2024年通用版高考数学二轮复习专题3.8 抽象函数问题(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题3.8 抽象函数问题(教师版)，共26页。

题型一抽象函数的定义域
例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若函数的定义域为，则复合函数有意义要满足.
【详解】因为函数的定义域为，则有意义要满足，解得，
故选：D
例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】解：因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域为.
故选：C
练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以要使有意义，则
，解得且，
所以原函数的定义域为，
故选：C．
练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是______.
【答案】
【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
即，解得
故函数，则函数的定义域是
故答案为：
练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为____________.
【答案】
【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.
【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即，
所以对于，有，即，
由的单调性得，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，
∴，
又∵，解得，
∴的定义域为,
故选：.
题型二抽象函数的值域
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
例4．（2021·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）求在，上的值域.
【答案】（1）f (1)=1，f (4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）可令解得，再令，可得f（4）；
（2）函数在上为增函数，可令，运用条件和单调性的定义，即可得证；
（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.
【详解】（1）可令时，=-；
令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；
（2）函数在上为增函数.
证明：当时，有，
可令，即有，则，
可得，
则在上递增；
（3）由在上为增函数，可得在递增，
可得为最小值，为最大值，
由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，
则的值域为.
练习6．（2022·全国·高三专题练习）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性的定义结合的值域即可求出的值域.
【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数
得到，
因为函数的值域为
即
所以
又，
得
所以的值域为：.
故答案为：.
练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的值域为，即，即可求出，，，以及的范围，从而可求解．
【详解】的定义域为，值域为，即；
对于A,，即的值域为，故A错误；
对于B,，即的值域为,故B错误；
对于C,，即的值域为，故C正确；
对于D,，即的值域为，故D错误．
故选：C．
练习8．（2022·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；
对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；
对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.
【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.
故选：B.
练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
【答案】
【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
题型三求抽象函数的解析式
例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.
【答案】
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
例6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
【答案】ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.
【详解】A项：因为，
当时，，令，
则，解得，A正确；
B项：任取：，
则，
因为当时，，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增，B正确；
C项：令，则，
解得或，当，且时，令，
则，
若为奇函数，则，即，
解得，与题意矛盾；
当时不为奇函数．
综上所述，函数不是奇函数，C错误；
D项：当，
则，
，
所以，易得在上单调递增，
所以时，，，
故函数的一个解析式为，D正确．
故选 :ABD
练习11．（2023秋·江苏南京·高三统考期末）（多选）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令，故A正确；
由已知，①
令满足题干要求，则，故B错误；
由①可知，令，则，
又因为，则，所以，故C正确；
因为，所以，
又由①，令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
练习12．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.
【详解】如：，则，，
又，则，
此时在区间上单调递增，满足题设.
故答案为：（答案不唯一）
练习13．（2019秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足：
①对任意的，都有；
②当时，.
（1）求证：；
（2）求证：对任意的，都有；
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解
【分析】（1）令，即可求得；
（2）令，由以及即可证得结论；
【详解】（1）令，则，

（2）令，
则，
.
【点睛】本题主要考查抽象函数的函数值，解题的关键是根据题干赋恰当的数值，属于基础题
练习14．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）
【答案】
【分析】由题意猜想，验证满足条件.
【详解】若，满足.
若，满足.
故答案为：，答案不唯一.
练习15．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件“①函数为增函数，②”的一个函数_____．
【答案】(答案不唯一)
【分析】由指数函数及幂运算性质即可判断.
【详解】由题意，指数函数均满足①②.
故答案为：(答案不唯一)
题型四抽象函数的奇偶性
例7．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件得到函数的对称性，根据对称性求值，即可求解.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以，所以函数关于点对称，且
因为是定义域为的偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，
所以，即.
故选：A
例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】BD
【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.
【详解】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.
故选：BD．
练习16．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数对任意实数，都满足，且，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．
【答案】AC
【分析】令可得，从而可判断B；令可判断A；令，可得，令可判断C；由AC的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.
