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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题28电磁感应综合问题(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题28电磁感应综合问题(原卷版+解析)，共99页。试卷主要包含了电磁感应中的图像问题，电磁感应中的电路问题，电磁感应中的平衡和动力学问题，电磁感应中的能量问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc344" 题型一 电磁感应中的图像问题 PAGEREF _Tc344 \h 1
\l "_Tc28764" 类型1 动生问题的图像 PAGEREF _Tc28764 \h 2
\l "_Tc28883" 类型2 感生问题的图像 PAGEREF _Tc28883 \h 5
\l "_Tc12505" 类型3 动力学图像 PAGEREF _Tc12505 \h 7
\l "_Tc28342" 题型二 电磁感应中的电路问题 PAGEREF _Tc28342 \h 10
\l "_Tc13504" 类型1 动生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc13504 \h 11
\l "_Tc14192" 类型2 感生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc14192 \h 17
\l "_Tc30186" 类型3 电磁感应中电荷量的计算 PAGEREF _Tc30186 \h 20
\l "_Tc22540" 题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题 PAGEREF _Tc22540 \h 26
\l "_Tc17765" 题型五 电磁感应中的能量问题 PAGEREF _Tc17765 \h 51
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
【例1】（2023·河南·校联考二模）如图所示，水平面内边长为的正方形MNPQ区域内有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、分别为MN和PQ的中点。一边长为l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线匀速穿过图示的有界匀强磁场，运动过程中bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于直线上下对称。规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）如图所示，平行虚线a、b之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两虚线间的距离为。现使一粗细均匀、电阻为的闭合直角三角形导线框以恒定的速度沿垂直于磁场边界的方向穿过磁场区域。已知边长为，边与磁场边界平行。时刻，点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流及安培力的功率随时间变化的图线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是( )
类型2 感生问题的图像
【例1】 (多选)(2022·河南六市联合调研)如图甲所示，一正方形金属线圈放置在水平桌面上，其左半边处于竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(竖直向下为B的正方向)，而线圈始终保持静止。则下列关于线圈中的感应电流i(逆时针方向为其正方向)及线圈所受摩擦力Ff(取水平向右为其正方向)随时间t变化的关系图像中正确的是( )
【例2】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )
类型3 动力学图像
【例1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中放置两平行且足够长的光滑水平金属导轨，导体棒MN沿轨道向右匀速运动，导轨左侧接有电源和电容器，不计导体棒以外的电阻。时将S由a转接到b，MN两端的电势差、导体棒的动能与时间t或位移x的关系图像一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d，其左端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量m(质量分布均匀)的导体杆在向右运动，且与两导轨保持良好接触，从某时刻起施加一拉力F，F＝kv(k为大于0的常数)，其他电阻均不计，则此后导体杆的速度随时间变化图像可能为（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④
题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
【例1】（2023春·四川成都·高三校联考期中）水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，足够长的金属棒ab置于导轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨成，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。不计导轨和金属棒ab的电阻，则通过金属棒ab的电流方向及和之比分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例2】．（2023春·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考期中）如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成。若线框的总电阻为R，则（ ）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为
D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【例3】（2023春·山东临沂·高三统考期中）如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒MN从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，改变可变电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度v，得到的关系如图乙所示，g取10m／s2。 则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kgB．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R0＝2ΩD．定值电阻R0＝4Ω
【例4】．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）半径为a右端开小口的导体圆环和长为的导体直杆，单位长度电阻均为。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由确定，如图所示。则（ ）
A．时，杆产生的电动势为
B．时，杆产生的电动势为
C．时，杆受的安培力大小为
D．时，杆受的安培力大小为
类型2 感生电动势的电路问题
【例1】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计。在0至t1时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R1的电荷量
【例2】．（2023春·广西来宾·高三校考阶段练习）用电阻为r的硬质细导线，做成半径为R的圆环，垂直圆环面的磁场充满其内接正方形，时磁感应强度的方向如图（a）所示，磁感应强度随时间t的变化关系如图（b）所示，则圆环中产生的感应电动势为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，边长为的正方形金属框由两种材料组成，其中边电阻为，其余3个边总电阻为，框内有垂直框面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（ ）
A．B．C．D．
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝eq \f(nΔФ,R总)
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt)及法拉第电磁感应定律eq \x\t(E)＝eq \f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R总)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总Δt)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).即q＝neq \f(ΔΦ,R总)
【例1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq \f(B′,B)等于( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D．2
【例2】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝eq \f(t0,2)时，圆环受到的安培力；
(2)在0～eq \f(3,2)t0内，通过圆环的电荷量．
【例3】(2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．棒产生的电动势为eq \f(1,2)Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为eq \f(2gd,Br2ω)
C．电阻消耗的电功率为eq \f(πB2r4ω,2R)
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距，导轨的左端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在侧，存在沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图乙所示，现有一根质量、电阻的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力F作用下，从处以初速度沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在处的速度大小为
C．金属棒MN从运动到过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从运动到过程中，流过金属棒MN的电荷量为
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
【例1】（2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期6月适应性考试物理试题）如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲产生的焦耳热比乙多B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动D．甲减速运动，乙加速运动
【例2】．（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。若从S闭合开始计时，金属杆下落的速度大小可能（ ）
A．始终增加B．先增加后减小C．始终不变D．先减小后增大
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，在水平地面上固定有一光滑的且电阻不计的平行金属导轨，导轨间距。导轨左端接入一个的定值电阻，导轨右端接入一个阻值为的小灯泡。在轨道中间CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，已知CE长。在时，一阻值的金属棒，在垂直于金属棒的恒定外力F作用下从AB位置由静止开始沿导轨向右运动，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，小灯泡的亮度一直保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在未进入磁场时，通过小灯泡的电流
B．金属棒在未进入磁场时，金属棒所受到的恒定外力
C．金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，金属棒的最大速度为
D．金属棒的质量，小灯泡的功率为
【例4】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为，两导轨间距为L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度。一段时间后，观察到导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为，导体杆和导轨电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【例5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【例6】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【例7】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcsα
C．金属棒的最大速度大小为
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多
【例8】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）如图1所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距d=0.4m，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2左侧部分的导轨与电容C=2mF的平行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2右侧部分的导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为2m的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚线O1O2后，作出金属棒的图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
C．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【例9】（2023·江西宜春·校联考二模）两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为，间距，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，两根相同的质量均为金属棒垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均为，重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的最大速度为B．金属棒的最大加速度为
C．最终金属棒的加速度都是0D．金属棒先加速后匀速
【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R总=1Ω，运动过程中两棒未发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【例11】（2023·天津河北·统考二模）如图所示，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁㤪应强度大小，重力加速度大小取，。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数。
【例12】．（2023春·福建泉州·高三校考期中）如下图所示，在距离水平地面h=0.8m的虚线的上方有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场。正方形线框abcd的边长l=0.2m，质量m=0.1kg，电阻R=0.08Ω。某时刻对线框施加竖直向上的恒力F=2N，且ab边进入磁场时线框以v0=2m/s的速度恰好做匀速运动。当线框全部进入磁场后，立即撤去外力F，线框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面。整个过程线框没有转动，线框平面始终处于纸面内，g取10m/s2。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线框从开始进入磁场运动到最高点所用的时间；
（3）线框落地时的速度的大小。
【例13】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距，左端连接阻值的电阻。质量的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数，从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知内电阻R上产生的热量，求：导体棒达到最大速度时牵引力大小及导体棒从静止开始达到最大速度时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力，且将电阻换为的电容器（耐压值足够大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
eq \x(\a\al\vs4\cl(其他形式,的能量))eq \(――――――→,\s\up7(克服安培力做功))eq \x(电能)eq \(―――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al\vs4\cl(焦耳热或其他,形式的能量))
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两根间距为、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的图像，重力加速度。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．前2s内通过电阻R的电荷量为1.4C
C．前2s内金属杆通过的位移为4m
D．前4s内电阻R产生的热量为6.2J
【例2】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【例3】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，竖直向下，水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照（且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【例4】．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
B．
C．D．
【例5】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内阻为R，不计金属轨道的电阻，则（ ）
A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【例6】（2023春·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两电阻不计，且足够长的平行光滑导轨与水平面的夹角，导轨下端接一阻值的定值电阻。空间中存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导轨间距均为，导体棒电阻、质量。在导体棒ab上施加一沿导轨平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为，，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中Fm和v1的大小分别为多少；
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内电路产生的焦耳热。
【例7】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6Ω的电阻，质量m＝0.5kg，电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8m时达到稳定状态，对应过程的v-t图像如图乙所示。取g＝10m/s2，导轨足够长（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）。求：
（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
（2）由图中信息计算0~1s内，通过电阻R的电量q和导体棒滑过的位移x。
【例8】（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为，间距为，在导轨之间接有阻值为的定值电阻，质量为，电阻为的金属杆ab由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为的重物P相连，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab置于导轨下端靠近电阻R处，将重物P和金属杆ab由静止释放，当金属杆ab运动到Q点（图中未画出）时，通过R的电量为，此时重物P已经开始匀速下降，运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度g取，求：
（1）重物P匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab从释放到Q点的过程中，定值电阻R中产生的焦耳热；
（3）若金属杆到达Q点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B随时间t变化的关系式。
【例9】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求：
（1）此时b棒的速度大小；
（2）此时b棒的加速度大小；
