江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共12小题，请将答案写在答题卡相应的位置上）
1. 用科学记数法表示_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：，
故答案为：．
2. _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3. _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
4. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了，积的乘方，根据积的乘方的运算法则，即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
，
故答案为：．
5. 已知的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系，得出第三边的取值范围，再根据题意即可得出第三边的长度，最后求出周长即可．解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：∵其中两边的长分别为2和5，
∴第三边，即第三边，
∵的三边长均为整数，且第三边长为奇数，
∴第三边的长度为：5，
∴这个三角形的周长为：．
故答案为：12．
6. 若，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂除法，由条件得，再由同底数幂的除法法则即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：4．
7. 当是一个完全平方式，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵x2+2kx+25=x2+2kx+52，
∴2kx=±2•x•5，
解得：k=±5．
故答案为±5．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
9. 计算，若结果中不含x项，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及多项式的概念，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．先根据多项式乘以多项式法则展开，再根据结果中不含的一次项，得到，即可求解．
【详解】解：
，
∵结果中不含x项，
∴，则，
故答案为：．
10. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】如下图，过点E作EF//BC，然后利用平行线的性质结合已知条件进行分析解答即可．
【详解】由题意可得AD//BC，∠DAE=∠1+45°，∠AEB=90°，∠EBC=30°，过点E作EF//BC，
则AD//EF//BC，
∴∠AEF=∠DAE=∠1+45°，∠FEB=∠EBC=30°，
又∵∠AEF=∠AEB-∠FEB，
∴∠AEF=90°-30°=60°，
∴∠1+45°=60°，
∴∠1=60°-45°=15°．
故答案为：15°
11. 若，，则的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将变形为是解题的关键．
先将变形为，再将变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∵
∵
∴
故答案为：5．
12. 两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为_____．
【答案】9或15##15或9
【解析】
【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，分类讨论思想，掌握角度的计算，分类讨论思想是解题的关键．
根据题意，根据分类讨论：第一种情况：；第二种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
依题意得：，（），
∴有以下两种情况：
第一种情况：如图所示，，
∴，
∴；
第二种情况：如图所示，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为9或15．
故答案为：9或15．
二、选择题（本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡相应的位置上）
13. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移后，两部分能够完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
B、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
C、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意；
D、能用其中一部分平移得到，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平移的性质．熟练掌握平移后两部分能够完全重合，是解题的关键．
14. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项等计算法则进行求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
15. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）

A. 全等形B. 稳定性C. 灵活性D. 对称性
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性解答；
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
16. 过n边形的其中－个顶点有5条对角线，则n为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查多边形的对角线，n边形中，过一个顶点的所有对角线有条，根据这一点即可解答．
【详解】根据题意有：，
∴，
故选：D．
17. 对任意整数，都能（ ）
A. 被3整除B. 被4整除C. 被5整除D. 被6整除
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
【详解】∵，
∴故一定能被4整除，
故选B．
18. 如图，已知，和分别平分和，若，那么的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键．
根据角平分线分定义可得，，过点作，点作，即可得，由平行线的性质可得，，，，由此可得，， 又因，即可得，由此即可求得．
【详解】解：∵和分别平分和，
∴，，
过点作，点作，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
，
∵，
∴，
即：
∴，
故选：C．
三、解答题（本大题共8小题．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）9 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
（3）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（4）利用同底数幂的乘法，合并同类项的法则进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了实数混合运算，整式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. 因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是∶
（1）先提取公因数3，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）利用平方差公式分解因式即可；
（4）先提取公因数，然后利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可先根据多项式乘以多项式进行化简，然后代值求解即可
【详解】解：原式
；
，
∴原式
22. 如图，在正方形网格中有一条线段，按要求进行下列作图（借助于网格）．
（1）画出先将线段向右平移3格，再向上平移2格后的线段；
（2）连接、，求的面积；
（3）点P为网格中格点，且点P满足，则满足条件的点P的个数为 ．
【答案】（1）见解析 （2）1
（3）8
【解析】
【分析】本题考查了作图-平移变换，三角形的面积，熟记平行线之间的距离处处相等是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）在的上下两侧过格点分别作的平行线即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
的面积；
【小问3详解】
取格点，可知，过点作平行线，则平行线上的格点与构成的三角形面积均为2，
在右侧同理即可，
如图所示，满足条件的点的个数为8，
故答案为：8．
23. 如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，平分，．
（1）试说明；
（2）若平分，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）由（1）可知，，进而得，由平分，可知，根据，即可得．
【小问1详解】
解：平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
平分，
，
∵，
，
的度数为．
24. 如图，在中，，平分，于点D．
（1）若，，求的度数．
（2）探究、、的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】此题主要考查角度的关系，解题的关键是熟知三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质．
（1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故；
（2）由（1）知，用和∠表示出和，进而得与的关系．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
理由：∵三角形的内角和等于，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
，
故．
25. 【探究】
如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由，
【应用】
如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ；
【拓展】
（1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ．
（2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ．
【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2），32
【解析】
【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论；
应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积；
拓展：（1）如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论；
（2）连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值．
本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质．
【详解】解：探究：，理由如下：
过点作，交于，
∵是中边上的中线，则，
∴，
即：；
应用：连接，，，
∵点A、B、C分别是、、的中点，
∴，，，
∴，
则，
同理可得，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：24；
拓展：（1）如图，连接，．
∵，则，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴的面积
．
故答案为：54；
（2）连接并延长交于，
∵点、是、边上中点，
∴是边上的中线，
记6个小三角形的面积分别为，，，，，，
则，，，，
∴，即：，
∴，即：，
同理可知，，
∴，
∴四边形面积，
要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，
∵中，，，
∴要使得的面积最大，则只需要，
∴的面积最大值为，
则四边形面积最大值为，
故答案为：，32．
26. 【计算】
小红计算时，得到的结果是，则“”表示的数为 ．
【发现】
小红对计算结果很感兴趣，她发现有些数A可以表示成（x、y为自然数）的形式，她把这类数称为“神秘数”，例如：，，…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”（不包含3）： ， ．
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3．
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是 和 ．
【答案】计算：4；发现：9，7（答案不唯一）；探究：见解析；应用：19，7
【解析】
【分析】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键．
计算：设“”表示的数为，通过计算可得其结果为，进而可知，即可求解；
发现：根据“神秘数”可以表示成，即可求解；
探究：“双奇神秘数”可表示，化简可得，即可说明所有“双奇神秘数”被4除余3；
应用：设第一个“双奇神秘数”数为，第二个“双奇神秘数”数为，两数作差求解即可．
【详解】解：计算：设“”表示数为，
即：
，
∵计算得到结果为，
∴，即：，
∴“”表示的数为4，
故答案为：4；
发现：由定义可知，，，
故答案为：9，7（答案不唯一）；
探究：由题意可得：“双奇神秘数”可表示为，
∵
，
∴所有“双奇神秘数”被4除余3．
应用：设第一个“双奇神秘数”数为，
第二个“双奇神秘数”数为，
∵它们的差是12，
∴，
则，
∴或，
解得：（舍去）或，
当，时，，，
即这两个“双奇神秘数”是19和7，
故答案为：19，7．