浙江省杭州市天杭实验学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质和算术平方根的定义分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、无意义，故错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，正确化简各数是解题关键．
2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A. B.
C. D. 为任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，先将方程化为一般式，再根据二次项系数不为0求解即可．
【详解】将原方程化为一般式得：，
∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
3. 若，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式的性质可得，，再根据绝对值的意义即可得出答案．
【详解】∵
当，即时，，
∴x的取值范围是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义，合理运用性质进行计算是解决本题的关键．
4. 过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可．
【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了8个三角形，
∴，
∴，
故这个多边形的边数是10．
故选：B．
5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配成完全平方公式，即可作答．
【详解】解：，
，
，
则，
故选：C．
6. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A. 12B. 15C. 12或15D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长．
【详解】解：方程变形得：，
解得：，，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论．
7. 矩形中，平分，，则下列结论错误的是（ ）
A. °B. 是等腰三角形
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对选项进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对选项进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对，选项进行判断；由可对选项进行判断，综上所述可得出答案．此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
平分，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
∵为等边三角形，
，
又，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰三角形，
故选项B正确，不符合题意；
，，
，
，，
，
，
故选项C错误，符合题意；
，
，
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
8. 如图，中，和的平分线相交于中位线上的一点P，若，， ，则的周长为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 1.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查是三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线的性质、平行线的性质得到，证明四边形为菱形，根据菱形的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
同理可得：，
∴的周长，
故选：B．
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. 线段既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 关于x一元二次方程可能无实数根
C. 用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“两个角大于60度”
D. 一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，根的判别式，反证法，平行四边形的判定等知识，根据这些基础知识逐项判定即可，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：A、线段既是中心对称图形，又是轴对称图形，原说法正确；
B、由于，所以关于x一元二次方程有两个不相等实数根，原说法错误；
C、用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于”，应假设“三角形的每个角都小于”，原说法错误；
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原说法错误．
故选：A．
10. 如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，
∵以底边，以为底边，
∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积；
同理可得出矩形面积；
∴②正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，．
但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立．
故①不一定正确；
③若，只能得出与高度之比，不一定等于；
故此选项错误；
∵；若，则，
∴④正确．
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 化简：_______，_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：即两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积，是解题的关键．
12. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形是_____边形．
【答案】六
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据n边形的内角和为，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，
，
解得：．
则这个正多边形的边数是六，
故答案为：六．
13. 方程化为一般形式是___________；其中二次项系数是_____．
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】先将化成一般式，再确定二次项系数即可．
【详解】解：，
，
，
．
故一般形式为：，二次项系数为：6．
故答案为：，6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式：（，a，b，c为常数）．叫二次项，a叫二次项系数；叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键．
14. 某班共有学生50人，平均身高为168cm，其中30名男生平均身高为170cm，则20名女生平均身高为________．
【答案】165cm
【解析】
【详解】设20名女生的平均身高为xcm，由题意得（170×30+20x）÷50=168，解得x=165，即20名女生的平均身高为165cm.
15. 如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°，若∠B=30°，BC=10，则四边形AECF的面积为__．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由条件可先证得四边形AECF为菱形，连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，得出EF，菱形AECF的面积=AC•EF，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，
∴AE=BC=CE，
同理，AF=AD=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形，
连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，
∴AC=BC=5，AB=AC=5，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=，
∴EF=5，
∴S菱形AECF=AC•EF=×5×5=，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，证得四边形AECF为菱形是解题的关键．
16. 如图，在中，，点E、F是，上的动点，，，为对称轴翻折，，点、B的对称点分别为G，H．若恰好在同一直线上，且，则的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，过G点作于点M，则可得，设，则由折叠性质知，从而得到，，，利用勾股定理得，继而得到关于x的方程，从而得解，根据勾股定理列方程是解题的关键．
【详解】解：过G点作于点M，
由折叠知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则由折叠性质知：，
∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
即，
解得，(舍去)，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的性质，完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算除法，化简绝对值、零次幂，再运算加减，即可作答．
（2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，结合二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先提公因式，得出，再令每个因式为0，即可作答．
（2）先运用完全平方公式以及多项式乘多项式进行展开，再合并同类项得，然后运用因式分解法解方程，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，
∴，
则；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
解得．
19. 张明、王成两位同学在初二学年10次数学单元检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）如图所示利用图中提供的信息，解答下列问题：
（1）完成下表：
（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率较高的同学是 ；
（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提出学习建议．
【答案】（1）张明：平均成绩80，方,60；王成：平均成绩80，中位,85，众,90；（2）王成；（3）张明学习成绩还需提高，优秀率有待提高.
【解析】
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数、方差的概念以及求解方法分别求解，填表即可；
(2)分别计算两人的优秀率，然后比较即可；
(3)比较这两位同学的方差，方差越小，成绩越稳定．
【详解】(1)张明的平均成绩=(80+70+90+80+70+90+70+80+90+80)÷10=80，
张明的成绩的方差=[4×(80-80)2+3×(70-80)2+3×(90-80)2]÷10=60，
王成的平均成绩=(80+60+100+70+90+50+90+70+90+100)÷10=80，
王成的成绩按大小顺序排列为50、60、70、70、80、90、90、90、100、100，
中间两个数为80，90，则张明的成绩的中位数为85，
王成的成绩中90分出现的次数最多，则王成的成绩的众数为90，
根据相关公式计算出结果，可以填得下表：
(2)如果将90分以上(含90分)的成绩视为优秀，
则张明的优秀率为：3÷10=30%，
王成的优秀率为：5÷10=50%，
所以优秀率较高的同学是王成，
故答案为王成；
(3)尽管王成同学优秀率较高，但是方差大，说明成绩不稳定，我们可以给他提这样一条参考意见：王成的学习要持之以恒，保持稳定；
相对而言，张明的成绩比较稳定，但是优秀率不及王成，我们可以给他提这样一条参考意见：张明同学的学习还需再加把劲，学习成绩还需提高，优秀率有待提高.
【点睛】本题考查了平均数，中位数与众数，方差，统计量的选择等知识，正确把握相关概念以及求解方法是解题的关键.
20. （1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数．
（2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键．
（1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形沿对角线折叠，
∴，
∴；
（2）∵四边形为矩形，
∴，，
∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴．
21. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图，连接，求证四边形的菱形；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据全等推出，得出平行四边形，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
设，则，，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
解得，
即．
22. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）自行车车棚的长和宽分别为，
（3）不能围成面积为的自行车车棚，见解析
【解析】
【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解；
（2）表示出矩形面积，求出即可；
（3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为；
【小问2详解】
解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，；
【小问3详解】
解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
23. 如图，正方形的对角线相交于O，平分，于点F，交于点G，
求证：

（1）；
（2）；
（3）若M为得中点，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理：
（1）先由正方形的性质得到，再证明，即可证明，推出；
（2）由正方形的性质得到，再证明，即可证明；
（3）由角平分线的定义得到，进而得到，证明，得到，，由勾股定理得，则，证明是的中位线，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴．姓名
平均成绩
中位数
众数
方差（s2）
张明

80
80

王成



260
姓名
平均成绩
中位数
众数
方差(s2)
张明
80
80
80
60
王成
80
85
90
260