2023-2024学年内蒙古通辽市九年级（下）第四次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古通辽市九年级（下）第四次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，是有理数的为( )
A. 3B. 39C. π+42D. 0
2.下列计算正确的是( )
A. (y+1)2=y2+1B. (−a2)3=−a5
C. (−2m−2)3=−6m−6D. (3−π)2=π−3
3.桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是
( )
A. B. C. D.
4.一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是( )
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 众数
5.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a−1|− (a−2)2的结果是( )
A. 2a−3B. −1C. 1D. 3−2a
6.2021年9月8日，教育部举办新闻发布会，介绍了教师队伍建设进展，根据最新统计数据显示，教师总数已经达到1792.97万人，将1792.97万人用科学记数法表示为( )
A. 0.179297×104万人B. 1.79297×103万人
C. 17.9297×102万人D. 1.79297×103人
7.如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF=36°，∠BEG=57°，则∠EHF的大小为( )
A. 105°B. 75°C. 90°D. 95°
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG=1，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A. 2B. 12C. 1D. 无法确定
9.若关于x的方程axx−1=2x−1+1无解，则a的值是( )
A. 1B. 3C. −1或2D. 1或2
10.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是( )
A. 10B. 3C. 9D. 2
11.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为(0,4)，将△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A′BO′，若函数y=kx(x>0)的图象经过点O′，则k的值为( )
A. 2 3
B. 4
C. 4 3
D. 8
12.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④a+b≥m(am+b)(m为实数)；⑤当−10，其中正确的是( )
A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.分解因式：3x−12x3= ．
14.使得代数式1 x−3有意义的x的取值范围是______．
15.如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD/​/BO，∠ABO=60°，AB=8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是 ．
16.若关于x的一元一次不等式组2x−1<3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是______．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18.计算：2cs45°−| 2−1|−(12)−2+(π−3)0．
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
先化简(aa−1−1a+1)÷1a2−1，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．
20.(本小题7分)
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
21.(本小题7分)
冰墩墩将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，整体形象酷似航天员，凭借憨态可掬的模样和活波调皮的性格，成为新晋“顶流”，同时形成了“一墩难求”的局面，小丽爸爸买了四个外包装完全相同的冰墩墩手办，其中两个为经典造型，两个为冰球造型，在没有拆外包装的情况下，小丽和哥哥各自从这四个手办中随机拿走一个．
(1)若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为______；
(2)若小丽先拿走一个，哥哥再从剩下的三个中随机拿走一个，求小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率．
22.(本小题8分)
如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，连接EF，AC⊥EF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接BD交AC于点O，若E为AB中点，BD=4，tan∠ABD=12，求OE的长．
23.(本小题8分)
家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
(1)下列选取样本的方法最合理的一种是______.(只需填上正确答案的序号)
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
(2)本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=______，n=______；②补全条形统计图；
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______；
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收站，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
24.(本小题9分)
如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE=EF．
(1)求证：∠C=90°；
(2)当BC=3，sinA=35时，求AF的长．
25.(本小题9分)
某商场销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=−10x+400，设销售这种商品每天的利润为W(元)
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得2000元的利润，应将销售单价定为多少元？
(3)当每天销售量不少于50件，且销售单价至少为32元时，该商场每天获得的最大利润是多少？
26.(本小题9分)
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=2，OB=OC=6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求DEOE的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： 3，39，π+42是无理数，
0是有理数，
故选：D．
根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2.【答案】D
【解析】解：A、(y+1)2=y2+1+2y，原计算错误，不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，原计算错误，不符合题意；
C、(−2m−2)3=−8m−6，原计算错误，不符合题意；
D、 (3−π)2=π−3，正确，符合题意．
故选：D．
分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从左边看，
故选：C．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】A
【解析】解：一组数据为5，6，7，8，10，10，某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，中位数不变，平均数，方差，众数发生变化，
故选：A．
根据中位数，平均数，方差，众数的定义判断即可．
本题考查中位数，平均数，方差，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】A
【解析】解：由图知：1∴a−1>0，a−2<0，
原式=a−1−[−(a−2)]=a−1+(a−2)=2a−3．
故选：A．