【详解】在中，
令，可得，即，解得，故B错误；
令可得,即，
故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；
令，则，故，
令，可得,
故，故C正确；
因为是偶函数，所以，故,
即，
所以,所以，故函数的周期为2，
因为，，所以，.
所以，故D错误.
故选：AC.
练习17．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.
【详解】的定义域关于原点对称，
因为，，，
故令时，，
令时，，
令，时，，
，即，
∴是偶函数，
又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数.
故选：B.
练习18．（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A．B．为奇函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】AB
【分析】对于A项、B项，令，令代入计算即可；对于C项、D项，举反练习判断即可.
【详解】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；
对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；
对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；
对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.
故选：AB.
练习19．（2022秋·高三单元测试）若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是_________________.
【答案】③
【分析】令，得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.
【详解】对任意，有，
令，得，
令，，得，
整理得，故为奇函数，
无法判断的奇偶性.
故答案为：③.
练习20.（2023春·广东广州·高三统考开学考试）（多选）若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.
【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，
对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；
对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；
令，代入①式，得，而得，
可令代入①式，得，整理得，
所以C选项是错误的，D选项是正确的.
故选：ABD.
题型五抽象函数的周期性
例9．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（ ）
A．2022B．2018C．4036D．4044
【答案】D
【分析】由赋值法可得，构造，说明为奇函数，由可得结果.
【详解】对任意有，则令，
令，
令，则，故为上的奇函数，
故.
故选：D.
例10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．关于中心对称D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.
【详解】令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，
令，则，故，
进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.
故选：BC
练习16．（2023·河南开封·统考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性得到函数的周期为，得到，根据条件，解出.
【详解】解：因为函数的定义域为，为奇函数，所以，
又因为为偶函数，所以的对称轴为，
则为周期函数，周期为.
则有，
设，根据对称性，且，
所以，所以，
即，
因为，所以，即.
故选：.
练习17．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函数的周期为.
因为是定义域为的奇函数，
所以，即.
令，则，解得，
所以.
故答案为：.
练习18．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得，再结合已知值及周期性求解作答.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
由，得，，
，，
所以.
故选：D
练习19．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以，
因为，所以.
故选：C.
练习20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
题型六抽象函数求解不等式
例11．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.
【详解】对任意,恒有，
令可得，
因为当时,故，所以，
令可得，所以，
当时,,根据已知条件得,即，所以.
故选：ABC.
例12．（2023·高三课时练习）已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用已知条件赋值求出，结合函数的单调性解不等式.
【详解】因为，，
令，易得．
因为是定义在上的减函数，且，
所以，解得．
故选：A．
练习21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据函数图象以及不等式的等价关系即可．
【详解】解：不等式等价为或，
则，或，
故不等式的解集是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．
练习22．（2022秋·高三课时练习）已知函数的定义域为，函数的定义域为．若不等式的解集为，则不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】首先不等式要有意义，所以两个函数的定义域先取交集，然后再根据的解集为，利用补集法求解.
【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两个函数的定义域的交集为，
又因为不等式的解集为，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数与不等式以及补集的应用，属于基础题.
练习23．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】先由定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，画出的草图，结合图像对进行等价转化，解不等式即可.
【详解】是定义域为R的奇函数，且在区间上为严格减函数，有，
∴在区间上为严格减函数且，可作出的草图：
不等式可化为：
或
对于，当时，无解；
对于，当时，由图像观察，
解得：
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数的不等式需要分类讨论．
练习24．（2022秋·甘肃兰州·高三西北师大附中校考期中）已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用函数为偶函数，可得，在上单调递减，可得，求解即可
【详解】由题意，函数为偶函数，
故
又在上单调递减，
故
故答案为：
练习25．（2022秋·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）若定义域为的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，
再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
由可得且
可得或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：.
题型一
抽象函数的定义域
题型二
抽象函数的值域
题型三
求抽象函数的解析式
题型四
抽象函数的奇偶性
题型五
抽象函数的周期性
题型六
抽象函数求解不等式