山西省太原市杏花岭区山西省实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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八年级 数学
（本试卷满分100分，考试时间90分钟）
命题人：杨美娜 校对人：牛婷婷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则t的变化范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用不等式的定义分析得出答案．此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的意义是解题关键．
【详解】解：∵2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是，最低气温是，
∴t的变化范围是：．
故选：D．
3. 如图在中，，底边上的中线的长为4，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后由三线合一即可求出的长．
【详解】解：∵，底边上的中线的长为4，
∴．
∵，
∴．
故选D．
4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，正确；
C．∵，∴，故不正确；
D．∵，∴，故不正确；
故选B．
5. 如图，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
6. 解不等式组时，将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题关键．分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，可得 ，
解不等式②，可得 ，
将不等式①②的解来表示在同一条数轴上，如下图：
故选：C．
7. 如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，将棋子“马”先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后位于点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置与坐标与图形变化−平移，正确得出原点的位置建立坐标系和掌握平移法则是解题关键．根据“帅”位于点，“炮”位于点，可得“马”的坐标，再根据平移的法则即可得答案．
【详解】解：∵“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系如图所示，
∴“马”的坐标是，
∵棋子“马”先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
∴
∴棋子“马”平移后位于点，
故选：A
8. 如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 18B. 32C. 36D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】因为平移后的三角形和面积不变，两个三角形有重叠的公共部分为三角形，所以阴影部分的面积和梯形的面积相等．本题的关键是利用平移的性质得出小三角形的底和高．
【详解】解： 如图：
∵现将沿着方向平移到的位置， ，
∴
∴
∵若平移距离为4，
∴
∴阴影部分的面积和梯形的面积相等
∴阴影面积．
故选：B．
9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题关键是结合图像进行解答．结合函数图像，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
10. 太原地铁“一号线”正在进行修建，预计2024年年底通车试运营，标志色为梦想蓝．现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车a辆，则a需要满足的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据购进载重量为8吨的卡车a辆，因为共6辆，所以载重量为10吨的卡车为辆，再结合“载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆,该车队需要一次运输残土不低于166吨”，进行列式，即可作答．
【详解】解：该车队需要一次运输残土不低于166吨
∵该车队准备新购进这两种卡车共6辆．
∴载重量为10吨的卡车为辆，
∵该车队需要一次运输残土不低于166吨,且载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆
∴则a需要满足的不等式为
故选：A
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 不等式的最大整数解是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴不等式的最大整数解是．
故答案为：1．
12. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，的度数为__________．
【答案】##130度
【解析】
【分析】本本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质求出即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为6．
14. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________．
【答案】##108度
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题关键．由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在中，点在边上，且，，交的延长线于点．若，，则边的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】延长至点，使得，连接，过点作，交于点，证明，易得，进而可得，再证明，进而可得，然后在中和在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本题共8个小题，共55分）
16. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质，解不等式的方法分别求出两个不等式的解，再根据不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”，由此即可求解．
【详解】解：
解不等式，
去括号，得
移项，
合并同类项，系数化为，；
解不等式，
去分母，得，
移项，，
合并同类项，，
系数化，；
∴原不等式组解集为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）①若经过平移后得到，已知，画出平移后的；
②可以看作沿的方向一次平移__________个单位长度得到；
（2）将以原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的．
（3）已知点，若点E满足，且，请直接写出E点的坐标__________．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，坐标与图形，勾股定理：
（1）①根据点A和点的坐标可得平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，据此求出B、C对应点的坐标，再顺次连接对应点即可得到答案；②利用勾股定理求出得长即可得到答案；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，进而顺流连接对应点即可得到答案；
