2024年河南省信阳市中考数学二模试卷附解析

这是一份2024年河南省信阳市中考数学二模试卷附解析，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数在数轴上的位置距离原点最近的是（ ）
A．﹣2B．6C．D．π
2．（3分）为有效保护视力，提升身体素质，我们需要增加体育锻炼时间．下列体育锻炼常见实物所对应的立体图形中，三视图相同的是（ ）
A．跳绳B．秒表C．乒乓球D．羽毛球拍
3．（3分）据统计，2023年我国出生人口为902万人，死亡人口为1110万人．出生人口少于死亡人口，影响我国人口总量比2022年减少208万人．数据“208万”用科学记数法表示为（ ）
A．2.08×107B．2.08×106C．9.02×106D．1.11×107
4．（3分）化简的结果是（ ）
A．2xB．C．D．
5．（3分）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．（3分）如图，圆O的半径为1，点A，B，C在圆周上，∠C＝45°，则弦AB的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
7．（3分）若|a|＜2，关于x的一元二次方程x2+ax+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不确定
8．（3分）某校春季研学活动安排在美丽的某湖风景名胜区，学校安排同学们从“水上大冲关”、“水枪大战”、“画肪游湖”、“龙舟竞渡”中随机选择一种活动参加．小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函数y＝x2+3的图象与直线AB有交点，若A（0，﹣2），则B的坐标一定不是（ ）
A．B．（﹣1，5）C．（0，﹣1）D．（1，﹣1）
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A（1，0）在x轴上，直角顶点C（1，3），将△ABC以点A为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，设牛有x只，该牧民每天需准备 千克草．
12．（3分）不等式组的正整数解的和为 ．
13．（3分）某园林公司培育3000棵银杏树用来出售，已知树干周长不小于50cm才可出售，如图为随机抽取50棵银杏树测量后所得数据．请预估该公司这批银杏树达到出售标准的数量为 棵．
14．（3分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，，BC＝4，则OC的长度是 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC的直角边AC的中点为D，∠A＝30°，点E在斜边上，且AE＝1，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：． （2）计算：（a+b）2﹣4（ab+1）
17．（9分）近些年很多家庭喜欢在家里种植几株草莓，既可以美化环境，也为生活增添了乐趣．小华家今年种植了甲、乙两个品种的草莓各10株，为了对两个品种的草莓进行比较并推荐给自己的好朋友，他将每株草莓的果实重量（克）做了如下记录并分析：
分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ；b＝ ； （填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表的分析，你认为小华应选择哪个品种的草莓推荐给好友？理由是什么？
（3）通过预估，好朋友家的花园能够种植草莓一百株，根据上面信息，分别计算甲、乙两个品种可能收获果实多少克？
18．（9分）如图，△ABC中，∠A＝2∠B．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线，与△ABC边BC交于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：DE＝DC．
19．（9分）如图，点A（﹣5，1），点B（﹣1，5）为反比例函数上两点，点D，E为等腰Rt△ABC两腰的中点，过点C，D，E做圆F．
（1）求k的值；
（2）取DE的中点F，连接CF，DE，试证明CF垂直平分DE．
（3）求阴影部分的面积．
20．（9分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：
（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边EM，EN所在直线分别经过建筑物外立面的顶部A和C；
（2）用皮尺度量BE和DE的长度；
（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，B，C，D，E，M，N均在同一平面内．测得BE＝9m，DE＝36m．请求出这两栋建筑的高度．
21．（9分）某品牌体育用品店购进一批篮球共花费7500元，除了两个篮球作为展品不出售外，其他篮球每个加价50元后全部售出，获得9600元的销售款．
（1）求这款篮球的进价和售价．
（2）如果该商店准备再购进一批该种篮球用来出售（不再留展品），若要求获利不少于8000元，求最少需进该种篮球多少个．
22．（10分）安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶AB，经走廊顶部水平管道BC流出，呈抛物线落到院中地面上E点（可视C为抛物线顶点）．若走廊DF和顶部BC的宽度均为1m，屋高BD为3m，雨水落点距屋子的水平距离DE为2m，请根据题意，解决下列问题．
（1）建立合适的坐标系，求出雨水从顶点C落到地面E点的抛物线表达式；
（2）现计划在院中安放一个高为0.9m的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心H点，请按设计计算雨水池的底面中心G到墙面的距离DG的长．
