2024年上海市杨浦区初三二模数学试卷和答案

这是一份2024年上海市杨浦区初三二模数学试卷和答案，共30页。试卷主要包含了 本试卷含三个大题，共25题；等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1． 本试卷含三个大题，共25题；
2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）
1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
3. 当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 5
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 四条边相等四边形是正方形B. 四个内角相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
6. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，如果点A、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）
7. 计算：______．
8. 在实数范围内因式分解__________
9. 函数的定义域是__________．
10. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
11. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．
12. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是_________．
13. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______．
14. 如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）
15. 近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．
16. 如图，在中，，垂直平分线交边于点D，如果，那么______．
17. 如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．
18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F．

（1）求的长；
（2）求长．
22. 寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像．
根据图像提供的信息回答下列问题：
（1）图中的_______，______；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．
23. 已知：如图，在梯形中，，，，平分线交延长线于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点G，如果，求证：．
24. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：
已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆．
（1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）．
（2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是．
①求y关于x的函数解析式；
②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标．
25. 已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．
（1）如图，当的延长线经过点时，求的值；
（2）如图，作，垂足为点，连接．
试判断与的大小关系，并证明你的结论；
当是等腰三角形，且，求的值．
2023学年度第二学期初三质量调研（一）数学学科
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1． 本试卷含三个大题，共25题；
2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）
1. 下列根式中，的同类二次根式是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查同类二次根式，解题关键在于先化简． 化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：A． 与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B． 与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C． 与被开方数相同，故是同类二次根式；
D． 与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选C．
2. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
3. 当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图像不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据k判断是经过一三象限还是二四象限，然后再根据b的值判断在y轴的哪半轴，从而得出结果．
【详解】解：∵k＜0，
∴函数图像经过第二四象限，
∵b＜0，
∴图像与y轴负半轴相交，
∴图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是根据一次函数的解析式判断其经过的象限．
4. 已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可．
【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a；
∴．
∴D符合题意
故选D．
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 四条边相等的四边形是正方形B. 四个内角相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
B、四个内角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，如果点A、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．由旋转的性质可得，，再结合已知条件逐一分析判断即可．
【详解】解：A．由旋转的性质可知，，
∴当点A、、在同一条直线上时，，
故选项A不符合题意；
B．由旋转的性质可知，，
∴，，
由∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选项B不符合题意；
C、∵，，
∴由旋转性质可得：，
当时，
∴，与题干条件矛盾，
∴选项C符合题意
D． ∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上）
7. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是关键．
根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 在实数范围内因式分解__________
【答案】##
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键．
9. 函数的定义域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可．
【详解】解：根据题意可得，＞0，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟练运用相关性质列不等式，确定自变量的取值范围．
10. 若关于x方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11. 布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1，2，3，4，5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是合数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案．
【详解】解：∵共五个数，合数为4，共1个，
∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是合数的概率为，
故答案为：．
12. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小，则的取值范围是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小．
【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数 （），（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．
13. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关键．利用平行四边形的性质可先证明，然后用三角形法则表示出，即可得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
15. 近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴20元的占比，
∴食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是
（元），
故答案为：
16. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点D，如果，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，连接，设，可得，求解，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，设，
∴，
∵的垂直平分线交边于点D，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
17. 如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______厘米．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．
设正八边形的边长为，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．
【详解】解：如图
设正八边形的边长为，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为，
正方形的边长为，
，
解得，
故答案为：．
18. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，再分别求解的值，从而可得答案．
【详解】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，
∵矩形，，，
∴四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
∵，为圆心，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
解得：；
如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，
∵矩形，，，
∴，，四边形为矩形，
∴，
同理可得：
，，
∵，
∴，
∴，
∵
在中，，
∴，
综上：点E到直线的距离不超过3，则；
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分数指数幂的运算，二次根式的混合运算，整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算负整数指数幂，零次幂，分数指数幂，化简绝对值，再合并即可．
【详解】解：
；
20. 解方程组：．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为或，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
由②得：，
∴，
∴或，
∴或，
解得：或．
21. 如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F．

（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，，，结合，可得，再利用勾股定理可得答案；
（2）过作于，可得，证明，求解，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵，点G是的重心，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，过作于，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，重心性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
22. 寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像．
根据图像提供的信息回答下列问题：
（1）图中的_______，______；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）提速后y关于x的函数解析式为．
（3）能．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
．
【小问2详解】
设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标和代入，
得 ，
解得 ，
∴提速后y关于x的函数解析式为．
【小问3详解】
能．理由如下：
当她们到达目的地时，， 得，
解得，
小时=6时12分，
∴她们于12：12分到达目的地．
23. 已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点G，如果，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，结合，可得四边形是平行四边形，从而可得结论，
（2）如图，连接交于点G，交于，证明梯形是等腰梯形，证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵的平分线交延长线于点E，交于点F．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
如图，连接交于点G，交于，

∵在梯形中，，，
∴梯形是等腰梯形，
∴，，
∵菱形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．
24. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：
已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆．
（1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）．
（2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是．
①求y关于x的函数解析式；
②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键．
（1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可；
（2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式；
②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解．
【小问1详解】
解：过点M作，设圆M的半径为R，
∵，，
∴，
∵圆M是点P与直线点切圆，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：①过点M作,，
由（1）得，则，，则，
在中，得：，化简得：．
②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，
∵，
∴，
∴，则，
∴点代入得：
解得：或，
∴点或．
25. 已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．
（1）如图，当的延长线经过点时，求的值；
（2）如图，作，垂足为点，连接．
试判断与的大小关系，并证明你的结论；
当是等腰三角形，且，求的值．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；的值为或或．
【解析】
【分析】（）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
（）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得；
利用分类讨论的方法分三种情况解答： 当时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；当 时，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；当时，则，连接，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可．
【小问1详解】
当的延长线经过点时，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
与的大小关系为：，
理由：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵
∴，
∵为直径，，
∴,
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
当时，
由（）知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
过点作于点，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，，
∴，
当时，则，连接，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，
∴
综上，当是等腰三角形，且，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．