（3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。
【例10】（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图所示，弯折成角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成，右导轨平面与水平面成，两导轨相距，电阻不计质量均为，电阻均为的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为，整个装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为，g取，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑的过程中b棒上产生的焦耳热Q。
【例11】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内的虚线下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速度g。求：
（1）线圈中的最大电流Im和电流的方向；
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。
【例12】．（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑固定斜面，斜面上相隔为的平行虚线与间有大小为的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量，电阻，边长的正方向单匝纯电阻金属线圈，线圈边从距上方处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动。重力加速度。求：
（1）边刚进入磁场时线圈的速度和加速度；
（2）线圈进入磁场的过程中，通过边的电量q；
（3）线圈通过磁场的过程中产生的热量Q。
【例13】．（2023春·湖北·高三校联考期中）如图甲所示，游乐园中的过山车虽然惊险刺激，但也有多种措施保证了它的安全运行。其中磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全商设计的一种刹车形式，磁场很强的钕磁铁安装在轨道上，刹车金属框安装在过山车底部。其简化模型如图所示，将刹车金属框看作为一个边长为L，总电阻为R的单匝正方形线框，则过山车返回水平站台前的运动可以简化如下：线框沿着光滑斜面下滑s后，下边框进入匀强磁场时线框开始减速，下边框出磁场，线框刚好开始做匀速直线运动。已知斜面与水平面的夹角为θ，过山车的总质量为m，磁场区上下边界间的距离也为L，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，求：
（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框求感应电流的方向和此时感应电流的大小？
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热？
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
专题28 电磁感应综合问题
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc344" 题型一 电磁感应中的图像问题 PAGEREF _Tc344 \h 1
\l "_Tc28764" 类型1 动生问题的图像 PAGEREF _Tc28764 \h 2
\l "_Tc28883" 类型2 感生问题的图像 PAGEREF _Tc28883 \h 5
\l "_Tc12505" 类型3 动力学图像 PAGEREF _Tc12505 \h 7
\l "_Tc28342" 题型二 电磁感应中的电路问题 PAGEREF _Tc28342 \h 10
\l "_Tc13504" 类型1 动生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc13504 \h 11
\l "_Tc14192" 类型2 感生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc14192 \h 17
\l "_Tc30186" 类型3 电磁感应中电荷量的计算 PAGEREF _Tc30186 \h 20
\l "_Tc22540" 题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题 PAGEREF _Tc22540 \h 26
\l "_Tc17765" 题型五 电磁感应中的能量问题 PAGEREF _Tc17765 \h 51
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
【例1】（2023·河南·校联考二模）如图所示，水平面内边长为的正方形MNPQ区域内有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、分别为MN和PQ的中点。一边长为l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线匀速穿过图示的有界匀强磁场，运动过程中bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于直线上下对称。规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当b点接触MQ前，bc切割磁感线，电动势E=Blv
根据楞次定律，电流方向为逆时针，正方形线框继续向右运动，在ad边进入磁场前的时间内，bc边上下两部分在方向不同的磁场中运动，在垂直纸面向里的磁场中运动的部分长度越来越短，在垂直纸面向外的磁场中运动的部分长度越来越长，但在垂直纸面向里的磁场中运动部分的长度一直大于在垂直纸面向外的磁场中运动部分的长度，所以这段时间内电流方向为逆时针，且电流逐渐减小，当ad边运动至与MN重合时，电流为0，ad边刚进入时，根据楞次定律，电流方向为顺时针， bc边上下两部分切割磁感线长度相等，感应电动势方向相反，所以此时电流大小为
此后电流一直增大，到bc边运动至整条边都在向外的磁场时，电流最大，最大电流为，bc边运动PQ重合时，电流为，此后根据楞次定律，电流逆时针方向，且电流一直增大，当ad边在磁场中运动时，电流为。
故选B。
【例2】（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）如图所示，平行虚线a、b之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两虚线间的距离为。现使一粗细均匀、电阻为的闭合直角三角形导线框以恒定的速度沿垂直于磁场边界的方向穿过磁场区域。已知边长为，边与磁场边界平行。时刻，点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流及安培力的功率随时间变化的图线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】AB．如图所示
导线框从初位置1到整个导线框进入磁场位置2的过程，切割磁感线的有效长度随时间线性增大，则电动势大小随时间线性增大，电流大小随时间线性增大，由右手定则可知电流方向为逆时针方向，即为正方向；导线框从位置2到完全离开磁场位置3的过程，切割磁感线的有效长度随时间线性增大，则电动势大小随时间线性增大，电流大小随时间线性增大，由右手定则可知电流方向为顺时针方向，即为负方向，A正确，B错误；
CD．线圈匀速运动，电流的热功率等于安培力做功的功率，即
由于从位置1到位置2电流大小从随时间线性增大，从位置2到位置3电流大小又从随时间线性增大，可知C错误，D正确；
故选AD。
【例3】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是( )
【答案】 A
【解析】 进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大于重力，线框减速运动，安培力减小，合力减小，加速度减小，有可能在cd边进入磁场前安培力减到和重力相等，线框做匀速运动；
在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，A错误，B正确；
进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力小于重力，线框做加速运动，但加速度减小，在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，C正确；
进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大小等于重力，线框做匀速运动，在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，D正确．
类型2 感生问题的图像
【例1】 (多选)(2022·河南六市联合调研)如图甲所示，一正方形金属线圈放置在水平桌面上，其左半边处于竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(竖直向下为B的正方向)，而线圈始终保持静止。则下列关于线圈中的感应电流i(逆时针方向为其正方向)及线圈所受摩擦力Ff(取水平向右为其正方向)随时间t变化的关系图像中正确的是( )
【答案】 BC
【解析】 由楞次定律及法拉第电磁感应定律可知，在第1 s内，线圈中的感应电流为逆时针方向的恒定电流，在第2 s内无感应电流，在第3 s内感应电流为顺时针方向的恒定电流，其大小为第1 s内感应电流的eq \f(1,2)，故选项B正确，A错误；根据左手定则及F＝IlB可知，线圈所受安培力F随时间t变化的关系图像如图所示，再根据“二力平衡条件”得摩擦力Ff与t的关系图像应为选项C所示，故选项C正确，D错误。
【例2】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )
【答案】 AD
【解析】 根据法拉第电磁感应定律有E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S，根据楞次定律可得感应电流的方向，又线圈中感应电流沿abca方向为正，结合题图乙可得，1～2 s电流为零，0～1 s、2～3 s、3～5 s电流大小恒定，且0～1 s、2～3 s电流方向为正，3～5 s电流方向为负，A正确，B错误；根据安培力的公式，即F安＝BIL，因为每段时间电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确．
类型3 动力学图像
【例1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中放置两平行且足够长的光滑水平金属导轨，导体棒MN沿轨道向右匀速运动，导轨左侧接有电源和电容器，不计导体棒以外的电阻。时将S由a转接到b，MN两端的电势差、导体棒的动能与时间t或位移x的关系图像一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设导体棒MN沿轨道向右匀速运动的速度为v，将S由a转接到b，对导体棒MN根据动量定理有
即
此时流过电容器的电量也为。
若初始状态满足，则导体棒MN先减速，再反向加速，最后达到匀速状态，、如图：
若初始状态满足，则导体棒MN恰好减速至0，、如图：
若初始状态满足，则导体棒MN先减速，再匀速，电容器先放电，后反向充电，、如图：
本题选择一定错误的图象；
故选B。
【例2】（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d，其左端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量m(质量分布均匀)的导体杆在向右运动，且与两导轨保持良好接触，从某时刻起施加一拉力F，F＝kv(k为大于0的常数)，其他电阻均不计，则此后导体杆的速度随时间变化图像可能为（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④
【答案】A
【详解】导体杆在磁场中受到的安培力
根据牛顿第二定律有
解得，可知a与v成正比。
A．当导体杆的合力为零时，导体杆做匀速直线运动，故A正确；
B．当导体杆的合力大于零时，导体杆做加速运动，速度增大，加速度也增大，图像斜率大小为加速度大小，速度增大，加速度增大，图②符合要求，故B正确；
CD．当导体杆的合力小于零时，导体杆做减速运动，速度减小，加速度也减小，图像斜率大小为加速度大小，图③④不符合要求，故CD错误。
故选A。
题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
【例1】（2023春·四川成都·高三校联考期中）水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，足够长的金属棒ab置于导轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨成，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。不计导轨和金属棒ab的电阻，则通过金属棒ab的电流方向及和之比分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】设导轨间的距离为L，如图甲所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向；
如图乙所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向；
和之比为
故选C。
【例2】．（2023春·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考期中）如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成。若线框的总电阻为R，则（ ）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为
D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【答案】D
【详解】A．AC刚进入磁场时，CD边切割磁感线，而切割磁感线的导体相当于电源，根据右手定则可知D点相当于电源的正极，C点相当于电源的负极，而DC两端的等于路端电压，由
可知
，
则可知
故A错误；
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
故B错误；
C．AC刚进入磁场时，只有DC边和DA边在磁场中，根据左手定则可知，DC边和DA边所受安培力大小相同，且互相垂直，因此可知线框所受安培力为DC边和DA边所受安培力的合力，根据安培力的计算公式有
则线框所受安培力的大小为
故C错误；
D．线框在穿过磁场的过程中，切割磁感线的有效长度始终与磁场边界重合，根据左手定则可知线框所受安培力始终垂直于磁场边界向下，线框运动的实际速度可分解为垂直于磁场边界向上的分速度和平行于磁场边界的另一分速度，而平行磁场边界的方向合力为零，由此可知，平行磁场边界的分速度始终不变，即平行磁场边界的运动为匀速直线运动，因此可知，线框在以后穿过磁场的过程中，速度不可能减小到零，故D正确。
故选D。
【例3】（2023春·山东临沂·高三统考期中）如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒MN从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，改变可变电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度v，得到的关系如图乙所示，g取10m／s2。 则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kgB．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R0＝2ΩD．定值电阻R0＝4Ω
【答案】C
【详解】金属棒以速度vm下滑时，由法拉第电磁感应定律得
E＝Blvm
由闭合电路欧姆定律得
当金属棒以最大速度vm下滑时，由平衡条件得
BIl－mgsin θ＝0
联立解得
由图象可得
＝1
解得
m＝0.2kg，R0＝2Ω
故选C。
【例4】．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）半径为a右端开小口的导体圆环和长为的导体直杆，单位长度电阻均为。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由确定，如图所示。则（ ）
A．时，杆产生的电动势为
B．时，杆产生的电动势为
C．时，杆受的安培力大小为
D．时，杆受的安培力大小为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，当时，杆产生的电动势为
A错误；
B．当时，由几何关系可知，导体直杆在磁场中切割磁感线的长度为a，杆产生的电动势为
B错误；
C．当时，单位长度电阻为，则回路中的总电阻为
回路中的电流为
由安培力计算公式，可得杆受的安培力大小为
C错误；
D．时，则回路中的总电阻为
杆受的安培力大小为
D正确；
故选D。
类型2 感生电动势的电路问题
【例1】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计。在0至t1时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R1的电荷量
【答案】B
【详解】A．由楞次定律可判断通过R1上的电流方向由b到a，a点的电势低于b点电势，选项A错误；
B．由图像可知，在0至t1时间内
由法拉第电磁感应定律有
而
由闭合电路的欧姆定律有
联立上式解得电流的大小为
选项B正确；
C．线圈两端的电压大小为
选项C错误；
D．在0至t1时间内通过电阻R1的电荷量为
选项D错误。
故选B。
【例2】．（2023春·广西来宾·高三校考阶段练习）用电阻为r的硬质细导线，做成半径为R的圆环，垂直圆环面的磁场充满其内接正方形，时磁感应强度的方向如图（a）所示，磁感应强度随时间t的变化关系如图（b）所示，则圆环中产生的感应电动势为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设正方形的边长L，由几何关系
得
又根据法拉第电磁感应定律得
解得圆环中的感应电动势为
故选A。
【例3】（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，边长为的正方形金属框由两种材料组成，其中边电阻为，其余3个边总电阻为，框内有垂直框面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据法拉第电磁感应定律有，金属框中产生的感应电动势大小为
由楞次定律可知产生的感应电流方向为逆时针。
可把金属框等效为ab和bcda两个电源，则为
故选C。
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝eq \f(nΔФ,R总)
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt)及法拉第电磁感应定律eq \x\t(E)＝eq \f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R总)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总Δt)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).即q＝neq \f(ΔΦ,R总)
【例1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq \f(B′,B)等于( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D．2
【答案】 B
【解析】 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝eq \f(ΔΦ1,Δt1)＝eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,Δt1)
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝eq \f(E1,R)
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有
E2＝eq \f(ΔΦ2,Δt2)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,Δt2)
I2＝eq \f(E2,R)
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,R)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,R)
所以eq \f(B′,B)＝eq \f(3,2).
【例2】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝eq \f(t0,2)时，圆环受到的安培力；
(2)在0～eq \f(3,2)t0内，通过圆环的电荷量．
【答案】 (1)eq \f(3B02r2S0,4ρt0)，垂直于MN向左 (2)eq \f(3B0rS0,8ρ)
【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝eq \f(ΔB,Δt)S
上式中S＝eq \f(πr2,2)
由题图乙可知eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(B0,t0)
根据闭合电路欧姆定律有I＝eq \f(E,R)
根据电阻定律有R＝ρeq \f(2πr,S0)
t＝eq \f(1,2)t0时，圆环受到的安培力大小F＝B0I·(2r)＋eq \f(B0,2)I·(2r)
联立解得F＝eq \f(3B02r2S0,4ρt0)
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝eq \x\t(I)·Δt
根据闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律有
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R)
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)
在0～eq \f(3,2)t0内，穿过圆环的磁通量的变化量为
ΔΦ＝B0·eq \f(1,2)πr2＋eq \f(B0,2)·eq \f(1,2)πr2
联立解得q＝eq \f(3B0rS0,8ρ).