23．（10分）类比和转化思想常常可以为我们的数学解题提供助力．下面题目是一次综合复习课上老师给出的问题，请你注意数学思想的使用，完成下列问题．
如图，边长为6的等边△ABC内有一点M，MB＝MC．
（1）如图①，若∠MBC＝30°，求BM的长；
（2）如图②，若，过M作BC的平行线交△ABC的两边为D，E，求DE的长；
（3）如图③，若，过M作AC的平行线交△ABC的两边为F，G，求GF的长．
2024年河南省信阳市息县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各数在数轴上的位置距离原点最近的是（ ）
A．﹣2B．6C．D．π
【答案】A
【分析】根据，可得2，因此|﹣2|＜||＜|π|＜|6|，即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴2，
∴|﹣2|＜||＜|π|＜|6|，
∴离原点最近的是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握的取值范围是解题的关键．
2．（3分）为有效保护视力，提升身体素质，我们需要增加体育锻炼时间．下列体育锻炼常见实物所对应的立体图形中，三视图相同的是（ ）
A．跳绳B．秒表C．乒乓球D．羽毛球拍
【答案】C
【分析】根据球体、圆锥体、圆柱体、三棱柱的三视图进行判断即可．
【解答】解：乒乓球的三视图都是大小相同的圆，因此选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
3．（3分）据统计，2023年我国出生人口为902万人，死亡人口为1110万人．出生人口少于死亡人口，影响我国人口总量比2022年减少208万人．数据“208万”用科学记数法表示为（ ）
A．2.08×107B．2.08×106C．9.02×106D．1.11×107
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：∵208万＝2080000，
∴208万用科学记数法表示为2.08×106．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．（3分）化简的结果是（ ）
A．2xB．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减法运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【分析】根据题意得出BC＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠BCD＝∠BCD，根据三角形内角和定理求出∠BDC＝75°，根据邻补角定义求解即可．
【解答】解：∵以顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BCD，
∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°，
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，圆O的半径为1，点A，B，C在圆周上，∠C＝45°，则弦AB的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB＝90°，可得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴OA＝OB＝1，
∴AB＝OA＝．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．根据圆周角定理求出∠AOB＝90°是解此题的关键．
7．（3分）若|a|＜2，关于x的一元二次方程x2+ax+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不确定
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝a2﹣16＜0进而可得出方程没有实数根．
【解答】解：∵|a|＜2，
∵Δ＝a2﹣4×1×4＝a2﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
8．（3分）某校春季研学活动安排在美丽的某湖风景名胜区，学校安排同学们从“水上大冲关”、“水枪大战”、“画肪游湖”、“龙舟竞渡”中随机选择一种活动参加．小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和她的好朋友小丽选择相同活动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将“水上大冲关”、“水枪大战”、“画肪游湖”、“龙舟竞渡”分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和她的好朋友小丽选择相同活动的结果有4种，
∴小红和她的好朋友小丽选择相同活动的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．（3分）二次函数y＝x2+3的图象与直线AB有交点，若A（0，﹣2），则B的坐标一定不是（ ）
A．B．（﹣1，5）C．（0，﹣1）D．（1，﹣1）
【答案】D
【分析】求得函数y＝x2+3在x＝1、x＝﹣1时的函数值即可判断．
【解答】解：∵y＝x2+3，
∴二次函数y＝x2+3的图象开口向上，对称轴为y轴，最低点为（0，3），
当x＝1时，y＝x2+3＝4，
∴二次函数y＝x2+3的图象与直线AB有交点，
故A不合题意；
当x＝﹣1时，y＝x2+3＝4＜5，
∴二次函数y＝x2+3的图象与直线AB有交点，
故B不合题意；
当点B的坐标为（0，﹣1）时，直线AB是y轴，
∴二次函数y＝x2+3的图象与直线AB有交点，
故C不合题意；
当x＝1时，y＝x2+3＝4＞﹣1，
