠CDE＝∠ABC＝∠CED，
∴点B，点E，点C，点D四点共圆，
∴∠DCB＝∠DEB，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（t＞0，单位：s）．有下列结论：
①△PBQ面积的最大值为25cm2．
②出发时间t有两个不同的值满足△PBQ的面积为9cm2．
③PQ的长可以是8cm．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意得AP＝t cm，BQ＝2t cm，则BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，则S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，再由二次函数的性质即可判断①；由三角形面积公式得S△PBQ＝﹣t2+10t，再根据△PBQ的面积为9cm2，列出一元二次方程，解方程即可判断②；利用勾股定理求得PQ＝≥＞8，即可判断③．
【解答】解：由题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2），
∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，
∵﹣2＜0，
∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故①正确；
令S△PBQ＝9，则﹣t2+10t＝9，即t2﹣10t+9＝0，
解得t＝1或9，
∵t＝9时，BQ＞BC，故t＝9不合题意，故②错误；
∵BQ＝2t cm，BP＝（10﹣t）cm，
∴PQ＝＝＝≥＞8，
∴PQ的长不可以是8cm．故③错误；
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式，求出△PBQ的面积与t的关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球和5个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是 ．
【答案】．
【分析】利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球和5个蓝球，
∴它从袋子中随机取出1个球，是蓝球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
14．（3分）计算（x3y）2的结果等于 x6y2 ．
【答案】x6y2．
【分析】按照积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（x3）2•y2
＝x6y2，
故答案为：x6y2．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则和幂的乘方法则．
15．（3分）将多项式xy2﹣4x分解因式的结果等于 x（y+2）（y﹣2） ．
【答案】x（y+2）（y﹣2）．
【分析】先提公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：xy2﹣4x＝x（y2﹣4）
＝x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式分解因式是关键．
16．（3分）若直线y＝x+m（m是常数）向上平移2个单位长度后经过点（2，3），则m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】直线y＝x+m向上平移2个单位长度得到的直线为y＝x+m+2，再把（2，3）代入可解得m的值．
【解答】解：直线y＝x+m（m是常数）向上平移2个单位长度得到的直线为y＝x+m+2，
把（2，3）代入y＝x+m+2得：3＝2+m+2，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减”的平移规律．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，DE＝1．以点B为圆心，透当长为半径画弧，分别交BA，BE于点F，G；以点A为圆心，BF长为半径画弧，交AD于点H，以点H为圆心，FG长为半径画弧，两弧相交于点I；连接AI并延长，交BE于点M，交CD于点P，连接BP，若N为BP的中点，连接MN，则MN的长为 ．
【答案】．
【分析】四根据正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°，由作图知∠DAP＝∠ABE，求得∠BMP＝∠AME＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝PD，求得CP＝DE＝1，根据勾股定理得到BP＝＝＝，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝∠C＝90°，
由作图知∠DAP＝∠ABE，
∴∠ABE+∠AEB＝∠DAP+∠AEB＝90°，
∴∠AME＝90°
∴∠BMP＝∠AME＝90°，
在△ABE与△DAP中，
，
∴△ABE≌△DAP（ASA），
∴AE＝PD，
∴CP＝DE＝1，
∴BP＝＝＝，
∵N为BP的中点，
∴MN＝BP＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC内接于圆，顶点A，C均在格点上，顶点B在网格上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个AB为边的矩形ABPQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点D，连接CD与圆相交于点P，连接AP；取圆与网格线的交点E，F，连接EF，与AP 相交于点O；连接BO并延长，与圆相交于点Q；连接BP，PQ，AQ，则四边形ABPQ即为所求． ．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）取格点D，连接CD与圆相交于点P，连接AP；取圆与网格线的交点E，F，连接EF，与AP 相交于点O；连接BO并延长，与圆相交于点Q；连接BP，PQ，AQ，则四边形ABPQ即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理解题即可；