【例3】(2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．棒产生的电动势为eq \f(1,2)Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为eq \f(2gd,Br2ω)
C．电阻消耗的电功率为eq \f(πB2r4ω,2R)
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
【答案】 B
【解析】 由法拉第电磁感应定律知棒产生的电动势U＝eq \f(1,2)Br2ω，故A错误；对极板间微粒受力分析，如图所示，微粒静止，则mg＝qE＝qeq \f(U′,d)，得eq \f(q,m)＝eq \f(gd,U′)，而电容器两极板间电势差与电源电动势相等，即U＝U′，故eq \f(q,m)＝eq \f(2gd,Br2ω)，故B正确；电路中电流I＝eq \f(U,R)＝eq \f(Br2ω,2R)，则电阻R消耗的电功率P＝I2R＝eq \f(B2r4ω2,4R)，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝CU′＝eq \f(CBr2ω,2)，故D错误．
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距，导轨的左端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在侧，存在沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图乙所示，现有一根质量、电阻的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力F作用下，从处以初速度沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在处的速度大小为
C．金属棒MN从运动到过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从运动到过程中，流过金属棒MN的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．单杆切割磁感线产生感应电流而导致金属棒受到的安培力为
由题意可知安培力大小不变，故
结合乙图，金属棒不可能做匀加速直线运动，故A错误；
B．根据题意金属棒所受的安培力大小不变，处与处安培力大小相等，有
，
解得
故B正确；
C．金属棒在处的安培力大小为
对金属棒从运动到过程中，根据动能定理有
代入数据解得
故C错误；
D．根据通过导体横截面的电荷量结论有
到过程中，由图乙可得
所以
故D正确。
故选BD。
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
【例1】（2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期6月适应性考试物理试题）如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲产生的焦耳热比乙多B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】C
【详解】设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，线圈材料密度为，质量为m，横截面积为S，电阻率为，线圈在磁场中运行速度为，线圈刚进入磁场时速度为，有
感应电动势为
线圈电阻为
感应电流为
线圈所受的安培力
由牛顿第二定律有
联立解得加速度为
BCD． 可知线圈在磁场中运动的加速度与匝数、横截面积无关，则甲乙线圈进入磁场时，具有相同的加速度。当时，甲和乙都做加速运动，当时，甲和乙都做减速运动，故BD错误；C正确。
A．线圈的热功率
甲乙线圈在磁场中运动速度相同，热功率也一样，甲产生的焦耳热与乙一样多，故A错误。
故选C。
【例2】．（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。若从S闭合开始计时，金属杆下落的速度大小可能（ ）
A．始终增加B．先增加后减小C．始终不变D．先减小后增大
【答案】C
【详解】设开关S闭合瞬间，金属杆的速度为，则有
，，
联立可得金属杆受到的安培力为
若，则金属杆一直做匀速直线运动，速度始终不变；
若，则有
可知金属杆先做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动，则速度先增大后不变；
若，则有
可知金属杆先做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，则速度先减小后不变。
故选C。
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，在水平地面上固定有一光滑的且电阻不计的平行金属导轨，导轨间距。导轨左端接入一个的定值电阻，导轨右端接入一个阻值为的小灯泡。在轨道中间CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，已知CE长。在时，一阻值的金属棒，在垂直于金属棒的恒定外力F作用下从AB位置由静止开始沿导轨向右运动，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，小灯泡的亮度一直保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在未进入磁场时，通过小灯泡的电流
B．金属棒在未进入磁场时，金属棒所受到的恒定外力
C．金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，金属棒的最大速度为
D．金属棒的质量，小灯泡的功率为
【答案】ACD
【详解】A．金属棒未进入磁场时，电路的总电阻为
由法拉第电磁感应定律可得
通过小灯泡的电流
A正确；
B．因灯泡亮度不变，故4s末金属棒恰好进入磁场且做匀速运动，此时金属棒中的电流为
则恒力
B错误；
C．根据题意可知，4s末金属棒恰好进入磁场且做匀速运动，此时速度达到最大。4s后回路中的感应电动势为
则可知4s末金属棒的速度
C正确；
D．由运动学公式可知前4s金属棒的加速度为
故金属棒的质量
小灯泡的功率为
D正确。
故选ACD。
【例4】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为，两导轨间距为L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度。一段时间后，观察到导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为，导体杆和导轨电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【答案】ACD
【详解】A．金属杆上滑过程中，产生的感应电流大小为
其所受安培力为
，方向水平向左
对金属杆受力分析，垂直斜面方向
沿斜面方向
综上得
金属杆上滑过程中必然减速，故开始时其速度最大，所以此时其摩擦力最小，故A正确。
B．上滑时，导体杆的加速度为
由于和的关系无法判断，故加速度随v的变化也无法判断，故B错误。
C．金属杆下滑过程中，最终速度必然是沿斜面方向受力平衡，此时，对金属杆受力分析，有
垂直斜面方向
综上得
故C正确。
D．金属杆下滑过程中，加速度逐渐减小，即速度增加的越来越慢，即电流增加的越来越慢，即电阻的功率增加的越来越慢，当导体杆一旦匀速，电阻R的功率保持不变，故D正确。
故选ACD。
【例5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【答案】BC
【详解】AB．图甲中，导体切割磁感线产生感应电动势，则有
，
根据牛顿第二定律有
又
则
所以图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比，故A错误，B正确；
CD．图乙中，设极短时间内，导体棒速度变化量为，则导体棒的加速度为
导体棒产生的的电动势为
电容器增加的电荷量为
电容器储存的电能为
电流为
导体又受到安培力为
根据牛顿第二定律
解得
则
，
所以图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比，图乙中，导体棒速度的增加量与运动时间成正比，故C正确，D错误。
故选BC。
【例6】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【答案】 A
【解析】 根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【模型构建】棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
【例7】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcsα
C．金属棒的最大速度大小为
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多
【答案】C
【详解】A．对金属棒，根据牛顿第二定律，有
由此可知，金属棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故A错误；
B．释放的瞬间金属棒所受安培力为零，所以加速度大小为
故B错误；
C．当金属棒的加速度为零时，此时速度最大，有
解得
故C正确；
D．金属棒下滑过程中通过定值电阻R的电荷量为
所以
由此可知，下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量相等，故D错误。
故选C。
【例8】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）如图1所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距d=0.4m，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2左侧部分的导轨与电容C=2mF的平行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2右侧部分的导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为2m的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚线O1O2后，作出金属棒的图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
C．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【答案】AC
【详解】A．金属棒切割磁感线时，根据右手定则可知电流方向由M流向N，则电容器的A极板带正电，故A正确；
B．根据图像可知，金属棒MN越过虚线O1O2后的加速度大小为
以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故B错误；
CD．金属棒在虚线O1O2左侧运动时，以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
又
联立可得
可知金属棒在虚线O1O2左侧做初速度为零的匀加速直线运动，根据图像可知，该过程的运动时间为，末速度为，则加速度为
联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为
金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为
故C正确，D错误。
故选AC。
【例9】（2023·江西宜春·校联考二模）两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为，间距，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，两根相同的质量均为金属棒垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均为，重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的最大速度为B．金属棒的最大加速度为
C．最终金属棒的加速度都是0D．金属棒先加速后匀速
【答案】AC
【详解】A．对金属棒受力分析，绳子的拉力
T=Mg
安培力
摩擦力
重力沿斜面向下的分力，当
T=F+f+
时，Q速度最大，解得
=
故A正确；
B．当金属棒即将运动时，加速度为
金属棒释放瞬间摩擦力小于最大静摩擦力，所以金属棒的最大加速度大于，故B错误；
CD．当金属棒达到最大速度时，两金属棒受到的安培力大小均为
此后金属棒匀速运动，对金属棒P受力分析，始终处于静止状态，所以最终金属棒的加速度都是0，故C正确，D错误。
故选AC。
【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R总=1Ω，运动过程中两棒未发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【答案】BD
【详解】A．对导体棒受力分析，水平方向上有
从图像可以读出，的倾斜直线的斜率即为加速度大小，即
联立可得
故A错误；
B．P棒刚进入磁场时，Q棒受到安培力和滑动摩擦力，此时有
其中
联立可得
故B正确；
CD．后对P和Q整体进行分析，设经历时间时间电路开始稳定，稳定时电流为，则有
，
由动量定理可得
计算中发现
联立各式解得
，
故C错误，D正确。
故选BD。
【例11】（2023·天津河北·统考二模）如图所示，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁㤪应强度大小，重力加速度大小取，。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
【例12】．（2023春·福建泉州·高三校考期中）如下图所示，在距离水平地面h=0.8m的虚线的上方有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场。正方形线框abcd的边长l=0.2m，质量m=0.1kg，电阻R=0.08Ω。某时刻对线框施加竖直向上的恒力F=2N，且ab边进入磁场时线框以v0=2m/s的速度恰好做匀速运动。当线框全部进入磁场后，立即撤去外力F，线框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面。整个过程线框没有转动，线框平面始终处于纸面内，g取10m/s2。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线框从开始进入磁场运动到最高点所用的时间；
（3）线框落地时的速度的大小。
【答案】（1）1T；（2）0.3s；（3）4m/s
【详解】（1）线框的ab边刚进入磁场时，感应电流的大小为
线框恰好做匀速直线运动，有
解得
（2）设线框进入磁场做匀速直线运动的时间为t1，有
线框全部进入磁场后做竖直上抛运动到最高点，所用时间为
所以线框从进入磁场到最高点所用时间为
（3）线框从最高点回到磁场边界时速度大小不变，线框所受安培力大小也不变，其方向竖直向上，且
所以线框穿出磁场过程仍然做匀速直线运动，之后做匀加速直线运动，有
代入数据解得线框落地的速度为
【例13】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距，左端连接阻值的电阻。质量的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数，从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知内电阻R上产生的热量，求：导体棒达到最大速度时牵引力大小及导体棒从静止开始达到最大速度时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力，且将电阻换为的电容器（耐压值足够大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。
【答案】（1）0.45N，；（2）见解析
【详解】（1）导体棒达到最大速度后，所受合外力为零，有
摩擦力
感应电动势
感应电流
安培力
此时牵引力
电动机的功率
电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热及克服摩擦力做功产生的内能之和，有
解得位移
（2）当导体棒的速度大小为ν时，感应电动势
由
知，此时电容器极板上的电荷量
设在一小段时间内，可认为导体棒做匀变速运动，速度增加量为，电容器极板上增加的电荷量为
根据电流的定义式
对导体棒受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
可知导体棒的加速度与时间无关，为一个定值，即导体棒做匀加速运动。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
eq \x(\a\al\vs4\cl(其他形式,的能量))eq \(――――――→,\s\up7(克服安培力做功))eq \x(电能)eq \(―――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al\vs4\cl(焦耳热或其他,形式的能量))
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两根间距为、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的图像，重力加速度。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．前2s内通过电阻R的电荷量为1.4C
C．前2s内金属杆通过的位移为4m
D．前4s内电阻R产生的热量为6.2J
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知金属杆先做加速度减小的加速运动，2s后做匀速直线运动；当时，速度为，此时感应电动势为
感应电流为
安培力为
根据受力平衡可得
联立解得
故A错误；
B．前2s内，根据动量定理有
又
联立解得
故B正确；
C．设前2s内金属杆通过的位移为，由
联立解得
故C错误；
D．前2s内金属杆通过的位移为
2~4s内金属杆通过的位移为
前4s内由能量守恒可得
解得
则前4s内电阻R产生的热量为
故D正确。
故选BD。
【例2】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【答案】C
【详解】A．金属棒上滑过程中，根据动能定理可得
所以
恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量，故A正确，不符合题意；
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，故B正确，不符合题意；
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒动能的变化量，故C错误，符合题意；
D．恒力F与重力的合力所做的功等于金属棒克服安培力所做的功，所以也等于电阻R上产生的焦耳热，故D正确，不符合题意。
故选C。
【例3】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，竖直向下，水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照（且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【答案】CD