∴二次函数y＝x2+3的图象与直线AB没有交点，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得x＝1、x＝﹣1时的函数值，与点B的坐标比较是解题的关键．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A（1，0）在x轴上，直角顶点C（1，3），将△ABC以点A为旋转中心，顺时针每秒旋转45°，77秒后，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据所给旋转方式，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∵△ABC绕点A顺时针每秒旋转45°，且360°÷45°＝8，
∴每旋转8次，点B对应点的坐标循环一次．
∵A（1，0），C（1，3），且△ABC是等腰直角三角形，
∴点B坐标为（4，3）．
在Rt△ABC中，
AB＝．
∴1秒后，点B的坐标为（）．
依次类推，
2秒后，点B的坐标为（4，﹣3）；
3秒后，点B的坐标为（1，﹣3）；
4秒后，点B的坐标为（﹣2，﹣3）；
5秒后，点B的坐标为（1﹣，0）；
6秒后，点B的坐标为（﹣2，3）；
7秒后，点B的坐标为（1，3）；
8秒后，点B的坐标为（4，3）；
又因为77÷8＝9余5，
所以77秒后，点B的坐标为（1﹣3，0）．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，能通过计算发现点B对应点的循环规律是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，设牛有x只，该牧民每天需准备 （12x+480） 千克草．
【答案】（12x+480）．
【分析】根据题意，每只羊每天需要4千克草，每只牛每天需要16千克草，设牛有x只，则羊有（120﹣x）只，则该牧民每天需准备：16x+4（120﹣x）千克草，计算即可．
【解答】解：∵每只牛每天的食草量是羊的4倍，若每只羊每天需要4千克草，
∴每只牛每天需要（4×4）千克草，即16千克草，
设牛有x只，则羊有（120﹣x）只，
∴该牧民每天需准备：16x+4（120﹣x）＝（12x+480）千克草，
故答案为：（12x+480）．
【点评】本题考查的是列代数式，根据题目正确列出代数式是解题的关键．
12．（3分）不等式组的正整数解的和为 10 ．
【答案】10．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得答案．
【解答】解：由2x＜5+x得：x＜5，
由x﹣2≤4x+1得：x≥﹣1，
则﹣1≤x＜5，
所以不等式组的正整数解的和为1+2+3+4＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）某园林公司培育3000棵银杏树用来出售，已知树干周长不小于50cm才可出售，如图为随机抽取50棵银杏树测量后所得数据．请预估该公司这批银杏树达到出售标准的数量为 2520 棵．
【答案】2520．
【分析】总数量乘以样本中达到出售标准的数量所占比例即可．
【解答】解：估计该公司这批银杏树达到出售标准的数量为3000×＝2520（棵），
故答案为：2520．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（3分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，，BC＝4，则OC的长度是 ．
【答案】2．
【分析】连接OB，由切线的性质定理得到半径OB⊥AC，由含30度角的直角三角形的性质求出OB＝AB＝2，由勾股定理求出OC＝＝2．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴半径OB⊥AC，
∵∠A＝30°，，
∴OB＝AB＝2，
∵BC＝4，
∴OC＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，关键是由切线的性质定理推出OB⊥AC，由含30角的直角三角形的性质求出OB的长．
15．（3分）如图，Rt△ABC的直角边AC的中点为D，∠A＝30°，点E在斜边上，且AE＝1，若△ADE为直角三角形，则BC的值为 1或 ．
【答案】1或．
【分析】分情况讨论，当∠EDA＝90°时，利用中位线的性质即可得到结论，当∠EDA＝90°时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论．
【解答】解：①当∠EDA＝90°时，
∵AE＝1，∠A＝30°，
∴AD＝，
∵AC的中点为D，
∴BC＝1；
②当∠AED＝90°，
∵AE＝1，∠A＝30°，
∴AD＝，
∵Rt△ABC的直角边AC的中点为D，
∴AC＝2AD＝，
∴BC＝＝．
故答案为：1或．
【点评】本题考查勾股定理．正确记忆相关知识点是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）计算：（a+b）2﹣4（ab+1）
【答案】（1）7；（2）a2+b2﹣2ab﹣4．
【分析】（1）根据实数的运算法则运算即可；
（2）根据完全平方公式和去括号法则运算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+5
＝7；
（2）（a+b）2﹣4（ab+1）
＝a2+2ab+b2﹣4ab﹣4
＝a2+b2﹣2ab﹣4．
【点评】本题考查了实数的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．
17．（9分）近些年很多家庭喜欢在家里种植几株草莓，既可以美化环境，也为生活增添了乐趣．小华家今年种植了甲、乙两个品种的草莓各10株，为了对两个品种的草莓进行比较并推荐给自己的好朋友，他将每株草莓的果实重量（克）做了如下记录并分析：
