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    安徽省合肥市2024届高三下学期二模试题数学含答案
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    安徽省合肥市2024届高三下学期二模试题数学含答案

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    这是一份安徽省合肥市2024届高三下学期二模试题数学含答案,共11页。试卷主要包含了记的内角的对边分别为,已知,已知圆,圆,则等内容,欢迎下载使用。

    (考试时间:120分钟 满分:150分)
    注意事项:
    1.答卷前,务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设全集,集合,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知,则( )
    A.B.C.1D.2
    3.设是两个平面,是两条直线,则的一个充分条件是( )
    A.B.
    C.D.与相交
    4.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为( )
    A.B.C.D.
    5.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称做半衰期,记为(单位:天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质,其半衰期分别为.开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的质量的,则满足的关系式为( )
    A.B.
    C.D.
    6.已知函数,若关于的方程至少有两个不同的实数根,则的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    7.记的内角的对边分别为,已知.则面积的最大值为( )
    A.B.C.D.
    8.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线左支上,线段交轴于点,且.设为坐标原点,点满足:,则双曲线的离心率为( )
    A.B.C.D.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知圆,圆,则( )
    A.两圆的圆心距的最小值为1
    B.若圆与圆相切,则
    C.若圆与圆恰有两条公切线,则
    D.若圆与圆相交,则公共弦长的最大值为2
    10.已知等比数列的公比为,前项和为,则( )
    A.
    B.对任意成等比数列
    C.对任意,都存在,使得成等差数列
    D.若,则数列递增的充要条件是
    11.已知函数,则( )
    A.函数在上单调递减
    B.函数为奇函数
    C.当时,函数恰有两个零点
    D.设数列是首项为,公差为的等差数列,则
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.在的展开式中,的系数为_________.
    13.抛物线的焦点为,准线为为上一点,以点为圆心,以为半径的圆与交于点,与轴交于点,若,则_________.
    14.已知实数,满足,则的最小值为_________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)
    如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是侧棱的中点,侧面为正三角形,侧面底面.
    (1)求三棱锥的体积;
    (2)求与平面所成角的正弦值.
    16.(15分)
    已知椭圆的右焦点为,左顶点为,短轴长为,且经过点.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)过点的直线(不与轴重合)与交于两点,直线与直线的交点分别为,记直线的斜率分别为,证明:为定值.
    17.(15分)
    树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
    在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为.
    (1)证明:;
    (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
    (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
    附:.
    18.(17分)
    已知曲线在点处的切线为.
    (1)求直线的方程;
    (2)证明:除点外,曲线在直线的下方;
    (3)设,求证:.
    19.(17分)
    在数学中,广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和,记

    称为点与点之间的“-距离”,其中表示中较大者.
    (1)计算点和点之间的“距离”;
    (2)设是平面中一定点,.我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心,以为半径的“圆”.求以原点为圆心,以为半径的“圆”的面积;
    (3)证明:对任意点.
    性别
    参加考试人数
    平均成绩
    标准差

    30
    100
    16

    20
    90
    19
    2024年合肥市高三第二次教学质量检测
    数学试题参考答案及评分标准
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
    1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.
    9.AD 10.ACD 11.BCD
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.15 13. 14.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.
    15.解析:(1)如图所示,取的中点,连接.
    因为是正三角形,所以.
    又因为平面底面平面,
    所以平面,且.
    又因为是的中点,到平面的距离为,

    所以三棱锥的体积为.
    (2)连接,因为,
    所以为等边三角形,所以,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
    所以.
    设平面的法向量为,
    则,即,取,则,
    所以.
    设与平面所成角为,则.
    即与平面所成角的正弦值为.
    注:其他解法酌情赋分.
    16.解析:(1)因为,所以,再将点代入得,
    解得,故粗圆的方程为;
    (2)由题意可设,
    由可得,
    所以,
    又因为,
    所以直线的方程为,令,则,故,
    同理,
    从而,
    故.
    注:其他解法酌情赋分.
    17.解析:(1)
    ,
    同理.
    所以
    (2)将该班参加考试学生成绩的平均数记为,方差记为,
    则,
    所以
    又,所以.
    即该班参加考试学生成绩的平均数为96分,标准差约为18分.
    (3)由(2)知,所以全年级学生的考试成绩服从正态分布,
    所以.

    故可将定为等级,定为等级,定为等级,定为等
    级.
    注:其他解法酌情赋分.
    18.解析:(1)因为,
    所以,
    所以直线的方程为:
    (2)令,则
    ,令,则,由,解得,由,解得,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所以,当且仅当等号成立,
    所以除切点之外,曲线在直线的下方.
    (3)由,解得,解得,
    所以在上单调递增,在上单调递减,,
    当时,.
    因为,则,不妨令.
    因为曲线在点的切线方程为,
    设点在切线上,有,
    由(1)知时,,
    则,即,
    要证:,
    只要证:,
    只要证:,
    又,
    只要证:,
    令,
    则,
    易证在上单调递增,在上单调递减,
    所以,
    所以在上单调递减,所以成立,
    所以原命题成立.
    注:其他解法酌情赋分.
    19.解析:(1)由定义知,;
    (2)设是以原点为圆心,以为半径的-圆上任一点,则.
    若,则;
    若,则有.
    由此可知,以原点为圆心,以为半径的圆的面积为4
    (3)考虑函数.
    因为,所以在上单调递增.
    又,于是

    同理,.
    不妨设,则
    注:其他解法酌情赋分.
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