（Ⅱ）先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可．
【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取格点D，连接CD与圆相交于点P，连接AP；取圆与网格线的交点E，F，连接EF，与AP 相交于点O；连接BO并延长，与圆相交于点Q；连接BP，PQ，AQ，则四边形ABPQ即为所求．
故答案为：取格点D，连接CD与圆相交于点P，连接AP；取圆与网格线的交点E，F，连接EF，与AP 相交于点O；连接BO并延长，与圆相交于点Q；连接BP，PQ，AQ，则四边形ABPQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理、矩形的判定，理解题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（1）解不等式组：；
（2）请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤2 ．
【答案】（Ⅰ）x≥﹣1；
（Ⅱ）x≤2；
（Ⅲ）见解答；
（Ⅳ）﹣1≤x≤2．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2；
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣1；
（Ⅱ）x≤2；
（Ⅳ）﹣1≤x≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20．（8分）某公司为提高服务质量，对其某一个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档．工作人员从收回的问卷中随机抽取了a份问卷．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 40 ，图①中m的值为 20 ；
（Ⅱ）求统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40，20；
（2）统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数分别为3.5分，4分，4分．
【分析】（1）将满意度1分的份数除以其所占百分比即可得到a的值（也可将满意度5档的份数相加求出）；将满意度3分的份数除以a，再乘以100，即可求得m的值（也可将100%减去其他4档得到满意度为3分的百分比，从而确定m的值）；
（2）根据平均数，众数，中位数的计算方法求出即可．
【解答】解：（1）a＝4÷10%＝40；
m＝×100＝20，
故答案为：40，20；
（2）平均数为＝3.5（分），
∵满意度档次为4分的有16份，是出现次数最多的，
∴众数为4分；
∵40个数据有小到大排列排在第20，第21个的都是4分，
∴中位数为4分，
答：统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数分别为3.5分，4分，4分．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，平均数，众数，中位数，能从统计图中获取有用数据，掌握相关统计量的确定方法是解题的关键．
21．（10分）在⊙O中，AB为直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E．
（Ⅰ）如图①，若∠D＝36°，求∠ECG 和∠EGC的大小；
（Ⅱ）如图②，若∠E＝∠ECG，F为AO的中点，OA＝，求EG的长．
【答案】（Ⅰ）∠ECG 和∠EGC都等于63°；
（Ⅱ）EG的长为2．
【分析】（Ⅰ）连接OC，由切线的性质证明∠OCD＝∠OCE＝90°，而∠D＝36°，则∠COD＝54°，所以∠OCA＝∠A＝∠COD＝27°，求得∠ECG＝63°，由FE⊥AB，得∠AFG＝90°，则∠EGC＝∠AGF＝63°，所以∠ECG 和∠EGC都等于63°．
（Ⅱ）连接BC，OC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，可证明△ECG是等边三角形，求得∠OCA＝∠A＝30°，则∠BOC＝2∠A＝60°，所以△BOC是等边三角形，则BC＝OC＝OB＝OA＝，由＝tan60°＝，求得AC＝BC＝3，而AF＝OF＝，且＝cs30＝，则AG＝1，所以EG＝2．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，则OC＝OA，
∵DE与⊙O相切于点C，
∴DE⊥OC，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠D＝36°，
∴∠COD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠OCA＝∠A＝∠COD＝27°，
∴∠ECG＝∠OCE﹣∠OCA＝90°﹣27°＝63°，
∵FE⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴∠EGC＝∠AGF＝90°﹣∠A＝90°﹣27°＝63°，
∴∠ECG 和∠EGC都等于63°．
（Ⅱ）如图②，连接BC，OC，则OC＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠OCE＝∠AFE＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣∠OCA＝90°﹣∠A＝∠AGF＝∠EGC，
∵∠E＝∠ECG，
∴∠E＝∠ECG＝∠EGC＝60°，