【详解】A．根据右手定则可知，线框将产生顺时针方向的电流，根据左手定则可知左边框产生方向向右的安培力，右边框产生方向向左的安培力，上边框产生方向向下的安培力，下边框产生方向向上的安培力，再根据磁场的分布规律可知左边框产生的安培力小于右边框产生的安培力，上、下边框产生的安培力大小相等，可知导线框受到向左的安培力的作用，即沿x轴负方向的安培力作用，而不是与运动方向垂直，故A错误；
B．导线框在竖直方向所受安培力的合力为零，可知导线框在竖直方向做自由落体运动，下落高度为h时的速度满足运动学关系
可得
故B错误；
C．当导线框速度恰好竖直向下时，说明导线框在水平方向速度减小为零，又导线框在竖直方向所受合力与重力大小相等，即导线框在竖直方向满足机械能守恒，所以下落过程中导线框中产生的热量大小等于水平方向动能的损失，大小为，故C正确；
D．设导线框在时间t时的水平分速度大小为，水平位移为x，则在此时刻导线框产生感应电动势大小为
导线框内的感应电流大小为
所以导线框受到安培力的大小
又根据
可得
导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
故D正确。
故选CD。
【例4】．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
B．
C．D．
【答案】BC
【详解】AB．闭合电键瞬间金属杆的速度大小为，则其产生的电动势大小为
此时回路中电流大小为
金属杆CD受到的安培力大小为
安培力方向沿斜面向上。此时金属杆加速度大小为，方向沿导轨向上，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A错误，B正确；
CD．设从闭合电键到金属杆运动至加速度为零的过程，经过的时间为t，则回路中的平均电动势大小为
回路中的平均电流大小为
此过程中，通过电阻R的电荷量为q，则有
解得
加速度为零，则有
解得
金属杆与外电阻具有相同的阻值，此过程中金属杆上和电阻R上产生的焦耳热相等，根据能量守恒，有
解得
故C正确，D错误。
故选BC。
【例5】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内阻为R，不计金属轨道的电阻，则（ ）
A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．当动生电动势和电源电动势相等时，电流为零，此时不再受安培力，导体棒做向右的匀速直线运动，此时速度最大，则有
解得
故A错误；
B．开关闭合瞬间，电路中的电流为
导体棒所受安培力为
由牛顿第二定律可知导体棒的加速度为
故B正确；
C．由动量定理得
又
联立解得
故C正确；
D．对电路应用能量守恒定律有
导体棒产生的焦耳热为
联立解得
故D错误。
故选BC。
【例6】（2023春·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两电阻不计，且足够长的平行光滑导轨与水平面的夹角，导轨下端接一阻值的定值电阻。空间中存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导轨间距均为，导体棒电阻、质量。在导体棒ab上施加一沿导轨平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为，，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中Fm和v1的大小分别为多少；
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内电路产生的焦耳热。
【答案】（1）4m/s；（2）0.8N，8m/s；（3）8.4J
【详解】（1）匀速运动时，对ab棒受力分析，可得
以ν的速度匀速运动时，对电路分析，可得：
解得
（2）由图丙可知ab棒做匀加速直线运动，当t=4s时，有
作用力为零时加速度不变，可知，棒向下运动，t=4s时对ab受力分析可得
当t=0时，对ab棒分析，可得
解得
，
（3）对ab棒下滑的过程，根据动能定理得
其中
对匀加速过程分析有
由动能关系可得
解得
【例7】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6Ω的电阻，质量m＝0.5kg，电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8m时达到稳定状态，对应过程的v-t图像如图乙所示。取g＝10m/s2，导轨足够长（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）。求：
（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
（2）由图中信息计算0~1s内，通过电阻R的电量q和导体棒滑过的位移x。
【答案】（1）b端；5N；（2）0.755C；0.755m
【详解】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；
当金属棒匀速运动时，由平衡条件得
其中
由乙图可知
联立解得
（2）进入匀强磁场导体棒做加速度减小的加速运动，由动量定理有
又
由图可知
代入数据解得
由
得
【例8】（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为，间距为，在导轨之间接有阻值为的定值电阻，质量为，电阻为的金属杆ab由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为的重物P相连，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab置于导轨下端靠近电阻R处，将重物P和金属杆ab由静止释放，当金属杆ab运动到Q点（图中未画出）时，通过R的电量为，此时重物P已经开始匀速下降，运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度g取，求：
（1）重物P匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab从释放到Q点的过程中，定值电阻R中产生的焦耳热；
（3）若金属杆到达Q点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B随时间t变化的关系式。
【答案】（1）；（2）；（3）（T）
【详解】（1）重物匀速下降时，设细线对金属杆的拉力大小为T，金属杆中电流为I，由平衡条件得
根据闭合电路欧姆定律，得
根据法拉第电磁感应定律，得
对重物P，由平衡条件得
解得
（2）设金属棒运动到Q点的过程中，运动时间为，平均电流为，向上运动位移为L
则
而
联立代入数据解得
设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得
由串联电路的规律可知，电阻R中产生的热量
联立解得
（3）金属杆向上做匀加速运动，对杆与重物整体，根据牛顿第二定律有
解得
金属杆中不产生感应电流时，说明穿过回路的磁通量始终不变，则有
物体运动的位移
则磁感应强度B随时间t变化的关系为
【例9】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求：
（1）此时b棒的速度大小；
（2）此时b棒的加速度大小；
（3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。
【答案】（1）3m/s；（2）；（3）0.768s
【详解】（1）设a、b棒受到的安培力大小为F安，则对a、b棒由牛顿第二定律分别，有
联立可得
所以有
可解得
（2）设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有
联立解得
（3）设此过程a、b棒位移分别为、，由（1）的分析可得
根据能量守恒有
对a棒根据动量定理有
其中安培力的冲量
可得
联立代入数据可解得
【例10】（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图所示，弯折成角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成，右导轨平面与水平面成，两导轨相距，电阻不计质量均为，电阻均为的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为，整个装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为，g取，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑的过程中b棒上产生的焦耳热Q。
【答案】（1）；（2）0.2J
【详解】（1）ab棒速度达到稳定，即达到最大速度做匀速运动，有
整个回路消耗的电功率
则ab棒的最大速度
又整个回路的电功率又可表示为
解得
棒下滑过程中，根据能量守恒
ab棒产生的焦耳热为
解得
Q=0.2J
【例11】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内的虚线下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速度g。求：
（1）线圈中的最大电流Im和电流的方向；
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。
【答案】（1），顺时针方向；（2）
【详解】（1）当线圈受到的安培力等于重力时，线圈的竖直方向速度达到最大，即此时线圈中的电流最大，设此时线圈下落高度为h0，则ad边所处位置的磁感应强度为
bc边所处位置的磁感应强度为
解得线圈中的最大电流为
根据楞次定律可知电流方向为顺时针方向；
（2）设线圈中电流最大时线圈的速度为v，则线圈下落高度h时，ad边切割产生的感应电动势为
bc边切割产生的感应电动势为
线圈的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律有
解得线圈下落高度h时，线圈的竖直速度为
根据能量守恒有
解得线圈下落高度h（已经是最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热为
【例12】．（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑固定斜面，斜面上相隔为的平行虚线与间有大小为的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量，电阻，边长的正方向单匝纯电阻金属线圈，线圈边从距上方处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动。重力加速度。求：
（1）边刚进入磁场时线圈的速度和加速度；
（2）线圈进入磁场的过程中，通过边的电量q；
（3）线圈通过磁场的过程中产生的热量Q。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）线圈沿斜面向下运动，由动能定理可得
解得
受力分析可得
解得
（2）线圈进入磁场过程中，通过ab边的电荷量
由闭合电路欧姆定律可得
由法拉第电磁感应定律得
解得
（3）线圈离开磁场时，根据平衡条件有
解得
由能量守恒定律可得
【例13】．（2023春·湖北·高三校联考期中）如图甲所示，游乐园中的过山车虽然惊险刺激，但也有多种措施保证了它的安全运行。其中磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全商设计的一种刹车形式，磁场很强的钕磁铁安装在轨道上，刹车金属框安装在过山车底部。其简化模型如图所示，将刹车金属框看作为一个边长为L，总电阻为R的单匝正方形线框，则过山车返回水平站台前的运动可以简化如下：线框沿着光滑斜面下滑s后，下边框进入匀强磁场时线框开始减速，下边框出磁场，线框刚好开始做匀速直线运动。已知斜面与水平面的夹角为θ，过山车的总质量为m，磁场区上下边界间的距离也为L，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，求：
（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框求感应电流的方向和此时感应电流的大小？
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热？
【答案】（1）顺时针方向，；（2）
【详解】（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框，根据右手定则可知，感应电流的方向为顺时针方向。线框刚进入磁场上边界时，由动能定理得
又因为
，
所以
(2)下边框出磁场时，线框恰好做匀速直线运动，有
又因为
，
所以
由开始下滑到刚刚离开时，由功能关系得
线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc344" 题型一 电磁感应中的图像问题 PAGEREF _Tc344 \h 1
\l "_Tc28764" 类型1 动生问题的图像 PAGEREF _Tc28764 \h 2
\l "_Tc28883" 类型2 感生问题的图像 PAGEREF _Tc28883 \h 5
\l "_Tc12505" 类型3 动力学图像 PAGEREF _Tc12505 \h 7
\l "_Tc28342" 题型二 电磁感应中的电路问题 PAGEREF _Tc28342 \h 10
\l "_Tc13504" 类型1 动生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc13504 \h 11
\l "_Tc14192" 类型2 感生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc14192 \h 17
\l "_Tc30186" 类型3 电磁感应中电荷量的计算 PAGEREF _Tc30186 \h 20
\l "_Tc22540" 题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题 PAGEREF _Tc22540 \h 26
\l "_Tc17765" 题型五 电磁感应中的能量问题 PAGEREF _Tc17765 \h 51
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
【例1】（2023·河南·校联考二模）如图所示，水平面内边长为的正方形MNPQ区域内有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、分别为MN和PQ的中点。一边长为l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线匀速穿过图示的有界匀强磁场，运动过程中bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于直线上下对称。规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）如图所示，平行虚线a、b之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两虚线间的距离为。现使一粗细均匀、电阻为的闭合直角三角形导线框以恒定的速度沿垂直于磁场边界的方向穿过磁场区域。已知边长为，边与磁场边界平行。时刻，点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流及安培力的功率随时间变化的图线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是( )
类型2 感生问题的图像
【例1】 (多选)(2022·河南六市联合调研)如图甲所示，一正方形金属线圈放置在水平桌面上，其左半边处于竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(竖直向下为B的正方向)，而线圈始终保持静止。则下列关于线圈中的感应电流i(逆时针方向为其正方向)及线圈所受摩擦力Ff(取水平向右为其正方向)随时间t变化的关系图像中正确的是( )
【例2】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )
类型3 动力学图像
【例1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中放置两平行且足够长的光滑水平金属导轨，导体棒MN沿轨道向右匀速运动，导轨左侧接有电源和电容器，不计导体棒以外的电阻。时将S由a转接到b，MN两端的电势差、导体棒的动能与时间t或位移x的关系图像一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d，其左端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量m(质量分布均匀)的导体杆在向右运动，且与两导轨保持良好接触，从某时刻起施加一拉力F，F＝kv(k为大于0的常数)，其他电阻均不计，则此后导体杆的速度随时间变化图像可能为（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④
题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
【例1】（2023春·四川成都·高三校联考期中）水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，足够长的金属棒ab置于导轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨成，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。不计导轨和金属棒ab的电阻，则通过金属棒ab的电流方向及和之比分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例2】．（2023春·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考期中）如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成。若线框的总电阻为R，则（ ）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为
D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【例3】（2023春·山东临沂·高三统考期中）如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒MN从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，改变可变电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度v，得到的关系如图乙所示，g取10m／s2。 则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kgB．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R0＝2ΩD．定值电阻R0＝4Ω