分析：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 130 ；b＝ 135 ； ＜ （填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表的分析，你认为小华应选择哪个品种的草莓推荐给好友？理由是什么？
（3）通过预估，好朋友家的花园能够种植草莓一百株，根据上面信息，分别计算甲、乙两个品种可能收获果实多少克？
【答案】（1）130，135，＜；
（2）推荐甲品种，理由见解答内容（答案不唯一，合理即可）；
（3）甲、乙两个品种可能收获果实均为13000克．
【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的定义即可解答；
（2）结合统计表，合理分析即可（答案不唯一）；
（3）用平均数乘种植的株数，即可解答．
【解答】解：（1）（110+160+170+140+130+190+60+80+100+160）÷10＝130，所以平均数a＝130；
将乙品种的数据按照从小到大的顺序排列，可得60、80、100、110、130、140、160、160、170、190，
从中可以发现中间的两个数分别为130、140，
（130+140）÷2＝135，所以中位数b＝135；
从表格中可以发现甲品种的数据大约分布在100至160之间，甲品种的数据大约分布在60至190之间，
可以得出甲品种的数据比乙品种的数据波动更小，所以，甲品种数据的方差也比乙品种数据的方差小；
故答案为130，135，＜．
（2）推荐甲品种，因为在平均数相同的情况下，甲的方差小于乙的方差，所以甲品种的果实重量更均匀（答案不唯一，合理即可）．
（3）130×100＝13000（克），
答：甲、乙两个品种可能收获果实均为13000克．
【点评】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18．（9分）如图，△ABC中，∠A＝2∠B．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线，与△ABC边BC交于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：DE＝DC．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）先利用基本作图作AB的垂直平分线，再在AB上截取AE＝AC，从而得到DE；
（2）连接AD，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DAB＝∠B，再证明∠DAB＝∠DAC，然后证明△ADE≌△ADC得到DE＝DC．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：连接AD，如图，
∵点DAB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠DAB＝∠DAC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE＝DC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
19．（9分）如图，点A（﹣5，1），点B（﹣1，5）为反比例函数上两点，点D，E为等腰Rt△ABC两腰的中点，过点C，D，E做圆F．
（1）求k的值；
（2）取DE的中点F，连接CF，DE，试证明CF垂直平分DE．
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）k＝﹣5．（2）见详解；（3）6﹣π．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式求出k值即可；
（2）根据等腰三角形三线合一证明垂直即可；
（3）根据条件，先求出圆的半径r＝，再利用S阴影＝S四边形ABDE﹣S圆F＝S△ABC﹣S△CDE﹣S圆F，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，1）代入得：1＝，
解得：k＝﹣5．
（2）∵点D，E为等腰Rt△ABC两腰的中点，
∴CE＝CD，
∵点F为DE的中点，
∴CF垂直平分DE．
（3）设圆的半径为r，根据题意可知，CF＝EF＝DF＝r，
∵CF垂直平分DE，
∴CF2+DF2＝CD2，即2r2＝CD2，
∵D为BC的中点，CB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，
∴CD＝2，
∴r＝，
∴S阴影＝S四边形ABDE﹣S圆F
＝S△ABC﹣S△CDE﹣S圆F
＝
＝﹣﹣
＝6﹣π．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握三线合一及与圆有关的计算是解答本题的关键．
20．（9分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：
（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边EM，EN所在直线分别经过建筑物外立面的顶部A和C；
（2）用皮尺度量BE和DE的长度；
（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，B，C，D，E，M，N均在同一平面内．测得BE＝9m，DE＝36m．请求出这两栋建筑的高度．
【答案】18m．
【分析】根据题意可得出∠BAE＝∠DEC．再根据tan∠BAE＝tan∠DEC．得出比例式即可求出答案．
【解答】解：由题意得，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠BEA+∠BAE＝90°，∠ECD+∠DEC＝90°，
∵∠MEN＝90°，
∴∠BEA+∠DEC＝90°．
∴∠BAE＝∠DEC．
∴tan∠BAE＝tan∠DEC．
即．
设AB＝CD＝x m，
则，
解得 x＝18（负值舍去）．
经检验，x＝18是原方程的解．