（3）根据B、D坐标得到轴，且，据此可得答案．
【小问1详解】
解：①如图所示，即为所求；
②∵，，
∴，
∴可以看作沿的方向一次平移个单位长度得到，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
小问3详解】
解：∵，，
∴轴，
∵，
∴轴，且，
∵，
∴点D的坐标为或，
故答案为：或．
18. 下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
去分母，得： 第一步
去括号．得： 第二步
移项，得： 第三步
合并同类项，得： 第四步
系数化为1，得 第五步
（1）以上运算步骤中，去分母的依据是__________；
（2）以上解题过程中，第二步是依据__________（填写相关的运算律）进行变形的；
（3）第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；
（4）直接写出该不等式的正确解集为__________．
【答案】（1）不等式的基本性质2
（2）乘法对加法的分配律
（3）五，不等式的两边都除以同一个负数时，不等号的方向没有发生改变
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）根据不等式的基本性质，即可解答；
（2）根据乘法分配率，即可解答；
（3）根据一元一次不等式的解法分析即可；
（4）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【小问1详解】
以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2．
故答案为：不等式的基本性质2；
【小问2详解】
以上解题过程中，第二步是依据乘法对加法的分配律．
故答案为：乘法对加法的分配律；
【小问3详解】
第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式的两边都除以同一个负数时，不等号的方向没有发生改变．
故答案为：五，不等式的两边都除以同一个负数时，不等号的方向没有发生改变；
【小问4详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
19. 4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
【答案】皓皓至少答对22道题
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先设皓皓答对x道题，再根据“某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：设皓皓答对x道题，
根据题意得：，
解这个不等式得，
为正整数，
的最小整数解为22．
答：皓皓至少答对22道题
20. 已知：如图，在中，平分交于点．
（1）求作：直线，使垂直平分，交于点，交于点，垂足为点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；如完成有困难，可画出草图后解答（2）题）
（2）在（1）得到的图中，连接、．求证：．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于两点，作直线，交于点，交于点，交于点，即可获得答案；
（2）由垂直平分线的性质可得，，，再利用“”证明，由全等三角形性的性质可得，即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握作垂线的方法和步骤是解题关键．
21. 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事，某校为加强学生体育锻炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价4元，羽毛球拍每副定价50元，现两家商店都搞促销活动；甲店每出售一副球拍赚2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若该校需购12副球拍，x个羽毛球．在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元）．
（1）请分别写出、的函数关系式；
（2）请通过计算回答，该校选择哪种购买方案更合算？
【答案】（1），
（2）当时，在甲乙商店购买总费用一样；当时，在乙商店购买总费用较少；当时，在甲商店购买总费用较少
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）根据两个商家的促销活动方案，列出函数关系式即可；
（2）求出，，时，自变量的范围，作答即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，，
，，
【小问2详解】
当时，得，解得，
当时，得时，解得，
当时，得时，解得，
答：当时，在甲乙商店购买总费用一样；
当时，在乙商店购买总费用较少；
当时，在甲商店购买总费用较少．
22. 阅读材料：等边三角形具有丰富的性质，在解题时我们要善于运用等边三角形的特殊性来达到证明全等的目的从而解决问题．
（1）如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边和等边具有共同的顶点C，我们容易证明，从而得到__________；
（2）解决问题：如图2，已知点D在等边内，，，，以为边在其下方作等边，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据证明，即可得出结论；
（2）根据证明得出，得出，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，即可得出答案
【小问1详解】
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
23. 问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，，，．将从图1的位置开始绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别为点，），旋转角为．
操作思考：
（1）“令才”小组画出了点恰好落在边上时的图形，连接，如图2，试判断的形状，并说明理由；
（2）“实验”小组经过探究发现所在的直线与所在的直线始终垂直．
在图3中，作直线，交于点，请补全图形并证明上述结论；
拓展探究：
（3）“实知”小组继续思考：在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________．
【答案】操作思考：（1）为等边三角形，理由见详解；（2）证明见详解
拓展探究：（3）2或
【解析】
【分析】操作思考：（1）首先证明为等边三角形，易得，进而可得，，结合即可证明结论；
（2）根据题意作出图形；设与交于点，结合旋转的性质可得，，再证明，进而可得，即可证明即；
拓展探究：（3）分直线经过点和直线经过点两种情况，分别求解即可．
【详解】操作思考：（1）为等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（2）补全图形如下，
设与交于点，
由旋转可知，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即；
拓展探究：（3）∵，，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，，，
分两种情况讨论：
①如下图，当直线经过点时，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，；
②如下图，当直线经过点时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长度为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键．