【例4】．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）半径为a右端开小口的导体圆环和长为的导体直杆，单位长度电阻均为。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由确定，如图所示。则（ ）
A．时，杆产生的电动势为
B．时，杆产生的电动势为
C．时，杆受的安培力大小为
D．时，杆受的安培力大小为
类型2 感生电动势的电路问题
【例1】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计。在0至t1时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R1的电荷量
【例2】．（2023春·广西来宾·高三校考阶段练习）用电阻为r的硬质细导线，做成半径为R的圆环，垂直圆环面的磁场充满其内接正方形，时磁感应强度的方向如图（a）所示，磁感应强度随时间t的变化关系如图（b）所示，则圆环中产生的感应电动势为（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，边长为的正方形金属框由两种材料组成，其中边电阻为，其余3个边总电阻为，框内有垂直框面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（ ）
A．B．C．D．
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝eq \f(nΔФ,R总)
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt)及法拉第电磁感应定律eq \x\t(E)＝eq \f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R总)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总Δt)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).即q＝neq \f(ΔΦ,R总)
【例1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq \f(B′,B)等于( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D．2
【例2】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝eq \f(t0,2)时，圆环受到的安培力；
(2)在0～eq \f(3,2)t0内，通过圆环的电荷量．
【例3】(2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．棒产生的电动势为eq \f(1,2)Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为eq \f(2gd,Br2ω)
C．电阻消耗的电功率为eq \f(πB2r4ω,2R)
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距，导轨的左端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在侧，存在沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图乙所示，现有一根质量、电阻的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力F作用下，从处以初速度沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在处的速度大小为
C．金属棒MN从运动到过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从运动到过程中，流过金属棒MN的电荷量为
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
【例1】（2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期6月适应性考试物理试题）如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲产生的焦耳热比乙多B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动D．甲减速运动，乙加速运动
【例2】．（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。若从S闭合开始计时，金属杆下落的速度大小可能（ ）
A．始终增加B．先增加后减小C．始终不变D．先减小后增大
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，在水平地面上固定有一光滑的且电阻不计的平行金属导轨，导轨间距。导轨左端接入一个的定值电阻，导轨右端接入一个阻值为的小灯泡。在轨道中间CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，已知CE长。在时，一阻值的金属棒，在垂直于金属棒的恒定外力F作用下从AB位置由静止开始沿导轨向右运动，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，小灯泡的亮度一直保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在未进入磁场时，通过小灯泡的电流
B．金属棒在未进入磁场时，金属棒所受到的恒定外力
C．金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，金属棒的最大速度为
D．金属棒的质量，小灯泡的功率为
【例4】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为，两导轨间距为L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度。一段时间后，观察到导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为，导体杆和导轨电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【例5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【例6】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【例7】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcsα
C．金属棒的最大速度大小为
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多
【例8】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）如图1所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距d=0.4m，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2左侧部分的导轨与电容C=2mF的平行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2右侧部分的导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为2m的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚线O1O2后，作出金属棒的图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
C．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【例9】（2023·江西宜春·校联考二模）两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为，间距，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，两根相同的质量均为金属棒垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均为，重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的最大速度为B．金属棒的最大加速度为
C．最终金属棒的加速度都是0D．金属棒先加速后匀速
【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R总=1Ω，运动过程中两棒未发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【例11】（2023·天津河北·统考二模）如图所示，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁㤪应强度大小，重力加速度大小取，。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数。
【例12】．（2023春·福建泉州·高三校考期中）如下图所示，在距离水平地面h=0.8m的虚线的上方有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场。正方形线框abcd的边长l=0.2m，质量m=0.1kg，电阻R=0.08Ω。某时刻对线框施加竖直向上的恒力F=2N，且ab边进入磁场时线框以v0=2m/s的速度恰好做匀速运动。当线框全部进入磁场后，立即撤去外力F，线框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面。整个过程线框没有转动，线框平面始终处于纸面内，g取10m/s2。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线框从开始进入磁场运动到最高点所用的时间；
（3）线框落地时的速度的大小。
【例13】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距，左端连接阻值的电阻。质量的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数，从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知内电阻R上产生的热量，求：导体棒达到最大速度时牵引力大小及导体棒从静止开始达到最大速度时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力，且将电阻换为的电容器（耐压值足够大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
eq \x(\a\al\vs4\cl(其他形式,的能量))eq \(――――――→,\s\up7(克服安培力做功))eq \x(电能)eq \(―――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al\vs4\cl(焦耳热或其他,形式的能量))
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两根间距为、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的图像，重力加速度。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．前2s内通过电阻R的电荷量为1.4C
C．前2s内金属杆通过的位移为4m
D．前4s内电阻R产生的热量为6.2J
【例2】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【例3】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，竖直向下，水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照（且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【例4】．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
B．
C．D．
【例5】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内阻为R，不计金属轨道的电阻，则（ ）
A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【例6】（2023春·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两电阻不计，且足够长的平行光滑导轨与水平面的夹角，导轨下端接一阻值的定值电阻。空间中存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导轨间距均为，导体棒电阻、质量。在导体棒ab上施加一沿导轨平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为，，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中Fm和v1的大小分别为多少；
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内电路产生的焦耳热。
【例7】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6Ω的电阻，质量m＝0.5kg，电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8m时达到稳定状态，对应过程的v-t图像如图乙所示。取g＝10m/s2，导轨足够长（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）。求：
（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
（2）由图中信息计算0~1s内，通过电阻R的电量q和导体棒滑过的位移x。
【例8】（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为，间距为，在导轨之间接有阻值为的定值电阻，质量为，电阻为的金属杆ab由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为的重物P相连，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab置于导轨下端靠近电阻R处，将重物P和金属杆ab由静止释放，当金属杆ab运动到Q点（图中未画出）时，通过R的电量为，此时重物P已经开始匀速下降，运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度g取，求：
（1）重物P匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab从释放到Q点的过程中，定值电阻R中产生的焦耳热；
（3）若金属杆到达Q点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B随时间t变化的关系式。
【例9】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求：
（1）此时b棒的速度大小；
（2）此时b棒的加速度大小；
（3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。
【例10】（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图所示，弯折成角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成，右导轨平面与水平面成，两导轨相距，电阻不计质量均为，电阻均为的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为，整个装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为，g取，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑的过程中b棒上产生的焦耳热Q。
【例11】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内的虚线下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速度g。求：
（1）线圈中的最大电流Im和电流的方向；
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。
【例12】．（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑固定斜面，斜面上相隔为的平行虚线与间有大小为的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量，电阻，边长的正方向单匝纯电阻金属线圈，线圈边从距上方处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动。重力加速度。求：
（1）边刚进入磁场时线圈的速度和加速度；
（2）线圈进入磁场的过程中，通过边的电量q；
（3）线圈通过磁场的过程中产生的热量Q。
【例13】．（2023春·湖北·高三校联考期中）如图甲所示，游乐园中的过山车虽然惊险刺激，但也有多种措施保证了它的安全运行。其中磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全商设计的一种刹车形式，磁场很强的钕磁铁安装在轨道上，刹车金属框安装在过山车底部。其简化模型如图所示，将刹车金属框看作为一个边长为L，总电阻为R的单匝正方形线框，则过山车返回水平站台前的运动可以简化如下：线框沿着光滑斜面下滑s后，下边框进入匀强磁场时线框开始减速，下边框出磁场，线框刚好开始做匀速直线运动。已知斜面与水平面的夹角为θ，过山车的总质量为m，磁场区上下边界间的距离也为L，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，求：
（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框求感应电流的方向和此时感应电流的大小？
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热？
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
专题28 电磁感应综合问题
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc344" 题型一 电磁感应中的图像问题 PAGEREF _Tc344 \h 1
\l "_Tc28764" 类型1 动生问题的图像 PAGEREF _Tc28764 \h 2
\l "_Tc28883" 类型2 感生问题的图像 PAGEREF _Tc28883 \h 5
\l "_Tc12505" 类型3 动力学图像 PAGEREF _Tc12505 \h 7
\l "_Tc28342" 题型二 电磁感应中的电路问题 PAGEREF _Tc28342 \h 10
