2024新余高三第二次模拟考试数学试题

这是一份2024新余高三第二次模拟考试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知，，若与的夹角为，则，已知直线交圆C，如图，已知M为双曲线E，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：1.本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A.9B.10C.13D.16
2.已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A.B.1C.2D.4
3.已知，，若与的夹角为，则（ ）
A.-1B.1C.±1D.±2
4.两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同的站法有（ ）种.
A.240B.360C.420D.480
5.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，且，则；
②若，，且，则；
③若，，且，则；
④若，，且，则.
则其中真命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A.12B.C.D.
8.如图，已知M为双曲线E：上一动点，过M作双曲线E的切线交x轴于点A，过点A作于点D，，则双曲线E的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则与均为实数B.若与均为实数，则
C.若，均为纯虚数，则为实数D.若为实数，则，均为纯虚数
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的值域为
B.的对称中心为，
C.在上的道减区间为
D.在上的极值点个数为1
11.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（ ）
A.的图像关于点（1，0）成中心对称B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量X服从正态分布，则的值为__________.
13.在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为___________.
14.如图1，在直角梯形中，，，，，，点E，F分别为边，上的点，且，.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点M是四边形内（含边界）的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，则当三棱锥M-BEF的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积.
（1）求角B；
（2）若的平分线交于点D，，，求的长.
16.（15分）已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若在上单调递减，求的取值范围.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.
（1）若O为的中点，证明：平面平面；
（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.
18.（17分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
（1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望.
19.（17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，
（1）已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：
（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
高三数学试题卷参考答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
二、多选题（每小题6分，共18分）
三、填空题（每题5分，计15分）
12.36 13.165 14.60π
四、解答题（共77分）
15.（1）在中，，而，
即，，
由余弦定理得，所以.
（2）在中，由等面积法得，
即，
即
所以.
16.（1）因为，所以，可得，
令，显然在上单调逆增且
因此当时，则有，当时，则，
于是有当时，两数单调递减，当时，函数单调递增，
所以.
（2）化简得，即，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，，单调逆减，
当时，，单调逆增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，经检验，当符合题意，因此的取值范围为.
17.（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则，
又，则，且，
根据线而垂直的判定定理，得平面，即.
由，则，又，为梯形的两腰，则与相交，即平面，
又面，所以平面平面；
（2）取的中点为Q，由，，
则，，
因此为等边三角形，，
由（1）知面，，，两两垂直，
如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
由，，则，
，，，，
由，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得
设平面的一个法向量为
由
可得平面的一个法向量为，
记平面与平面夹角的大小为，
所以，化简得，即，所以实数的值为.
18.解：（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率为
（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，
则，，，，
由全概率公式得，
故丁周日选择B健身中心健身的概率为.
（3）已知从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为P，则X的分布列为
故，
又，
两式相减得，
所以.
19.（1）由已知可得，则，
设，则，
所以，，即点P的坐标为.
（2）（i）由与交点为和，则
由与交点为和，
则.
所以，.
（2）设直线：，与斜椭圆联立得
，
∵，，
∴
，
设直线：，与斜椭圆联立得
，
∴，∴，
故.
法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为，点Q旋转后的坐标为，
当直线斜率不存在时，，，.
当直线斜率存在时，设直线为，
与椭圆方程联立可得
，，
，
设直线为与椭圆方程联立可得，，
综上所述，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
D
C
B
C
B
题号
9
10
11
答案
ABC
AD
BCD
1
2
3
…
…