∴△ECG是等边三角形，
∴∠OCA＝∠A＝∠OCE﹣∠ECG＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC＝OB＝OA＝，∠ABC＝60°，
∴＝tan60°＝，
∴AC＝BC＝×＝3，
∵F为AO的中点，
∴AF＝OF＝OA＝，
∴＝＝cs30＝，
∴AG＝1，
∴EG＝CG＝AC﹣AG＝3﹣1＝2，
∴EG的长为2．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）如图，某渔船在A处测得小岛C位于A的北偏西30°方向，小岛D位于A的北偏东31°方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向．且B，C相距20海里，小岛D位于B的南偏东45°方向．
（Ⅰ）求该渔船航行的距高AB；
（Ⅱ）求B处与小岛D之间的距离BD（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.60，取1.4．
【答案】（1）该渔船航行的距高AB为40海里；
（2）B处与小岛D之间的距离BD为21海里．
【分析】（1）先推出∠C＝90°，在Rt△ABC中，根据特殊角的三角函数即可求出AB；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△BDE中，BE＝DE＝x海里，在Rt△ADE中，表示出AE，根据AB＝AE+BE，进而求出BD即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，
AB＝＝40（海里），
∴该渔船航行的距高AB为40海里；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图，
在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝x海里，
在Rt△ADE中，∠DAE＝31°，
∴AE＝≈＝，
∴AB＝AE+BE＝x+＝＝40，
∴x＝15，
BD＝DE≈21（海里），
∴B处与小岛D之间的距离BD为21海里．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．
23．（10分）已知学生宿舍、便利店、篮球馆依次在同一条直线上，便利店离宿舍0.8km，篮球馆离宿舍2km．小明从宿舍出发，先匀速步行8min到达便利店买饮用水，在便利店停留12min，之后匀速步行15min到达篮球馆，在篮球馆锻炼了55min后，匀速骑行10min返回宿舍．如图所示图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为 0.2 km/min；
（Ⅲ）当0≤x≤35时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅳ）当小明离开便利店2min时，同宿舍的小杰从宿舍出发，匀速骑行直接前往篮球馆，如果小杰比小明提前3min到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（Ⅰ）0.5，0.8，2，1；
（Ⅱ）0.2；
（Ⅲ）y＝；
（Ⅳ）1.6km．
【分析】（Ⅰ）根据图象及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
（Ⅱ）根据“篮球馆离宿舍的距离÷这个过程所用时间”计算即可；
（Ⅲ）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式；
（Ⅳ）根据题意，作出小杰离宿舍的距离y关于时间x的图象并利用待定系数法求其关系式，根据相遇时二人离宿舍的距离相等列方程，求出x的值，代入函数求出对应y的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤8时，小明骑行速度为0.8÷8＝0.1（km/min），
∴当x＝5时，小明离宿舍的距离为0.1×5＝0.5（km）；
当x＝20时，y＝0.8；
当x＝60时，y＝2；
当90≤x≤100时，小明骑行速度为2÷（100﹣90）＝0.2（km/min），
∴当x＝95时，小明离宿舍的距离为2﹣0.2×（95﹣90）＝1（km）．
故答案为：0.5，0.8，2，1．
（Ⅱ）（Ⅰ）中已求出，小明从篮球馆返回宿舍的骑行速度为0.2km/min．
故答案为：0.2．
（Ⅲ）当0≤x＜8时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的关系式为y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将坐标（8，0.8）代入y＝k1x，
得8k1＝0.8，
解得k1＝0.1，
∴y＝0.1x；
当8≤x＜20时，y＝0.8；
当20≤x≤35时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的关系式为y＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将坐标（20，0.8）和（35，2）代入y＝k2x+b2，
得，
解得，
∴y＝0.08x﹣0.8．
综上，小明离宿舍的距离y关于时间x的关系式为y＝．
（Ⅳ）如图，小杰离宿舍的距离y关于时间x的图象如AB所示．
由题意可知，点A的坐标为（22，0），点B的坐标为（32，2）．
设AB的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标A（22，0）和B（32，2）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴AB的函数关系式为y＝0.2x﹣4.4（22≤x≤32）；
当二人相遇时，二人离宿舍的距离相等，得0.2x﹣4.4＝0.08x﹣0.8，解得x＝30，
二人离宿舍的距离为0.2×30﹣4.4＝1.6（km），
