2024年通用版高考数学二轮复习专题6.5 正、余弦定理(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题6.5 正、余弦定理(学生版)，共12页。


题型一利用正弦余弦定理进行解三角形
例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.
练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则角的度数为（ ）
A．B．C．或D．
练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在中，，点D在边BC上，且．
(1)求；
(2)求线段的长．
练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求的值；
(2)若为边所在线段上一点，且，，，求b的值；
练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）中，，，，平分线与交于点，则_________.
练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.
题型二判断三角形解的个数
例3．（2022春·高三课时练习）已知在中，，若有两解，则正数的取值范围为____________．
例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.
练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（ ）
A．B．3C．5D．
练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）中，.则满足这样的三角形的个数为（ ）
A．唯一一个B．两个C．不存在D．有无数个
练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（ ）
A．若，有一个解B．若，无解
C．若，有两个解D．若，有一个解
练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_____.
练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三利用正弦定理求外接圆半径
例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在中，，，，则______.
例6．（2023·北京·高一专题练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求的面积.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，AB边上的高为，则（ ）
A．B．C．D．
练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在中，其三边分别为，，且三角形的面积，则角__________.
练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（ ）
A．B．C．D．
练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．

(1)求的大小；
(2)求的面积．
练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.
题型四三角形面积及其应用
例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在中，，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等边三角形
例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征）
练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．的三角形
练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则△ABC必是等边三角形
D．若，，则△ABC是等边三角形
练习18．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知.
(1)求；
(2)若，判断的形状.
练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在中，，且，试判断的形状．
练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
题型五判断三角形的形状
例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆为的外接圆，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.
练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知外接圆的周长为，，则（ ）
A．4B．2C．D．
练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若的外接圆半径，，求的面积．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（ ）
A．4B．2C．1D．
题型六利用正余弦定理进行边角互化
例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．
例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)设，，求的面积.
练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．
(1)证明：；
(2)若，，求△ABC的面积．
练习27．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．
C．D．
练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知中角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求周长．
练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，c.已知.
(1)求角；
(2)若，求的值；
练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．周长的最大值为3
题型七解三角形的实际应用
例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；
(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（ ）
A．海里B．海里
C．或D．灯塔C在D的南偏西方向上
练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
练习33．（2023春·广东广州·高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
练习34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A．B．C．D．
练习35．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选（与在同一水平面的）､两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.

(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到）
题型一
利用正弦余弦定理进行解三角形
题型二
判断三角形解的个数
题型三
三角形面积及其应用
题型四
判断三角形的形状
题型五
利用正弦定理求外接圆半径
题型六
利用正余弦定理进行边角互化
题型七
解三角形的实际应用