江西省赣州市于都县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本卷共23题，卷面分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B选项符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
3. 如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：分别是的边上的中点
是的中位线，，
的周长，
，
周长
故选∶D．
4. △ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A b2- c2=a2B. a:b:c= 5:12:13
C. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5D. ∠C =∠A -∠B
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】A. b2- c2=a2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B. a:b:c= 5:12:13，设，则，
则，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5，设∠A、∠B、∠C分别是，
则，，则，
所以△ABC是不直角三角形，故符合题意；
D. ∠C =∠A -∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=90°，是直角三角形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5. 如图，将三角尺沿边所在直线平移后得到，连接下列结论错说的是（ ）
A. 是等腰三角形B. 四边形是平行四边形
C. 四边形是矩形D. 四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，特殊四边形的判定；根据平移的性质得出特殊四边形的判定条件；熟知平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵三角尺沿边所在直线平移后得到，
，，
∴四边形是平行四边形
∴四边形是矩形
是等腰三角形
故A、B、C正确；
在中，
∴四边形不是菱形；
故选：D．
6. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 48B. 60C. 96D. 192
【答案】C
【解析】
【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
7. 当时，二次根式的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO＝3，则AC＝___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，可得，结合题意即可求得．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的性质是解题的关键．
9. 如图，在中，请添加一个条件：______，使得成为矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可．
【详解】条件是，理由是：
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
10. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．设正方形的面积为，首先根据长方形的长是宽的2倍，得出长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，长方形的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于的一元一次方程，解这个方程求出的值，即可求解．
【详解】解：设正方形的面积为，
长方形的长是宽的2倍，
长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，
正方形、、、的面积依次为5、23、10、，
根据图形得：，
解得：，
正方形的面积为3，
故答案为：3
11. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.
【答案】（11，60，61）
【解析】
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．
【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
12. 在等腰三角形纸片中，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查图形的剪拼，涉及等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图：过点作于点D，
∵边，，
∴，
∴，

如图①所示：可得四边形是矩形，则其四边形的周长为：，
如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：，
如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13. （1）计算：；
（2）已知最简二次根式与可以合并，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式和二次根式和加减：
（1）先化简二次根式，然后合并解题即可；
（2）根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值．
【详解】解：（1）
；
（2）∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得．
14. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13,
求证：△ACD是直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明 可得是直角三角形．
试题解析：证明：




∴△ACD是直角三角形.
15. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且，连接AE，CF．求证：AE//CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得∥，＝，再证，得四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥，＝．
∵，
∴．
即．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16. 在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式
①
②
③
④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第______步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【答案】（1）小明从第③步开始出错的；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的运算法则可对小亮的解题过程进行判断；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算得到原式，然后把各二次根式化简为最简二次根式候合并即可．
【小问1详解】
解：小亮从第③步开始出错的；
【小问2详解】
解：原式，
．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，解题的关键是注意先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．
17. 如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
（1）在图1中，过点作的平行线，与交于点．
（2）在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
（1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
（2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
【小问1详解】
解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
【小问2详解】
解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，

（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
【答案】（1）
（2）小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【解析】
【分析】（1）把代入公式进行计算即可；
（2）把代入进行计算即可．
【小问1详解】
解：当时，而，
∴，
解得：；
小问2详解】
由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【点睛】本题考查的是算术平方根的实际应用，理解算术平方根的含义是解本题的关键．
19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
【小问2详解】
由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．

20. 如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若，，求DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可．
（2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴ 四边形为平行四边形．
∵ ，BD为AC边上的中线，
∴ ，
∴ 四边形为菱形．
【小问2详解】
解：连接DE交BC于O点，如图．
∵ 四边形为菱形，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．
五、解答题（林大题共2小题，每小影9分，共计18分）
21. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，等角对等边的知识：
（）首先判定该四边形为平行四边形，然后由，即可证明四边形是矩形；
（）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由此即可求得的长．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____；
（2）试着把化成一个完全平方式．
（3）若是216的立方根，是16的平方根，试计算：．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简：
（1）根据完全平方公式展开，再比较即可解答；
（2）根据完全平方公式即可解答；
（3）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：∵a是216的立方根，b是16的平方根，
∴，
∴
．
六、解答题（本大题共12分）
23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________．
（2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）．
①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形；
②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”．
【答案】（1）①0；②
（2）①1；②
【解析】
【分析】（1）①当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，由定义求解即可，②若菱形的一个内角为60°，根据菱形对角线的性质得，求得∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，利用勾股定理求解；
（2）当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形．此时，即可得出；②根据∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB，得出∠OAB＝∠OBA＝22.5°在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°，得出∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：①若菱形的“接近度”＝0，菱形就是正方形；
理由：当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，
此时＝0．
故答案为：0；
②如题图1，若菱形的一个内角为60°，
根据菱形对角线的性质得，
∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴AO＝1，AC＝2．
由勾股定理可得，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形．
此时，
故答案为：1；
②∵∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°
如图，在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°，
∴∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°，
∴AE＝CE．
设BC＝a，可得BE＝a，
由勾股定理可得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定及性质、勾股定理、新定义问题，解题的关键是掌握菱形的性质．