四川省泸州市2024届高三下学期三模数学（文科）试题及答案

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答穼标号涂黑.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则（ ）
A.B.3C.D.5
2.已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
3.已知双曲线（，）的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A.B.C.D.6
4.从3，4，5，6，7这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除的概率是（ ）
A.B.C.D.
5.记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（ ）
A.6B.7C.7或8D.8或9
6.一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ）
A.方美变小B.平均数变大C.极差变大D.中位数变小
7.《九章算术》是一本综合性的历史著作，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着中国古代数学形成了完整的体系.在书中的《商功》一章里记录了“方亭”的概念，如图是一个“方亨”的三视图，则它的侧面积为（ ）
A.B.C.64D.
8.已知点在抛物线：（）上，为的焦点，直线与的准线相交于点，则（ ）
A.B.C.D.
9.已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数（）满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，…，，则（ ）
A.B.C.D.0
11.已知圆锥的体积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
12.已知，，给出下列不等式
①；②；③；④
其中一定成立的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
（2）本部分共10个小题，共90分.
13.已知函数是偶函数，则实数______.
14.已知非零向量，满足，且，则与夹角的大小为______.
15.已知直线：，动直线被圆：截得弦长的最小值为______.
16.已知是数列的前项和，，，则______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步䙉.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分），
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
18.（本小题满分12分）
的内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ若是边的中点，，求的长.
19.（本小题满分12分）
随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了、两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对、两种不同型号的新能源汽车进行综合评估（得分越高接受程度就越高），综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：
（Ⅰ）以综合得分的平均数为依据，判断、两种不同型号的新能源汽车哪种型号更受大众喜欢；
（Ⅱ）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为，求与的相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销量与年份的相关性强弱.
参考公式：（ⅰ）线性回归方罡：，其中，；
（ⅱ）相关系数（若，则相关性较弱：若，则相关性较强；若，则相关性很强）.
20.（本小题满分12分）
如图，已知，分別是椭圆：（）的右顶点和上顶点.椭圆的离心率为，（是坐标原点）的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，.证明：，，三点的㭥坐标成等差数列.
21.（本小题满分12分）
设函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.
已知曲线的参数方程为（为参数）.曲线的直角坐标方程为.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线和的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线：（其中）与曲线，的交点分别为，（，异于原点），求的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）设函数的最小值为，正数，，满足，证明：.