∴他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是1.6km．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），B（2，2），C，DD分别为OA、OB的中点．以点O为中心，逆时针旋△OCD，得△OC'D'，点C，D的对应点分别为C'，D'．
（Ⅰ）填空：如图①，当C'落在y轴上时，点D'的坐标为 （0，2） ；点C'的坐标为 （，） ；
（Ⅱ）如图②，当C'落在OB上时，求点D'的坐标和BD'的长；
（Ⅲ） 若M为C'D'的中点，求BM的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）（0，2），（，）；
（2）（﹣1，），2；
（3）4+，4﹣．
【分析】（1）过C'作C'H⊥x轴于H，由B点坐标得出D，根据以点O为中心，逆时针旋转△OCD可得OD'＝OD＝2，由A、B两点可得AB⊥x轴，从而得到tan∠AOB的值，最后可求出C'坐标；
（2）当C'落在OB上时，过D'作D'M⊥x轴于M，求出∠D'OG，可得OG、D'G，可知D'坐标，最后得出BD'的值．
（3）C，D分别为OA、OB的中点可知CD∥AB，可得CD的值从而得到∠DCO＝∠BAO＝90°，以点O为中心，逆时针旋转△OCD，可得△OC'D'，得到C'M、OM的值，分别求出BM的最大值和最小值．
【解答】（1）解：过C'作C'H⊥x轴于H，如图；
∵B（2，2），D为OB中点，
∴D（1，），
∴OD＝＝2，
∵以点O为中心，逆时针旋转△OCD，得△OC'D'，
∴OD'＝OD＝2，
∵点D'落在y轴上，
∴D'（0，2），
∵A（2，0），C为OA中点，∴OC＝OA＝1＝OC'，
∵A（2，0），B（2，2），
∴AB⊥x轴，tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°＝∠COD＝∠C'OD'，
∴∠C'OH＝90°﹣60°＝30°，
∴C'H＝OC'＝，OH＝C'H＝，
∴C'（，）；
故答案为：（0，2），（，）；
（2）解：当C'落在OB上时，过D'作D'M⊥x轴于M，如图：
由（1）可知∠AOB＝60°，∠C'OD'＝60°，OD'＝2，
∴∠D'OG＝180°﹣∠AOB﹣∠C'OD'＝60°，
∴∠GD'O＝30°，
∴OG＝OD'＝1，D'G＝OG＝，
∴D'（﹣1，），
∵B（2，2），
∴BD'＝＝2；
（3）解：如图：
∵C，D分别为OA、OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴CD∥AB，CD＝AB＝＝，
∴∠DCO＝∠BAO＝90°，
∵以点O为中心，逆时针旋转△OCD，得△OC'D'，
∴∠D'C'O＝∠DCO＝90°，C'D'＝CD＝，
∵M是C'D'的中点，
∴C'M＝C'D'＝，
∴OM＝＝＝，
∴M在以O为圆心，为半径的圆上运动，
当BM最大时，如图：
此时M在BO的延长线上，
∵B（2，），
∴OB＝＝4，
∴BM＝OB+OM＝4+，
即BM最大值为4+，
当BM最小时，如图：
此时M在瞎眼OB上，BM＝OB﹣OM＝4﹣，
∴BM最小值为4﹣，
综上所述，BM最大值为4+，最小值为4﹣．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+4（a、b为常数，a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若点P是直线BC上方该抛物线的一点，且∠ACO＝∠PBC，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）；
（3）点P的坐标为 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
（2）利用顶点坐标公式，求出顶点坐标，S四边形ACDB＝S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE直接计算即可；
（3）过P作PH⊥BC于点H，作PQ⊥x轴于点Q，求出，设PH＝m，可得BH＝4m，，BQ＝3m，则m＝，设点P的坐标为（p，﹣p2+3p+4），则Q（p，﹣p+4），用含p的式子表示出PQ，BQ，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1），
则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
∴﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）由抛物线y＝﹣x2+3x+4 知，点C（0，4），其对称轴为直线，点，
过D作DE⊥x轴于点E，如图1，
∴，，
则四边形ACDB的面积＝S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE
＝
＝
＝；
（3）过P作PH⊥BC于点H，作PQ⊥x轴于点Q，如图2，
∴PQ∥OC，
∴∠PQH＝∠OCB，
∵B（4，0），C（0，4），
∴ON＝OC，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
∴∠OCB＝45°，
∴∠PQH＝∠OCB＝45°，
∴PH＝QH，，
∵A（﹣1，0），C（0，4），
∴，
∵∠ACO＝∠PBC．
∴，
设PH＝QH＝m，则BH＝4m，，BQ＝3m，
∴m＝PQ＝，
设点P的坐标为（p，﹣p2+3p+4），则Q（p，﹣p+4），
∴，PQ＝﹣p2+3p+4+p﹣4＝﹣p2+4p，
∴，
解得 或4（不合题意，舍去），
∴点P的坐标为 ．
【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．
小明离开宿舍的时间/min
5
10
20
60
95
小明离宿舍的距离/km

0.8



小明离开宿舍的时间/min
5
10
20
60
95
小明离宿舍的距离/km
0.5
0.8
0.8
2
1