2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉港一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数Z=2−i1−3i+i7，则复数Z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在△ABC中，OA+OB+OC=AB，则点O在( )
A. 在线段BC上且是靠近点B的三等分点B. 在线段AC上且是靠近点A的三等分点
C. AB边所在直线上D. 在线段AC上且是靠近点C的三等分点
3.若向量a=(2,0),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=1B. |a→|=|b→|C. (a−b)⊥bD. a//b
4.已知a，b是非零向量且满足(a−2b)⊥a，(b−2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知a=(2,2 3),b=(−4,4 3)，则a在b方向上的投影向量为( )
A. (−1, 3)B. (−2,2 3)C. 4D. 2
6.在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
7.在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知2a−c6=csCcsB且b=6，则锐角△ABC面积的取值范围为( )
A. (0,4 3)B. (4 3,9 3]C. (6 3,9 3]D. (0,6 3]
8.在△ABC中，S△ABC= 36AB⋅AC= 32，sinB=csAsinC，P为线段AB上的动点，且CP=xCA|CA|+yCB|CB|，则1x+ 3y的最小值为．( )
A. 2+4 33B. 1+4 33C. 2+ 33D. 1+ 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，AB= 3，AC=1，B=π6，则△ABC的面积可以是( )
A. 32B. 1C. 33D. 34
10.给出下列命题，正确的命题是( )
A. 向量AB的长度与向量BA的长度相等
B. 若向量a与向量b平行，则a与b的方向一定是相同或相反
C. 两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
11.如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20km/h，且cs∠AOB=−3 38，则( )
A. 此山的高PO= 3km
B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C. PA=2km
D. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为20 111111
12.下列说法中错误的是( )
A. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
B. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
C. 已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=12，则a在b上的投影向量是43b
D. 三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OA⋅(AB|AB|+CA|CA|)=OB⋅(BA|BA|+CB|CB|)=OC⋅(BC|BC|+CA|CA|)=0，则O是△ABC的外心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量b=(2,1),c=(1,−1)，则|b−2c|= ______．
14.已知a ,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a−c)⋅(b−c)=0，则|c|最大值是 ．
15.如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=π3，点M是边AB的中点，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则AP⋅BC= ______．
16.小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数f(x)= 12−2x+ 12+x在−12≤x≤−6上单调递增，在−6≤x≤6上单调递减．
于是小明进一步探究求解以下问题：
法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．
在三角形ABC中，角A=60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为 3，则三角形ABC的周长最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,−4),a//b，b⊥c，则：
(1)求向量a,b的坐标；
(2)若向量(a+kb)与(a−c)互相垂直，求实数k的值．
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a2+bcsA．
(1)求B的大小；
(2)若b=3 6，a+c=9，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
已知a，b，c分别是锐角△ABC内角A，B，C的对边，若m=(a,csA),n=(csB,b−2c)，且m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a=6，求△ABC的周长的取值范围．
20.(本小题12分)
如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
(1)求sin∠BDC的值；
(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？
21.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，已知AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=6，AD=CD=3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
(1)求AM⋅BD的值；
(2)若N为线段AC上任意一点，求AN⋅MN的取值范围．
22.(本小题12分)
在△ABC中，D是BC的中点，AB=1，AC=2，AD= 32．
(1)求△ABC的面积．
(2)若E为BC上一点，且AE=λ(AB|AB|+AC|AC|)，求λ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：Z=2−i1−3i+i7=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)+i3=2+6i−i+310−i=12−12i，
所以复数Z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限．
故选：D．
应用复数的除法求出复数Z即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为OA+OB+OC=AB，
所以OA+OB+OC=OB−OA，即OC=−2OA=2AO，
所以点O在线段AC上且是靠近点A的三等分点．
故选：B．
根据平面向量的线性运算法则化简已知等式，可得OC=2AO，从而确定点O的位置．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由a=(2,0),b=(1,1)，则a−b=(2,0)−(1,1)=(1,−1)．
所以(a−b)⋅b=1×(−1)+1×1=0．
则(a−b)⊥b．
故选C．
由给出的两个向量的坐标，求出a−b的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．属于基础题．
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到a2=b2=2a⋅b，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：∵(a−2b)⊥a，(b−2a)⊥b，
∴(a−2b)⋅a=a2−2a⋅ b=0，(b−2a)⋅b=b2−2a⋅b=0，
∴a2=b2=2a⋅b，设a与b的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得csθ=a⋅b|a|⋅ |b|=a⋅ba2=a⋅b2a ⋅b=12，
∴θ=π3．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：a⋅b=2×(−4)+2 3×4 3=16，
且|b|= (−4)2+(4 3)2=8，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=168×18(−4,4 3)=(−1, 3)．
故选：A．
根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，A=60°，a2=bc，
又a2=b2+c2−2bccs60°=b2+c2−bc，
∴b2+c2−2bc=0，解得b=c，
∴△ABC一定是等边三角形，
故选：D．
利用余弦定理，结合题意可得答案．
本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵2a−c6=csCcsB且b=6，∴2a−cb=csCcsB，
根据正弦定理得，2sinA−sinCsinB=csCcsB，
整理得2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB=sinA，
∵A∈(0,π2)，∴sinA>0，
∴2csB=1，解得csB=12，B=π3，
∵asinA=bsinB=csinC=2R=6 32=4 3，
∴a=4 3sinA，c=4 3sinC，
∴△ABC的面积S=12acsinB=12 3sinA⋅sinC=12 3sinAsin(2π3−A)
∴S=12 3sinA( 32csA+12sinA)
=12 3( 32csAsinA+12sin2A)
=6 3( 32sin2A+1−cs2A2)
=6 3( 32sin2A−12cs2A+12)
=6 3sin(2A−π6)+3 3，
∵△ABC为锐角三角形，∴0