\l "_Tc13504" 类型1 动生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc13504 \h 11
\l "_Tc14192" 类型2 感生电动势的电路问题 PAGEREF _Tc14192 \h 17
\l "_Tc30186" 类型3 电磁感应中电荷量的计算 PAGEREF _Tc30186 \h 20
\l "_Tc22540" 题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题 PAGEREF _Tc22540 \h 26
\l "_Tc17765" 题型五 电磁感应中的能量问题 PAGEREF _Tc17765 \h 51
题型一 电磁感应中的图像问题
1．两类题型
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有B－t图、Φ－t图、E－t图、i－t图、v－t图及F－t图等。
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
类型1 动生问题的图像
【例1】（2023·河南·校联考二模）如图所示，水平面内边长为的正方形MNPQ区域内有磁感强度大小均为B，方向相反的匀强磁场，O、分别为MN和PQ的中点。一边长为l，总电阻为R的正方形线框abcd，沿直线匀速穿过图示的有界匀强磁场，运动过程中bc边始终与MN边平行，线框平面始终与磁场垂直，正方形线框关于直线上下对称。规定电流沿逆时针方向为正，则线框穿过磁场过程中电流I随时间t变化关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】当b点接触MQ前，bc切割磁感线，电动势E=Blv
根据楞次定律，电流方向为逆时针，正方形线框继续向右运动，在ad边进入磁场前的时间内，bc边上下两部分在方向不同的磁场中运动，在垂直纸面向里的磁场中运动的部分长度越来越短，在垂直纸面向外的磁场中运动的部分长度越来越长，但在垂直纸面向里的磁场中运动部分的长度一直大于在垂直纸面向外的磁场中运动部分的长度，所以这段时间内电流方向为逆时针，且电流逐渐减小，当ad边运动至与MN重合时，电流为0，ad边刚进入时，根据楞次定律，电流方向为顺时针， bc边上下两部分切割磁感线长度相等，感应电动势方向相反，所以此时电流大小为
此后电流一直增大，到bc边运动至整条边都在向外的磁场时，电流最大，最大电流为，bc边运动PQ重合时，电流为，此后根据楞次定律，电流逆时针方向，且电流一直增大，当ad边在磁场中运动时，电流为。
故选B。
【例2】（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）如图所示，平行虚线a、b之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两虚线间的距离为。现使一粗细均匀、电阻为的闭合直角三角形导线框以恒定的速度沿垂直于磁场边界的方向穿过磁场区域。已知边长为，边与磁场边界平行。时刻，点到达边界a，取逆时针方向为感应电流的正方向，则在导线框穿越磁场区域的过程中，感应电流及安培力的功率随时间变化的图线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】AB．如图所示
导线框从初位置1到整个导线框进入磁场位置2的过程，切割磁感线的有效长度随时间线性增大，则电动势大小随时间线性增大，电流大小随时间线性增大，由右手定则可知电流方向为逆时针方向，即为正方向；导线框从位置2到完全离开磁场位置3的过程，切割磁感线的有效长度随时间线性增大，则电动势大小随时间线性增大，电流大小随时间线性增大，由右手定则可知电流方向为顺时针方向，即为负方向，A正确，B错误；
CD．线圈匀速运动，电流的热功率等于安培力做功的功率，即
由于从位置1到位置2电流大小从随时间线性增大，从位置2到位置3电流大小又从随时间线性增大，可知C错误，D正确；
故选AD。
【例3】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则下列图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律的是( )
【答案】 A
【解析】 进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大于重力，线框减速运动，安培力减小，合力减小，加速度减小，有可能在cd边进入磁场前安培力减到和重力相等，线框做匀速运动；
在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，A错误，B正确；
进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力小于重力，线框做加速运动，但加速度减小，在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，C正确；
进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大小等于重力，线框做匀速运动，在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，D正确．
类型2 感生问题的图像
【例1】 (多选)(2022·河南六市联合调研)如图甲所示，一正方形金属线圈放置在水平桌面上，其左半边处于竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(竖直向下为B的正方向)，而线圈始终保持静止。则下列关于线圈中的感应电流i(逆时针方向为其正方向)及线圈所受摩擦力Ff(取水平向右为其正方向)随时间t变化的关系图像中正确的是( )
【答案】 BC
【解析】 由楞次定律及法拉第电磁感应定律可知，在第1 s内，线圈中的感应电流为逆时针方向的恒定电流，在第2 s内无感应电流，在第3 s内感应电流为顺时针方向的恒定电流，其大小为第1 s内感应电流的eq \f(1,2)，故选项B正确，A错误；根据左手定则及F＝IlB可知，线圈所受安培力F随时间t变化的关系图像如图所示，再根据“二力平衡条件”得摩擦力Ff与t的关系图像应为选项C所示，故选项C正确，D错误。
【例2】(多选)如图甲所示，三角形线圈abc水平放置，在线圈所处区域存在一变化的磁场，其变化规律如图乙所示．线圈在外力作用下处于静止状态，规定垂直于线圈平面向下的磁场方向为正方向，垂直ab边斜向下的受力方向为正方向，线圈中感应电流沿abca方向为正，则线圈内电流及ab边所受安培力随时间变化规律是( )
【答案】 AD
【解析】 根据法拉第电磁感应定律有E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(ΔB,Δt)S，根据楞次定律可得感应电流的方向，又线圈中感应电流沿abca方向为正，结合题图乙可得，1～2 s电流为零，0～1 s、2～3 s、3～5 s电流大小恒定，且0～1 s、2～3 s电流方向为正，3～5 s电流方向为负，A正确，B错误；根据安培力的公式，即F安＝BIL，因为每段时间电流大小恒定，磁场均匀变化，可得安培力也是均匀变化，根据左手定则可判断出ab边所受安培力的方向，可知C错误，D正确．
类型3 动力学图像
【例1】（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中放置两平行且足够长的光滑水平金属导轨，导体棒MN沿轨道向右匀速运动，导轨左侧接有电源和电容器，不计导体棒以外的电阻。时将S由a转接到b，MN两端的电势差、导体棒的动能与时间t或位移x的关系图像一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设导体棒MN沿轨道向右匀速运动的速度为v，将S由a转接到b，对导体棒MN根据动量定理有
即
此时流过电容器的电量也为。
若初始状态满足，则导体棒MN先减速，再反向加速，最后达到匀速状态，、如图：
若初始状态满足，则导体棒MN恰好减速至0，、如图：
若初始状态满足，则导体棒MN先减速，再匀速，电容器先放电，后反向充电，、如图：
本题选择一定错误的图象；
故选B。
【例2】（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直光滑金属导轨的间距为d，其左端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量m(质量分布均匀)的导体杆在向右运动，且与两导轨保持良好接触，从某时刻起施加一拉力F，F＝kv(k为大于0的常数)，其他电阻均不计，则此后导体杆的速度随时间变化图像可能为（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①③④
【答案】A
【详解】导体杆在磁场中受到的安培力
根据牛顿第二定律有
解得，可知a与v成正比。
A．当导体杆的合力为零时，导体杆做匀速直线运动，故A正确；
B．当导体杆的合力大于零时，导体杆做加速运动，速度增大，加速度也增大，图像斜率大小为加速度大小，速度增大，加速度增大，图②符合要求，故B正确；
CD．当导体杆的合力小于零时，导体杆做减速运动，速度减小，加速度也减小，图像斜率大小为加速度大小，图③④不符合要求，故CD错误。
故选A。
题型二 电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
类型1 动生电动势的电路问题
【例1】（2023春·四川成都·高三校联考期中）水平放置的光滑平行导轨固定，导轨左侧接有定值电阻R，导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，足够长的金属棒ab置于导轨上且接触良好。如图甲，当金属棒ab垂直于导轨以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。如图乙，保持磁感应强度不变，当金属棒ab倾斜放置，与导轨成，仍以速度v向右匀速运动时，金属棒ab产生的感应电动势为。不计导轨和金属棒ab的电阻，则通过金属棒ab的电流方向及和之比分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】设导轨间的距离为L，如图甲所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向；
如图乙所示，金属棒ab产生的感应电动势为
根据右手定则可知通过金属棒ab的电流方向；
和之比为
故选C。
【例2】．（2023春·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考期中）如图所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m边长为a的正方形线框ABCD斜向穿进磁场，当AC刚进入磁场时速度为v，方向与磁场边界成。若线框的总电阻为R，则（ ）
A．AC刚进入磁场时，DA两端电势差等于DC两端电势差
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
C．AC刚进入磁场时，线框所受安培力为
D．在以后穿过磁场的过程中，线框的速度不可能减小到零
【答案】D
【详解】A．AC刚进入磁场时，CD边切割磁感线，而切割磁感线的导体相当于电源，根据右手定则可知D点相当于电源的正极，C点相当于电源的负极，而DC两端的等于路端电压，由
可知
，
则可知
故A错误；
B．AC刚进入磁场时，线框中感应电流为
故B错误；
C．AC刚进入磁场时，只有DC边和DA边在磁场中，根据左手定则可知，DC边和DA边所受安培力大小相同，且互相垂直，因此可知线框所受安培力为DC边和DA边所受安培力的合力，根据安培力的计算公式有
则线框所受安培力的大小为
故C错误；
D．线框在穿过磁场的过程中，切割磁感线的有效长度始终与磁场边界重合，根据左手定则可知线框所受安培力始终垂直于磁场边界向下，线框运动的实际速度可分解为垂直于磁场边界向上的分速度和平行于磁场边界的另一分速度，而平行磁场边界的方向合力为零，由此可知，平行磁场边界的分速度始终不变，即平行磁场边界的运动为匀速直线运动，因此可知，线框在以后穿过磁场的过程中，速度不可能减小到零，故D正确。
故选D。
【例3】（2023春·山东临沂·高三统考期中）如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨ab、cd与水平面成θ=30°固定，导轨间距离为l＝1m，电阻不计，一个阻值为R0的定值电阻与可变电阻并联接在两金属导轨的上端，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B＝1T。 现将一质量为m、不计电阻的金属棒MN从图示位置由静止开始释放，金属棒下滑过程中与导轨接触良好，且始终与导轨保持垂直，改变可变电阻的阻值R，测定金属棒的最大速度v，得到的关系如图乙所示，g取10m／s2。 则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的质量m＝1kgB．金属棒的质量m＝2kg
C．定值电阻R0＝2ΩD．定值电阻R0＝4Ω
【答案】C
【详解】金属棒以速度vm下滑时，由法拉第电磁感应定律得
E＝Blvm
由闭合电路欧姆定律得
当金属棒以最大速度vm下滑时，由平衡条件得
BIl－mgsin θ＝0
联立解得
由图象可得
＝1
解得
m＝0.2kg，R0＝2Ω
故选C。
【例4】．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）半径为a右端开小口的导体圆环和长为的导体直杆，单位长度电阻均为。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由确定，如图所示。则（ ）
A．时，杆产生的电动势为
B．时，杆产生的电动势为
C．时，杆受的安培力大小为
D．时，杆受的安培力大小为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，当时，杆产生的电动势为
A错误；
B．当时，由几何关系可知，导体直杆在磁场中切割磁感线的长度为a，杆产生的电动势为
B错误；
C．当时，单位长度电阻为，则回路中的总电阻为
回路中的电流为
由安培力计算公式，可得杆受的安培力大小为
C错误；
D．时，则回路中的总电阻为
杆受的安培力大小为
D正确；
故选D。
类型2 感生电动势的电路问题
【例1】（2023春·重庆·高三校联考期中）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路。线圈的半径为r1。在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计。在0至t1时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点电势
B．电流的大小为
C．线圈两端的电压大小为
D．通过电阻R1的电荷量
【答案】B
【详解】A．由楞次定律可判断通过R1上的电流方向由b到a，a点的电势低于b点电势，选项A错误；
B．由图像可知，在0至t1时间内
由法拉第电磁感应定律有
而
由闭合电路的欧姆定律有
联立上式解得电流的大小为
选项B正确；
C．线圈两端的电压大小为
选项C错误；
D．在0至t1时间内通过电阻R1的电荷量为
选项D错误。
故选B。
【例2】．（2023春·广西来宾·高三校考阶段练习）用电阻为r的硬质细导线，做成半径为R的圆环，垂直圆环面的磁场充满其内接正方形，时磁感应强度的方向如图（a）所示，磁感应强度随时间t的变化关系如图（b）所示，则圆环中产生的感应电动势为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设正方形的边长L，由几何关系
得
又根据法拉第电磁感应定律得
解得圆环中的感应电动势为
故选A。
【例3】（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，边长为的正方形金属框由两种材料组成，其中边电阻为，其余3个边总电阻为，框内有垂直框面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间均匀增大，变化率，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据法拉第电磁感应定律有，金属框中产生的感应电动势大小为
由楞次定律可知产生的感应电流方向为逆时针。
可把金属框等效为ab和bcda两个电源，则为
故选C。
类型3 电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝eq \f(nΔФ,R总)
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式eq \x\t(I)＝eq \f(q,Δt)及法拉第电磁感应定律eq \x\t(E)＝eq \f(nΔΦ,Δt)，得q＝eq \x\t(I)Δt＝eq \f(\x\t(E),R总)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总Δt)Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).即q＝neq \f(ΔΦ,R总)
【例1】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则eq \f(B′,B)等于( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D．2
【答案】 B
【解析】 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝eq \f(ΔΦ1,Δt1)＝eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,Δt1)
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝eq \f(E1,R)
且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有
E2＝eq \f(ΔΦ2,Δt2)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,Δt2)
I2＝eq \f(E2,R)
q2＝I2Δt2
又q1＝q2，即eq \f(B\f(1,2)πr2－\f(1,4)πr2,R)＝eq \f(B′－B\f(1,2)πr2,R)
所以eq \f(B′,B)＝eq \f(3,2).
【例2】如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小恒为B0；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S0，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝eq \f(t0,2)时，圆环受到的安培力；
(2)在0～eq \f(3,2)t0内，通过圆环的电荷量．
【答案】 (1)eq \f(3B02r2S0,4ρt0)，垂直于MN向左 (2)eq \f(3B0rS0,8ρ)
【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝eq \f(ΔB,Δt)S
上式中S＝eq \f(πr2,2)
由题图乙可知eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(B0,t0)
根据闭合电路欧姆定律有I＝eq \f(E,R)
根据电阻定律有R＝ρeq \f(2πr,S0)
t＝eq \f(1,2)t0时，圆环受到的安培力大小F＝B0I·(2r)＋eq \f(B0,2)I·(2r)