答：两栋楼的高度为18m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（9分）某品牌体育用品店购进一批篮球共花费7500元，除了两个篮球作为展品不出售外，其他篮球每个加价50元后全部售出，获得9600元的销售款．
（1）求这款篮球的进价和售价．
（2）如果该商店准备再购进一批该种篮球用来出售（不再留展品），若要求获利不少于8000元，求最少需进该种篮球多少个．
【答案】（1）这款篮球的进价为150元/个，售价为200元/个；
（2）最少需要进该种篮球160个．
【分析】（1）根据购买的篮球数量得出等式，进而得出答案；
（2）利用获利不少于8000元，得出不等式进而得出答案．
【解答】解：（1）设篮球的进价为x元/个，则售价为（x+50）元/个，依据题意可得：
﹣2＝，
解得：x1＝150，x2＝﹣1250（舍去），
则x+50＝200，
经检验得，x＝150是原方程的解，
答：这款篮球的进价为150元/个，售价为200元/个；
（2）设进该种篮球x个，可列不等式（200﹣150）x≥8000，
解得：x≥160，
答：最少需要进该种篮球160个．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式与不等关系是解题关键．
22．（10分）安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶AB，经走廊顶部水平管道BC流出，呈抛物线落到院中地面上E点（可视C为抛物线顶点）．若走廊DF和顶部BC的宽度均为1m，屋高BD为3m，雨水落点距屋子的水平距离DE为2m，请根据题意，解决下列问题．
（1）建立合适的坐标系，求出雨水从顶点C落到地面E点的抛物线表达式；
（2）现计划在院中安放一个高为0.9m的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心H点，请按设计计算雨水池的底面中心G到墙面的距离DG的长．
【答案】（1）（答案不唯一）以点C为原点，BC所在直线为x轴，B→C方向为正方向建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为 y＝﹣3x2；
（2）m．
【分析】（1）（答案不唯一）以点C为原点，BC所在直线为x轴，B→C方向为正方向建立平面直角坐标系，得到点C，E的坐标利用待定系数法即可求出此时的函数解析式；
（2）先求出BH的长，设H（x，﹣2.1），G（x，﹣3），将H点的坐标代入函数解析式，求出x的值，再根据DG＝DF+FG即可求出DG的长．
【解答】解：（1）（答案不唯一）以点C为原点，BC所在直线为x轴，B→C方向为正方向建立平面直角坐标系，如图．
∵DF＝BC＝1，DE＝2，BD＝3，
∴C（0，0），E（1，﹣3）．
设抛物线解析式为 y＝ax2，
∵将点E（1，﹣3）代入解析式，
得﹣3＝a•12，
解得 a＝﹣3，
∴抛物线的表达式为 y＝﹣3x2；
（2）若想让雨滴正好落在H点，则点H需在CE所在的抛物线上，
∵BD＝3，HG＝0.9，
则B与H的距离为 3﹣0.9＝2.1，
可设H（x，﹣2.1），G（x，﹣3），
将 H（x，﹣2.1）代入解析式，
得﹣2.1＝﹣3x2，
解得 （负值已舍），
∴（m），
答：雨水池的底面中心G到墙面的距离DG的长为m．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
23．（10分）类比和转化思想常常可以为我们的数学解题提供助力．下面题目是一次综合复习课上老师给出的问题，请你注意数学思想的使用，完成下列问题．
如图，边长为6的等边△ABC内有一点M，MB＝MC．
（1）如图①，若∠MBC＝30°，求BM的长；
（2）如图②，若，过M作BC的平行线交△ABC的两边为D，E，求DE的长；
（3）如图③，若，过M作AC的平行线交△ABC的两边为F，G，求GF的长．
【答案】（1）BM＝2；
（2）DE＝6﹣2；
（3）GF＝．
【分析】（1）如图①，连接AM并延长交BC于点H，根据含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）根据勾股定理求出MH，AH，再利用特殊角的三角函数即可解决问题；
（3）先证明△BGF与△ABC均为等边三角形，再利用特殊角的三角函数即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①，连接AM并延长交BC于点H，
∵△ABC与△BCM均为等腰三角形，
∴AB＝AC，BM＝CM，
∴AH为BC的垂直平分线，
即BH＝HC＝BC，AH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∵ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝6，
∴BH＝3，
在Rt△BHM中，∠HBM＝30°，
∵cs30°＝＝，
∴BM＝2；
（2）如图②，∵BM＝3，BH＝3，
在Rt△BMH中，根据勾股定理得：MH＝＝＝3，
在Rt△ABH中，AB＝6，BH＝3，
∴AH＝＝＝3，
∴AM＝AH﹣MH＝3﹣3，
在Rt△ABH与Rt△ADM中，
∵tan60°＝＝＝，
∴DM＝＝3，
∴DE＝2DM＝2（3﹣）＝6﹣2；
（3）如图③，∵GF∥AC，
∴∠BAC＝∠BGF＝60°，∠ABC＝60°，
∴△BGF与△ABC均为等边三角形，
∴＝，
∵AH为△ABC的垂直平分线，
∴△BMC为等腰三角形，MH⊥BC，
在Rt△BMH中，BH2+MH2＝BM2，BH＝3，
∴MH＝，
在Rt△MHF中，
tan∠HFG＝tan60°＝，
∴HF＝，
∴BF＝BH+HF＝3+＝，
∵三角形BGF为等边三角形，
∴GF＝BF＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用所学知识解决问题．
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