湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第三次高考模拟数学试题及参考答案

这是一份湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第三次高考模拟数学试题及参考答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．24种
5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
6．在中，已知．若，则（ ）
A．无解B．2C．3D．4
7．在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A．B．C．D．
8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立D．事件N与事件Y相互独立
二、多选题
9．设，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位
B．已知随机变量，若，则
C．两组样本数据和.若已知且，则
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
11．已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，，当时，，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于直线对称
C．4为的周期D．在处取得极小值
三、填空题
12．若函数（为大于0的常数）在上的最小值为3，则实数的值为 ．
13．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为 ．
14．如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知是各项均为正数的数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的正弦值．
17．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：
(1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？
附：，其中，．
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望．
18．已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
19．如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100
参考答案：
1．C
【分析】求出集合后可求.
【详解】,
故，
故选：C.
2．A
【分析】由，两边平方化简可得，即，同向，可判断充分性成立，
由，可得，即，共线，可举反例，判断必要性不成立.
【详解】因为，所以，
即，即，
由于,是平面上两个非零的向量，所以，所以，同向，
所以有，故充分性成立；
因为，则，即，
由于是平面上两个非零的向量，所以，共线.，
不妨取，此时，共线.，但，，
故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．C
【分析】依题意可得为奇函数，即可排除B、D，由函数在上的函数值的特征排除A.
【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A ：定义域为，
当时，，所以，不符合题意，故A错误；
对于B：定义域为，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误；
对于D：定义域为，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误；
对于C：定义域为，，
所以为奇函数，
且当时，，所以，符合题意，故C正确；
故选：C
4．B
【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可.
【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，
然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，
3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，
所以总共有：种方式.
故选:B
5．D
【分析】首先根据二项式定理化简，再判断余数，结合选项，即可求解.
【详解】，
所以除以9的余数是8，
选项中只有2024除以9余8.
故选：D
6．A
【分析】由可得，进而得到，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得，设，有，可得该方程无解，故不存在这样的.
【详解】由，即，则，
由，知，
则，则，
又，
故，设，则，
有，即，，
即该方程无解，故不存在这样三角形，即无解.
故选：A.
7．C
【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得.
【详解】取中点，连接、，则有，，
又，、平面，故平面，
又平面，故，又，
，、平面，故平面，
又、平面，故，，
由正三棱锥的性质可得、、两两垂直，
故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为.
故选：C.

8．C
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以，，，，
因为事件与事件互斥，所以，又，
所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；
，故B错误；
由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；
因为事件N与事件Y互斥，所以，又，
所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可.
9．AB
【分析】根据共轭复数定义可得，代入选项由复数的四则运算以及模长公式计算，逐一判断可得结论.
【详解】由可得，
所以，即A正确；
可得，即B正确；
，，显然错误，即C错误；
，而，所以D错误.
故选：AB
10．BC
【分析】根据回归方程可判定A，根据正态分布可判定B，根据数据的平均数可判定C，根据回归方程及残差的概念可判定D.
【详解】若有一个经验回归方程，随着的增大，会减小，A错误；
曲线关于对称，因为，所以，
所以，B正确；
因为，
所以，
故，C正确；
经验回归方程为，且样本点与的残差相等，
则，所以，D错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】根据奇偶性的定义及导数的运算法则判断A，依题意可得，即可判断B，推导出即可判断C，结合单调性及奇偶性、周期性判断D.
【详解】对于A，是定义在上连续的奇函数，则，
两边求导可得，所以，
因为为的导函数，所以有，即为偶函数，故A正确；
对于B，若，则，则，
所以的图象关于直线对称，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又为偶函数，所以，所以，
所以，故为的周期，故C正确；
对于D，当时，，则在区间上为增函数，
由为偶函数，可得在区间上为减函数，
由4为的周期，可得在区间上为增函数
则在区间上为减函数，在上单调递增，
故在处取得极小值，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
12．1
【分析】根据基本不等式即得.
【详解】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即.
故答案为：．
13．0
【分析】先根据向量运算表示出，结合的最值可得答案.
【详解】连接，可得，
显然当最大，即取得最大值2时，取得最小值0．
故答案为：0.
14．
【分析】设分别是与圆的切点，设，利用椭圆，双曲线的定义分切求出的表达式，进而可得的表达式，然后求出的取值范围即可的解.
【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得，
设，所以，，
在中，，
以为焦点经过点的双曲线的离心率为，
以为焦点经过点的椭圆的离心率为，
则，
在中，设，所以，，
由余弦定理可得，
所以，所以，得，
由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得数列是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】（1），．
， ，，
数列是公比为3的等比数列．
，，．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①②得
，
．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线线垂直推到线面垂直得到平面，推出；再由推出面，即得；
（2）由题设条件和余弦定理求出，建立空间直角坐标系，设，写出相关点和向量的坐标，计算出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值即得.
【详解】（1）三棱柱中，由可得,
因，且，面，则平面，
因平面，则，又四边形是菱形,则，
由，面，故得 面，因面 ,故．
（2）
因，不妨设，则，由余弦定理，,故得：，
分别取为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.( 轴为与平面垂直向上的方向),
则有，，，，，，
设平面的法向量为，则故可取；
又因，，
设平面的法向量为，则故可取.
设二面角的平面角为，则因故．
故二面角的正弦值为.
17．(1)无关
(2)（i）；（ii）分布列见解析，
【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论；
（2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案；
（ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可.
【详解】（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平，由题意得，
可得，
由，且，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为，
故比赛只进行3局就结束的概率为；
（ii）的可能取值为，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得，
所以分布为
故数学期望为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程；
（2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，
由，得，
设，，
则，，
从而，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）要证，即证DG平分，即证，
由（1）可知，，
则
，
故；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，
由题意，得，
由切线长定理，知，，，
所以，
又
，解得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故面积的最小值为8．
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解．
19．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.
（2）先由定积分的预算得到，再分别构造函数和，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.
（3）先由二倍角公式化简得到，再由定积分的意义得到，最后根据求导与定积分的运算得到，最后得证.
【详解】（1）当时，因为，所以设，
又，代入上式可得，
所以，当时，；
当时，设，同理可得，
综上，.
（2）因为，所以，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，即；
设，，
则恒成立，所以在上单调递增，，
所以，
综上，.
几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.
（3）因为，
所以
，
设，则，
所以，
故.
【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果.
0
1
2
3