联立解得F＝eq \f(3B02r2S0,4ρt0)
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝eq \x\t(I)·Δt
根据闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律有
eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R)
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)
在0～eq \f(3,2)t0内，穿过圆环的磁通量的变化量为
ΔΦ＝B0·eq \f(1,2)πr2＋eq \f(B0,2)·eq \f(1,2)πr2
联立解得q＝eq \f(3B0rS0,8ρ).
【例3】(2020·浙江7月选考·12)如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，随轴以角速度ω匀速转动．在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态．已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是( )
A．棒产生的电动势为eq \f(1,2)Bl2ω
B．微粒的电荷量与质量之比为eq \f(2gd,Br2ω)
C．电阻消耗的电功率为eq \f(πB2r4ω,2R)
D．电容器所带的电荷量为CBr2ω
【答案】 B
【解析】 由法拉第电磁感应定律知棒产生的电动势U＝eq \f(1,2)Br2ω，故A错误；对极板间微粒受力分析，如图所示，微粒静止，则mg＝qE＝qeq \f(U′,d)，得eq \f(q,m)＝eq \f(gd,U′)，而电容器两极板间电势差与电源电动势相等，即U＝U′，故eq \f(q,m)＝eq \f(2gd,Br2ω)，故B正确；电路中电流I＝eq \f(U,R)＝eq \f(Br2ω,2R)，则电阻R消耗的电功率P＝I2R＝eq \f(B2r4ω2,4R)，故C错误；电容器所带的电荷量Q＝CU′＝eq \f(CBr2ω,2)，故D错误．
【例4】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两轨相距，导轨的左端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计；导轨在侧，存在沿x方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B随位置x的变化如图乙所示，现有一根质量、电阻的金属棒MN置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力F作用下，从处以初速度沿导轨向右作变速运动，且金属棒MN在运动过程中受到的安培力大小不变，下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒MN向右做匀加速直线运动
B．金属棒MN在处的速度大小为
C．金属棒MN从运动到过程中外力F所做的功为
D．金属棒MN从运动到过程中，流过金属棒MN的电荷量为
【答案】BD
【详解】A．单杆切割磁感线产生感应电流而导致金属棒受到的安培力为
由题意可知安培力大小不变，故
结合乙图，金属棒不可能做匀加速直线运动，故A错误；
B．根据题意金属棒所受的安培力大小不变，处与处安培力大小相等，有
，
解得
故B正确；
C．金属棒在处的安培力大小为
对金属棒从运动到过程中，根据动能定理有
代入数据解得
故C错误；
D．根据通过导体横截面的电荷量结论有
到过程中，由图乙可得
所以
故D正确。
故选BD。
题型四 电磁感应中的平衡和动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
【例1】（2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三下学期6月适应性考试物理试题）如图所示，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲产生的焦耳热比乙多B．甲加速运动，乙减速运动
C．甲和乙都加速运动D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】C
【详解】设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，线圈材料密度为，质量为m，横截面积为S，电阻率为，线圈在磁场中运行速度为，线圈刚进入磁场时速度为，有
感应电动势为
线圈电阻为
感应电流为
线圈所受的安培力
由牛顿第二定律有
联立解得加速度为
BCD． 可知线圈在磁场中运动的加速度与匝数、横截面积无关，则甲乙线圈进入磁场时，具有相同的加速度。当时，甲和乙都做加速运动，当时，甲和乙都做减速运动，故BD错误；C正确。
A．线圈的热功率
甲乙线圈在磁场中运动速度相同，热功率也一样，甲产生的焦耳热与乙一样多，故A错误。
故选C。
【例2】．（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。若从S闭合开始计时，金属杆下落的速度大小可能（ ）
A．始终增加B．先增加后减小C．始终不变D．先减小后增大
【答案】C
【详解】设开关S闭合瞬间，金属杆的速度为，则有
，，
联立可得金属杆受到的安培力为
若，则金属杆一直做匀速直线运动，速度始终不变；
若，则有
可知金属杆先做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动，则速度先增大后不变；
若，则有
可知金属杆先做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，则速度先减小后不变。
故选C。
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，在水平地面上固定有一光滑的且电阻不计的平行金属导轨，导轨间距。导轨左端接入一个的定值电阻，导轨右端接入一个阻值为的小灯泡。在轨道中间CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，已知CE长。在时，一阻值的金属棒，在垂直于金属棒的恒定外力F作用下从AB位置由静止开始沿导轨向右运动，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，小灯泡的亮度一直保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在未进入磁场时，通过小灯泡的电流
B．金属棒在未进入磁场时，金属棒所受到的恒定外力
C．金属棒从AB位置运动到EF位置的过程中，金属棒的最大速度为
D．金属棒的质量，小灯泡的功率为
【答案】ACD
【详解】A．金属棒未进入磁场时，电路的总电阻为
由法拉第电磁感应定律可得
通过小灯泡的电流
A正确；
B．因灯泡亮度不变，故4s末金属棒恰好进入磁场且做匀速运动，此时金属棒中的电流为
则恒力
B错误；
C．根据题意可知，4s末金属棒恰好进入磁场且做匀速运动，此时速度达到最大。4s后回路中的感应电动势为
则可知4s末金属棒的速度
C正确；
D．由运动学公式可知前4s金属棒的加速度为
故金属棒的质量
小灯泡的功率为
D正确。
故选ACD。
【例4】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，倾斜放置的平行金属导轨固定在范围足够大，方向竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨与水平面夹角为，两导轨间距为L，导轨下端连入一个阻值为R的定值电阻。将一质量为m的导体杆AC水平放置于导轨某处，并对它施加一瞬时冲量，使其获得一个沿斜面向上的初速度。一段时间后，观察到导体杆沿斜面匀速下滑。已知导体杆和斜面间的动摩擦因数为，导体杆和导轨电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．导体杆刚开始上滑时摩擦力最小
B．导体杆刚开始上滑时加速度最小
C．导体杆的最终速度为
D．导体杆下滑过程中，电阻R的功率增加的越来越慢，然后保持不变
【答案】ACD
【详解】A．金属杆上滑过程中，产生的感应电流大小为
其所受安培力为
，方向水平向左
对金属杆受力分析，垂直斜面方向
沿斜面方向
综上得
金属杆上滑过程中必然减速，故开始时其速度最大，所以此时其摩擦力最小，故A正确。
B．上滑时，导体杆的加速度为
由于和的关系无法判断，故加速度随v的变化也无法判断，故B错误。
C．金属杆下滑过程中，最终速度必然是沿斜面方向受力平衡，此时，对金属杆受力分析，有
垂直斜面方向
综上得
故C正确。
D．金属杆下滑过程中，加速度逐渐减小，即速度增加的越来越慢，即电流增加的越来越慢，即电阻的功率增加的越来越慢，当导体杆一旦匀速，电阻R的功率保持不变，故D正确。
故选ACD。
【例5】．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，两足够长的水平光滑导轨置于竖直方向的匀强磁场中，左端分别连接一定值电阻和电容器，将两导体棒分别垂直放在两导轨上。给甲图导体棒一水平向右的初速度v，乙图导体棒施加水平向右的恒定拉力F。不计两棒电阻，两棒向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，导体棒速度的减小量与运动的时间成正比
B．图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比
C．图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比
D．图乙中，导体棒速度的增加量与通过的距离成正比
【答案】BC
【详解】AB．图甲中，导体切割磁感线产生感应电动势，则有
，
根据牛顿第二定律有
又
则
所以图甲中，导体棒速度的减小量与通过的距离成正比，故A错误，B正确；
CD．图乙中，设极短时间内，导体棒速度变化量为，则导体棒的加速度为
导体棒产生的的电动势为
电容器增加的电荷量为
电容器储存的电能为
电流为
导体又受到安培力为
根据牛顿第二定律
解得
则
，
所以图乙中，电容器储存的电能与运动时间的平方成正比，图乙中，导体棒速度的增加量与运动时间成正比，故C正确，D错误。
故选BC。
【例6】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【答案】 A
【解析】 根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝eq \f(Q,t)＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x0处时，金属棒产生的感应电动势为
E′＝2Bvx0tan θ
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvx0tan θ，B错误；
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F安＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
【模型构建】棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)
如图，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流
由F－BIl＝ma，I＝eq \f(ΔQ,Δt)，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv，
联立可得F－eq \f(CB2l2Δv,Δt)＝ma，其中eq \f(Δv,Δt)＝a，
则可得a＝eq \f(F,m＋B2l2C)
所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动．
功能关系：WF＝eq \f(1,2)mv2＋E电
【例7】（2023·湖南·校联考模拟预测）如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m，电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒将做匀加速运动
B．释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcsα
C．金属棒的最大速度大小为
D．金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多
【答案】C
【详解】A．对金属棒，根据牛顿第二定律，有
由此可知，金属棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故A错误；
B．释放的瞬间金属棒所受安培力为零，所以加速度大小为
故B错误；
C．当金属棒的加速度为零时，此时速度最大，有
解得
故C正确；
D．金属棒下滑过程中通过定值电阻R的电荷量为
所以
由此可知，下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量相等，故D错误。
故选C。
【例8】（2023春·山东·高三校联考阶段练习）如图1所示，水平面上固定有足够长的平行导轨，导轨间距d=0.4m，虚线O1O2垂直于导轨，O1O2左侧部分的导轨与电容C=2mF的平行板电容器AB相连，且由不计电阻的光滑金属材料制成，O1O2右侧部分的导轨由粗糙的绝缘材料制成。将一质量m=0.1kg、电阻不计的金属棒MN通过水平轻绳绕过光滑定滑轮与质量为2m的小物块相连，O1O2左侧处于方向竖直向下的匀强磁场中。t=0时刻，将垂直于导轨的金属棒MN由静止释放，金属棒在轻绳的拉动下开始运动，当金属棒MN越过虚线O1O2后，作出金属棒的图像如图2所示。已知重力加速度取g=10m/s2，整个过程中电容器未被击穿，则下列分析正确的是（ ）
A．电容器的A极板带正电
B．金属棒与绝缘材料间的动摩擦因数为0.25
C．金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为2m
D．匀强磁场的磁感应强度大小为2.5T
【答案】AC
【详解】A．金属棒切割磁感线时，根据右手定则可知电流方向由M流向N，则电容器的A极板带正电，故A正确；
B．根据图像可知，金属棒MN越过虚线O1O2后的加速度大小为
以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故B错误；
CD．金属棒在虚线O1O2左侧运动时，以小物块和金属棒为整体，根据牛顿第二定律可得
又
联立可得
可知金属棒在虚线O1O2左侧做初速度为零的匀加速直线运动，根据图像可知，该过程的运动时间为，末速度为，则加速度为
联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为
金属棒的释放点到虚线O1O2的距离为
故C正确，D错误。
故选AC。
【例9】（2023·江西宜春·校联考二模）两足够长的平行金属直导轨与水平面间的夹角为，间距，导轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，两根相同的质量均为金属棒垂直地放在导轨上，棒与导轨间的动摩擦因数0.75，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。一根轻质细绳跨过如图所示光滑的轻质定滑轮，一端悬吊一重物，另一端连接金属棒Q，定滑轮右侧的细绳和导轨平行，将两金属棒同时由静止释放，经过一段时间后，系统处于稳定的运动状态。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，闭合回路中除两金属棒以外电阻均不计，已知每根金属棒在两导轨间电阻均为，重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒的最大速度为B．金属棒的最大加速度为
C．最终金属棒的加速度都是0D．金属棒先加速后匀速
【答案】AC
【详解】A．对金属棒受力分析，绳子的拉力
T=Mg
安培力
摩擦力
重力沿斜面向下的分力，当
T=F+f+
时，Q速度最大，解得
=
故A正确；
B．当金属棒即将运动时，加速度为
金属棒释放瞬间摩擦力小于最大静摩擦力，所以金属棒的最大加速度大于，故B错误；
CD．当金属棒达到最大速度时，两金属棒受到的安培力大小均为
此后金属棒匀速运动，对金属棒P受力分析，始终处于静止状态，所以最终金属棒的加速度都是0，故C正确，D错误。
故选AC。
【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）如图甲所示，间距L=1m的长直平行导轨固定在水平面上，虚线MN与导轨垂直，在其右侧有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T；质量均为m=2kg的金属棒P、Q垂直放在导轨上，P、Q与导轨间的动摩擦因数均为μ且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，P棒到MN存在一段距离；t=0时刻起，P棒始终受到一方向水平向右、大小为F=8N的恒定拉力作用，其运动的v-t图像如图乙所示，其中t=0到t=4s的图像为直线，已知P、Q棒接入电路的总电阻R总=1Ω，运动过程中两棒未发生碰撞，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒与导轨间的动摩擦因数大小为μ=0.1
B．P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小为2m/s2
C．电路稳定时，P棒的速度大小为4m/s
D．电路稳定时，Q棒的速度大小为2m/s
【答案】BD
【详解】A．对导体棒受力分析，水平方向上有
从图像可以读出，的倾斜直线的斜率即为加速度大小，即
联立可得
故A错误；
B．P棒刚进入磁场时，Q棒受到安培力和滑动摩擦力，此时有
其中
联立可得
故B正确；
CD．后对P和Q整体进行分析，设经历时间时间电路开始稳定，稳定时电流为，则有
，
由动量定理可得
计算中发现
联立各式解得
，
故C错误，D正确。
故选BD。
【例11】（2023·天津河北·统考二模）如图所示，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁㤪应强度大小，重力加速度大小取，。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
【例12】．（2023春·福建泉州·高三校考期中）如下图所示，在距离水平地面h=0.8m的虚线的上方有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场。正方形线框abcd的边长l=0.2m，质量m=0.1kg，电阻R=0.08Ω。某时刻对线框施加竖直向上的恒力F=2N，且ab边进入磁场时线框以v0=2m/s的速度恰好做匀速运动。当线框全部进入磁场后，立即撤去外力F，线框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面。整个过程线框没有转动，线框平面始终处于纸面内，g取10m/s2。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线框从开始进入磁场运动到最高点所用的时间；
（3）线框落地时的速度的大小。
【答案】（1）1T；（2）0.3s；（3）4m/s
【详解】（1）线框的ab边刚进入磁场时，感应电流的大小为
线框恰好做匀速直线运动，有
解得
（2）设线框进入磁场做匀速直线运动的时间为t1，有