根据数轴上a点的位置，判断出(a−1)和(a−2)的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1>0，a−2<0是解题关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：将1792.97万人用科学记数法表示为1.79297×103万人．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，要熟练掌握．
首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB/​/CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF即可．
【解答】
解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，
∴∠FEH=180°−36°−57°=87°；
∵AB/​/CD，
∴∠EFG=∠AEF=36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=12∠EFG=12×36°=18°，
∴∠EHF=180°−∠FEH−∠EFH=180°−87°−18°=75°．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1．
故选：C．
如图，过点G作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查尺规作图−作一个角的平分线，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：axx−1=2x−1+1，
去分母得，ax=2+x−1，
整理得，(a−1)x=1，
当x=1时，分式方程无解，
则a−1=1，
解得，a=2；
当整式方程无解时，a=1，
故选：D．
先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．
本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了轴对称--最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果．
【解答】
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE，
即P是AC与BE的交点时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，DE=2CE，
∴CE=1，
∴BE= 32+12= 10．
故选A．
11.【答案】C
【解析】解：∵点B的坐标为(0,4)，
∴OB=4，
作O′C⊥OB于点C，
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A′BO′，
∴O′B=OB=4，
∴O′C=4× 32=2 3，BC=4×12=2，
∴OC=OB−BC=2，
∴点O′的坐标为：(2 3,2)，
∵函数y=kx(x>0)的图象经过点O′，
∴2=k2 3，得k=4 3，
故选：C．
根据题意可以求得点O′的坐标，从而可以求得k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>0．
【解答】
解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，故正确；
②∵对称轴x=−b2a=1，
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=−2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−(−2a)+c=3a+c<0，故错误；
④根据图示知，当x=1时，二次函数有最大值；
此时y=a+b+c，
所以有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m(am+b)(m为实数)．
故正确．
⑤如图，当−1故错误．
故选：A．
13.【答案】3x(1−2x)(1+2x)
【解析】【分析】
原式分解因式时，先考虑是否有公因式，再考虑公式法，如果有两项则考虑平方差公式分解．
此题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用．
【解答】
解：3x−12x3
=3x(1−4x2)
=3x(1−2x)(1+2x)．
故答案为：3x(1−2x)(1+2x)．
14.【答案】x>3
【解析】解：∵代数式1 x−3有意义，
∴x−3>0，
∴x>3，
∴x的取值范围是x>3，
故答案为：x>3．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
15.【答案】643π−8 3
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接OA，求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影=S扇形AOE−S△OCD，即可得到结论．
【解答】
解：连接OA，
∵∠ABO=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOE=120°，
∵AB=8，
∴⊙O的半径为8，
∵AD/​/OB，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，∠AOD=60°，
∵∠AOE=120°，
∴∠DOE=60°，
∵DC⊥BE于点C，
∴在Rt△OCD中，CD= 32OD=4 3，OC=12OD=4，
∵AD/​/OB，
∴S△ABD=S△AOD,
∴S阴影=S扇形AOE−S△OCD
=120π×82360−12×4×4 3
=64π3−8 3．
故答案为64π3−8 3．
16.【答案】a≥2
【解析】解：不等式组整理得：x<2x∵不等式组的解集为x<2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
17.【答案】12 55
【解析】解：由题意得：DF=DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=3；而AC=4，
由勾股定理得：AD2=AC2+CD2
∴AD=5，而FD=3，
∴FA=5−3=2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，
∴FH//AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴DFAD=DHCD=HFAC，
∴HF=125，DH=95，
∴BH=245，
∴BF= BH2+HF2=12 55，
故答案为：12 55．
由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
18.【答案】解：原式=2× 22− 2+1−4+1=−2．
【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
19.【答案】解：原式=aa−1×(a2−1)−1a+1×(a2−1)
=a(a+1)−(a−1)
=a2+a−a+1
=a2+1．
∵若使分式有意义，则a2−1≠0，即a≠±1．
∴当a=0时，原式=0+1=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a≠±1．
20.【答案】解：(1)由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=30°，
(2)由(1)可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=40(海里)
过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°=20 3(海里)
20 3>20
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】(1)在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
(2)作PD⊥AB于D.求出PD的值即可判定；
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
21.【答案】12
【解析】解：(1)若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为24=12，
故答案为：12；
(2)设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，
画树状图如图所示，
∵共有12种等可能的结果，小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的有8种情况，
∴小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率为812=23．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵AC⊥EF，
∴∠BAC=∠DAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠BAC=∠BCA，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：如图，连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴OA=OC，OB=OD=12BD=2，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵tan∠ABD=OAOB=12，
∴OA=12OB=1，
∴AB= OA2+OB2= 12+22= 5，
若E为AB的中点，
则OE=12AB= 52．
【解析】(1)由平行四边形的性质得∠CAD=∠ACB，再证∠BAC=∠DAC，得△ABC为等腰三角形即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，再由锐角三角函数定义得OA=12OB=1，则AB= 5，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)③；
(2) ①20； 6
②C类户数为：1000−(80+510+200+60+50)=100(户)，
条形统计图补充如下：
③36° ；
④180×10%=18(万户)．
答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
【解析】解：(1)选取样本的方法最合理的一种是③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取；
故答案为：③；
(2)①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%=1000(户)，
m%=2001000=20%，m=20，
n%=601000=6%，n=6．
故答案为20；6；
②C类户数为：1000−(80+510+200+60+50)=100(户)，
条形统计图补充如下：
③扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×10%=36°，
故答案为：36°；
④180×10%=18(万户)．
答：若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
【分析】
(1)根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
(2)①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调査的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③用360°乘以C类对应的百分比可得；
④用180万户乘以样本中送回收站的户数所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
24.【答案】解：(1)连接OE，BE，
∵DE=EF，
∴DE⌒=EF⌒，
∴∠OBE=∠DBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE/​/BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°；
(2)在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=35，
∴AB=5，
设⊙O的半径为r，则AO=5−r，
在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，
∴r=158，
∴AF=5−2×158=54．
【解析】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数的定义，切线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
(1)连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE⌒=EF⌒，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE/​/BC，从可证明BC⊥AC；
(2)设⊙O的半径为r，则AO=5−r，在Rt△AOE中，sinA=OEOA=r5−r=35，从而可求出r的值．
25.【答案】解：(1)根据题意，可得，W=(x−10)(−10x+400)=−10x2+500x−4000；
(2)由题意知，W=2000元，即−10x2+500x−4000=2000，
解得x1=20，x2=30，
∵销售量y=−10x+400随销售单价x的增大而减小，
∴当x=20时，既能保证销售量大，又可以每天获得2000元的利润；
(3)由题意知，x≥32，且−10x+400≥50，解得32≤x≤35，
∵W=−10x2+500x−4000=−10(x−25)2+2250，
∴对称轴x=25，
∴在对称轴右侧W随着x的增大而减小，
∴当x=32时，W最大值，W最大=−10(32−25)2+2250=1760，
∴当32≤x≤35时，该商场每天获得的最大利润是1760元．
【解析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=−b2a时取得．
(1)直接利用每件利润×总销量=总利润，进而得出等式求出即可；
(2)利用(1)中的关系式，令W=2000解出x，注意到销售量尽可能大的前提下这一条件，要根据销售量的增减性来取x的值．
(3)先根据题意求出自变量的取值范围，再依据函数的增减性求得最大利润．
26.【答案】解：(1)∵点A在x轴的负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OB=OC=6，
∴A(−2,0)、B(6,0)、C(0,6)，
把A(−2,0)、B(6,0)、C(0,6)代入y=ax2+bx+c，
得4a−2b+c=036a+6b+c=0c=6，
解得a=−12b=2c=6，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+2x+6．
(2)存在，
如图1，过点D作DF⊥x轴交BC于点F，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
把B(6,0)、C(0,6)代入y=kx+n，
得6k+n=0n=6，
解得k=−1n=6，
∴直线BC的解析式为y=−x+6，
设点D的横坐标为x(0∴DE=(−12x2+2x+6)−(−x+6)=−12x2+3x，
∵DF/​/OC，
∴△DFE∽△OCE，
∴DEOE=DFOC=16DF=16(−12x2+3x)=−112(x−3)2+34，
∵−32<0，且0<3<6，
∴当x=3时，DEOE取得最大值34，此时D(3,152)，
∴DEOE的最大值为34，此时点D的坐标为(3,152).
(3)存在，
∵y=−12x2+2x+6=−12(x−2)2+8，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设点P的坐标为(2,m)，
如图2，Rt△PBC以PB为斜边，则PC2+BC2=PB2，
∴[22+(m−6)2]+(62+62)=(2−6)2+m2，
解得m=8，
∴P(2,8)；
如图3，Rt△PBC以PC为斜边，则PB2+BC2=PC2，
∴[(6−2)2+(0−m)2]+(62+62)=22+(6−m)2
解得m=−4，
∴P(2,−4)；
如图4，Rt△PBC以BC为斜边，则PB2+PC2=BC2，
∴[(6−2)2+(0−m)2]+(22+(m−6)2)=62+62，
解得x1=3+ 17，x2=3− 17，
∴P(2,3+ 17)或P′(2,3− 17)，
综上所述，点P的坐标为(2,8)或(2,−4)或(2,3+ 17)或(2,3− 17).
【解析】(1)先由点A在x轴的负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OB=OC=6，确定点A、B、C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c，列方程组求了a、b、c的值即可；
(2)过点D作DF⊥x轴交BC于点F，先求出直线BC的解析式，设点D的横坐标为x，用含x的代数式分别表示点D、点F的坐标及线段DF的长，再根据△DFE∽△OCE求出DEOE关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求出DEOE的最大值及此时点D的坐标；
(3)存在点P，使△BCP是直角三角形，先求出抛物线的对称轴为直线x=2，设点P的坐标为(2,m)，再按以PB为斜边、以PC为斜边或以BC为斜边进行分类讨论，列方程求出m的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质等知识与方法，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．