线框全部进入磁场后做竖直上抛运动到最高点，所用时间为
所以线框从进入磁场到最高点所用时间为
（3）线框从最高点回到磁场边界时速度大小不变，线框所受安培力大小也不变，其方向竖直向上，且
所以线框穿出磁场过程仍然做匀速直线运动，之后做匀加速直线运动，有
代入数据解得线框落地的速度为
【例13】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距，左端连接阻值的电阻。质量的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数，从时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取
（1）若电动机保持恒定功率输出，棒的图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知内电阻R上产生的热量，求：导体棒达到最大速度时牵引力大小及导体棒从静止开始达到最大速度时的位移大小；
（2）若电动机保持恒定牵引力，且将电阻换为的电容器（耐压值足够大），如图丙所示，证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。
【答案】（1）0.45N，；（2）见解析
【详解】（1）导体棒达到最大速度后，所受合外力为零，有
摩擦力
感应电动势
感应电流
安培力
此时牵引力
电动机的功率
电动机消耗的电能等于导体棒的动能、克服安培力做功产生的焦耳热及克服摩擦力做功产生的内能之和，有
解得位移
（2）当导体棒的速度大小为ν时，感应电动势
由
知，此时电容器极板上的电荷量
设在一小段时间内，可认为导体棒做匀变速运动，速度增加量为，电容器极板上增加的电荷量为
根据电流的定义式
对导体棒受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
可知导体棒的加速度与时间无关，为一个定值，即导体棒做匀加速运动。
题型五 电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
eq \x(\a\al\vs4\cl(其他形式,的能量))eq \(――――――→,\s\up7(克服安培力做功))eq \x(电能)eq \(―――→,\s\up7(电流做功))eq \x(\a\al\vs4\cl(焦耳热或其他,形式的能量))
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两根间距为、电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨底端接入一阻值为的定值电阻，所在区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面向上，在导轨上垂直于导轨放置一质量为、电阻为的金属杆，开始时使金属杆保持静止，某时刻开始给金属杆一个沿斜面向上的恒力，金属杆由静止开始运动，图乙为运动过程的图像，重力加速度。则在金属杆向上运动的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度
B．前2s内通过电阻R的电荷量为1.4C
C．前2s内金属杆通过的位移为4m
D．前4s内电阻R产生的热量为6.2J
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知金属杆先做加速度减小的加速运动，2s后做匀速直线运动；当时，速度为，此时感应电动势为
感应电流为
安培力为
根据受力平衡可得
联立解得
故A错误；
B．前2s内，根据动量定理有
又
联立解得
故B正确；
C．设前2s内金属杆通过的位移为，由
联立解得
故C错误；
D．前2s内金属杆通过的位移为
2~4s内金属杆通过的位移为
前4s内由能量守恒可得
解得
则前4s内电阻R产生的热量为
故D正确。
故选BD。
【例2】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【答案】C
【详解】A．金属棒上滑过程中，根据动能定理可得
所以
恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量，故A正确，不符合题意；
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，故B正确，不符合题意；
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒动能的变化量，故C错误，符合题意；
D．恒力F与重力的合力所做的功等于金属棒克服安培力所做的功，所以也等于电阻R上产生的焦耳热，故D正确，不符合题意。
故选C。
【例3】（2023春·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，竖直向下，水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照（且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直
B．导线框下落高度为h时的速度小于
C．整个过程中导线框中产生的热量为
D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
【答案】CD
【详解】A．根据右手定则可知，线框将产生顺时针方向的电流，根据左手定则可知左边框产生方向向右的安培力，右边框产生方向向左的安培力，上边框产生方向向下的安培力，下边框产生方向向上的安培力，再根据磁场的分布规律可知左边框产生的安培力小于右边框产生的安培力，上、下边框产生的安培力大小相等，可知导线框受到向左的安培力的作用，即沿x轴负方向的安培力作用，而不是与运动方向垂直，故A错误；
B．导线框在竖直方向所受安培力的合力为零，可知导线框在竖直方向做自由落体运动，下落高度为h时的速度满足运动学关系
可得
故B错误；
C．当导线框速度恰好竖直向下时，说明导线框在水平方向速度减小为零，又导线框在竖直方向所受合力与重力大小相等，即导线框在竖直方向满足机械能守恒，所以下落过程中导线框中产生的热量大小等于水平方向动能的损失，大小为，故C正确；
D．设导线框在时间t时的水平分速度大小为，水平位移为x，则在此时刻导线框产生感应电动势大小为
导线框内的感应电流大小为
所以导线框受到安培力的大小
又根据
可得
导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为
故D正确。
故选CD。
【例4】．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
B．
C．D．
【答案】BC
【详解】AB．闭合电键瞬间金属杆的速度大小为，则其产生的电动势大小为
此时回路中电流大小为
金属杆CD受到的安培力大小为
安培力方向沿斜面向上。此时金属杆加速度大小为，方向沿导轨向上，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A错误，B正确；
CD．设从闭合电键到金属杆运动至加速度为零的过程，经过的时间为t，则回路中的平均电动势大小为
回路中的平均电流大小为
此过程中，通过电阻R的电荷量为q，则有
解得
加速度为零，则有
解得
金属杆与外电阻具有相同的阻值，此过程中金属杆上和电阻R上产生的焦耳热相等，根据能量守恒，有
解得
故C正确，D错误。
故选BC。
【例5】．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L，两导轨间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。一质量为m、电阻为R、长度恰好等于导轨间宽度的导体棒ab垂直于导轨放置。闭合关S，导体棒ab由静止开始运动，经过一段时间后达到最大速度。已知电源电动势为E、内阻为R，不计金属轨道的电阻，则（ ）
A．导体棒的最大速度为
B．开关S闭合瞬间，导体棒的加速度大小为
C．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，通过导体棒的电荷量为
D．导体棒的速度从零增加到最大速度的过程中，导体棒产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．当动生电动势和电源电动势相等时，电流为零，此时不再受安培力，导体棒做向右的匀速直线运动，此时速度最大，则有
解得
故A错误；
B．开关闭合瞬间，电路中的电流为
导体棒所受安培力为
由牛顿第二定律可知导体棒的加速度为
故B正确；
C．由动量定理得
又
联立解得
故C正确；
D．对电路应用能量守恒定律有
导体棒产生的焦耳热为
联立解得
故D错误。
故选BC。
【例6】（2023春·江西上饶·高三校联考阶段练习）如图甲所示，两电阻不计，且足够长的平行光滑导轨与水平面的夹角，导轨下端接一阻值的定值电阻。空间中存在垂直导轨所在平面向上、磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。导体棒ab的长度和导轨间距均为，导体棒电阻、质量。在导体棒ab上施加一沿导轨平面向上的作用力F，使导体棒ab沿导轨由静止开始运动。已知重力加速度为，，导轨足够长，导体棒沿导轨运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若F为恒力，大小为1.6N，求导体棒最终匀速运动的速度；
（2）若作用力F的大小随时间变化的关系图像如图乙所示，力F作用过程中导体棒ab的速度大小与时间的关系图像如图丙所示，则图中Fm和v1的大小分别为多少；
（3）在上述题设（2）的作用力下，已知0~4s内导体棒克服外力F做功为4.4J，求0~4s内电路产生的焦耳热。
【答案】（1）4m/s；（2）0.8N，8m/s；（3）8.4J
【详解】（1）匀速运动时，对ab棒受力分析，可得
以ν的速度匀速运动时，对电路分析，可得：
解得
（2）由图丙可知ab棒做匀加速直线运动，当t=4s时，有
作用力为零时加速度不变，可知，棒向下运动，t=4s时对ab受力分析可得
当t=0时，对ab棒分析，可得
解得
，
（3）对ab棒下滑的过程，根据动能定理得
其中
对匀加速过程分析有
由动能关系可得
解得
【例7】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6Ω的电阻，质量m＝0.5kg，电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8m时达到稳定状态，对应过程的v-t图像如图乙所示。取g＝10m/s2，导轨足够长（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8）。求：
（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；
（2）由图中信息计算0~1s内，通过电阻R的电量q和导体棒滑过的位移x。
【答案】（1）b端；5N；（2）0.755C；0.755m
【详解】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；
当金属棒匀速运动时，由平衡条件得
其中
由乙图可知
联立解得
（2）进入匀强磁场导体棒做加速度减小的加速运动，由动量定理有
又
由图可知
代入数据解得
由
得
【例8】（2023·河北·模拟预测）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为，间距为，在导轨之间接有阻值为的定值电阻，质量为，电阻为的金属杆ab由跨过光滑定滑轮的轻绳与质量为的重物P相连，磁感应强度为的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆ab置于导轨下端靠近电阻R处，将重物P和金属杆ab由静止释放，当金属杆ab运动到Q点（图中未画出）时，通过R的电量为，此时重物P已经开始匀速下降，运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，一切摩擦不计，重力加速度g取，求：
（1）重物P匀速下降的速度v；
（2）金属杆ab从释放到Q点的过程中，定值电阻R中产生的焦耳热；
（3）若金属杆到达Q点后，磁感应强度开始发生变化，致使金属杆开始向上以的加速度向上加速运动。试写出磁感应强度B随时间t变化的关系式。
【答案】（1）；（2）；（3）（T）
【详解】（1）重物匀速下降时，设细线对金属杆的拉力大小为T，金属杆中电流为I，由平衡条件得
根据闭合电路欧姆定律，得
根据法拉第电磁感应定律，得
对重物P，由平衡条件得
解得
（2）设金属棒运动到Q点的过程中，运动时间为，平均电流为，向上运动位移为L
则
而
联立代入数据解得
设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得
由串联电路的规律可知，电阻R中产生的热量
联立解得
（3）金属杆向上做匀加速运动，对杆与重物整体，根据牛顿第二定律有
解得
金属杆中不产生感应电流时，说明穿过回路的磁通量始终不变，则有
物体运动的位移
则磁感应强度B随时间t变化的关系为
【例9】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平面的夹角θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求：
（1）此时b棒的速度大小；
（2）此时b棒的加速度大小；
（3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。
【答案】（1）3m/s；（2）；（3）0.768s
【详解】（1）设a、b棒受到的安培力大小为F安，则对a、b棒由牛顿第二定律分别，有
联立可得
所以有
可解得
（2）设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有
联立解得
（3）设此过程a、b棒位移分别为、，由（1）的分析可得
根据能量守恒有
对a棒根据动量定理有
其中安培力的冲量
可得
联立代入数据可解得
【例10】（2023·甘肃酒泉·统考三模）如图所示，弯折成角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成，右导轨平面与水平面成，两导轨相距，电阻不计质量均为，电阻均为的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为，整个装置处于方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中，现让cd固定不动，将金属棒b由静止释放，当b沿导轨下滑时，速度刚好达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为，g取，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑的过程中b棒上产生的焦耳热Q。
【答案】（1）；（2）0.2J
【详解】（1）ab棒速度达到稳定，即达到最大速度做匀速运动，有
整个回路消耗的电功率
则ab棒的最大速度
又整个回路的电功率又可表示为
解得
棒下滑过程中，根据能量守恒
ab棒产生的焦耳热为
解得
Q=0.2J
【例11】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内的虚线下方存在范围足够大、方向水平的匀强磁场，同一高度处磁感应强度大小相等，竖直方向上磁感应强度随距离关系满足B=kh，k为常量，将一竖直放置、边长为L的单匝正方形金属线框abcd从图示位置由静止释放，线圈质量为m、电阻为R，不计空气阻力，重力加速度g。求：
（1）线圈中的最大电流Im和电流的方向；
（2）线圈下落高度h（已达最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热Q。
【答案】（1），顺时针方向；（2）
【详解】（1）当线圈受到的安培力等于重力时，线圈的竖直方向速度达到最大，即此时线圈中的电流最大，设此时线圈下落高度为h0，则ad边所处位置的磁感应强度为
bc边所处位置的磁感应强度为
解得线圈中的最大电流为
根据楞次定律可知电流方向为顺时针方向；
（2）设线圈中电流最大时线圈的速度为v，则线圈下落高度h时，ad边切割产生的感应电动势为
bc边切割产生的感应电动势为
线圈的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律有
解得线圈下落高度h时，线圈的竖直速度为
根据能量守恒有
解得线圈下落高度h（已经是最大电流）的过程中线圈中产生的焦耳热为
【例12】．（2023春·广东潮州·高三潮州市金山中学校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑固定斜面，斜面上相隔为的平行虚线与间有大小为的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量，电阻，边长的正方向单匝纯电阻金属线圈，线圈边从距上方处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动。重力加速度。求：
（1）边刚进入磁场时线圈的速度和加速度；
（2）线圈进入磁场的过程中，通过边的电量q；
（3）线圈通过磁场的过程中产生的热量Q。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）线圈沿斜面向下运动，由动能定理可得
解得
受力分析可得
解得
（2）线圈进入磁场过程中，通过ab边的电荷量
由闭合电路欧姆定律可得
由法拉第电磁感应定律得
解得
（3）线圈离开磁场时，根据平衡条件有
解得
由能量守恒定律可得
【例13】．（2023春·湖北·高三校联考期中）如图甲所示，游乐园中的过山车虽然惊险刺激，但也有多种措施保证了它的安全运行。其中磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全商设计的一种刹车形式，磁场很强的钕磁铁安装在轨道上，刹车金属框安装在过山车底部。其简化模型如图所示，将刹车金属框看作为一个边长为L，总电阻为R的单匝正方形线框，则过山车返回水平站台前的运动可以简化如下：线框沿着光滑斜面下滑s后，下边框进入匀强磁场时线框开始减速，下边框出磁场，线框刚好开始做匀速直线运动。已知斜面与水平面的夹角为θ，过山车的总质量为m，磁场区上下边界间的距离也为L，磁感应强度大小为B，方向垂直斜面向上，重力加速度为g，求：
（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框求感应电流的方向和此时感应电流的大小？
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热？
【答案】（1）顺时针方向，；（2）
【详解】（1）线框刚进入磁场上边界时，从斜面上方俯视线框，根据右手定则可知，感应电流的方向为顺时针方向。线框刚进入磁场上边界时，由动能定理得
又因为
，
所以
(2)下边框出磁场时，线框恰好做匀速直线运动，有
又因为
，
所以
由开始下滑到刚刚离开时，由功能关系得
线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为
v
↓
E＝Blv
↓
I＝eq \f(E,R＋r)
↓
F安＝BIl
↓
F合
若F合＝0
匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma
a、v同向
v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线运动
a、v反向
v减小，F安减小，a减小，当a＝0，静止或匀速直线运动
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