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2024年中考数学第二次模拟考试数学试题 吉林
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这是一份2024年中考数学第二次模拟考试数学试题 吉林，文件包含数学全解全析docx、数学考试版A4docx、数学参考答案及评分标准docx、数学考试版A3docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．
先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点A、B、C、D的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．
【详解】解：先根据数轴的定义以及绝对值的意义：，，，，点B的数绝对值最小．
故选：B．
2．据市统计局年报，去年我市人均生产总值为元，用科学记数法表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
【详解】解：元．
故选C．
【点睛】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
3．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．
【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运算的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
，
故选：B．
6．如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】
如图，沿翻折，点A落在处，
则，
由对折知，，
∴点在上，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7． ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负指数幂及算术平方根是解题的关键．根据零指数幂、负指数幂及算术平方根计算即可．
【详解】解：
故答案为：
因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加减运算，再代入计算即可．
【详解】解：当时，
；
故答案为：．
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．2024年4月23日是第29个世界读书日，鼓励人们尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化提高的人们所做出的伟大贡献表示感激和尊重．小明读一本390页的书，计划15天内读完，但前6天由于身体原因只读了120页，如果他想按原计划读完，则从第7天起平均每天至少要读 页．
【答案】30
【分析】设从第7天起平均每天要读x页，根据题意得出不等关系：120页+后9天读的页数，根据不等关系列出不等式，进而可得答案．
【详解】解：设从第7天起平均每天要读x页，才能按计划读完，
则根据题意得：，
解得：；
∴从第7天起，平均每天至少要读30页才能按计划读完．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目中的不等关系，列出不等式．
12．如图，是菱形的一条对角线，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，直线与射线交于点．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，菱形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，设与的交点为，由题意可得，为的角平分线，为线段的垂直平分线，即得到，，又由四边形是菱形，可得，，进而可得，即可求解，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：设与的交点为，
由题意可得，为的角平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的角的顶点与坐标原点O重合，直角顶点B在x轴的负半轴上，顶点A在第三象限．将绕点O逆时针旋转一定角度得到使点B的对应点落在边上．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，过点作轴于点C，根据角的直角三角形的性质求出，求出，根据旋转求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】解：过点作轴于点C，如图所示：
根据题意可得：，，，
∴，
∴，，
根据旋转可知，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
14．如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，使点落在边上的点处，折痕为；②把纸片展开并铺平；③点在边上，把翻折，使点落在线段上的点处，折痕为，与交于点．若是等腰三角形，，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和折叠的性质，分三种情况讨论：①当时，连结，由题意可得，可得，证得，即，，即可求得，②当时，，可得点与点重合，则有；③当时，，不合题意．
【详解】①当时，连结，
由题意可得．
，
，
，，
．
，
，
，．
②当时，，则，
∵
∴点与点重合，如图，
则．
③当时，，不合题意，舍去．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=.
【答案】-8x-8，-12
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2
=x2-9-2x2-6x+x2-2x+1
=-8x-8，
当x=时，原式=-4-8=-12.
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．春节是流行疾病的高发季节，为此初三1班展开以“养成良好卫生习惯，做好手部消毒”的主题班会，并在市场购买乙醇类喷雾消毒剂，其中包含100ml、200ml、300ml、500ml共四种容量不同的消毒剂．现将这四种消毒剂各取一瓶分别装到4个封装后完全相同的纸箱，并将这4个纸箱随机摆放．
(1)若小明从这4个纸箱中随机选取一个，则所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是______．
(2)若小明从这4个纸箱中随机选取2个，请利用列表或树状图的方法，求所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率．
【答案】(1)
(2)所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于400ml所占的结果数，再根据概率公式计算．
【详解】（1）解：∵一共有4个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的有1个，
∴这4个纸箱中随机选1个，所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的结果有8种，
∴所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
17．如图，在中，， 是上的一点，且，于，；求证：≌．
【详解】解： 90°，
90°，
，
90°，
，
在和中，
，
≌（AAS）.
18．为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【分析】根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得：，
解得：x=80．
经检验，x=80是原分式方程的解
80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
19．如图1，图2，图3，图4均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．
（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形．
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形即可；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形即可；
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形即可；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形即可．
【详解】解：如图，
（1）如图1即为所画图形；
（2）如图2即为所画图形；
（3）如图3即为所画图形；
（4）如图4即为所画图形.
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等知识．
20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式．
(2)若为1.5米，求B，C之间的水平距离的长度
(3)若高度不超过1米，则B，C之间的水平距离的长度至少为多少米？
【答案】(1)
(2)B，C之间的水平距离的长度为6米
(3)B，C之间的水平距离的长度至少为10米
【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C的纵坐标为1.5，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解；
（3）另点C的纵坐标为1，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
段滑梯所在双曲线的解析式为：，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴当时，，
，
∴=，
答：B，C之间的水平距离的长度为6米；
（3）解：∵，
∴当时，，
，
∴的长度至少为：，
答：B，C之间的水平距离的长度至少为10米．
21．吉林省2022年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，至年末全省机动车保有量达到万辆，比上年末增长．根据公报出示的数据绘制了年年全省机动车保有量及其增长速度的统计图表．根据该统计图表解答下列问题：
年年吉林省机动车保有量及其增长速度
(1)吉林省从年到年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多______万辆．
(2)吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度的中位数是______．
(3)与年相比，年吉林省机动车保有量增加了______万辆，机动车保有量增长速度提高了______个百分点；(注：为1个百分点)
(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，其中正确的是______．(填写字母)
A．吉林省从年到年，全省机动车保有量持续增长．
B．全省机动车保有量年增长率，
设年吉林省机动车保有量为，则通过列方程来求得年吉林省机动车保有量．
C．通过统计数据，从年到年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，因此这三年的机动车保有量增长率是负增长．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)A，B
【分析】（1）用最多年份的数据减去最少年份的数据即可；
（2）先排序，再按中位数的定义求取即可；
（3）第一空：用年吉林省机动车保有量减去2年的即可；第二空：用年的增长率减去年的增长率即可；
（4）根据数据上升可知A正确，根据增长率的计算方法可知B正确，虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长可知C错误．
【详解】（1）解：由统计图可知：全省机动车保有量最多年份是年，保有量为万辆，全省机动车保有量最少年份是年，保有量为万辆，
∴全省机动车保有量最多年份比最少的年份多的数量为：(万辆)
故答案为：；
（2）解：吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度从小到大排序得：，，，，，
∴全省机动车保有量增长速度的中位数是3.5%，
故答案是：；
（3）解：∵(万辆)
∴与年相比，年吉林省机动车保有量增加了万辆，
∵，
∴机动车保有量增长速度提高了个百分点，
故答案为：；；
（4）解：A、吉林省从2018年到2022年，汽车保有量一致在增加，即全省机动车保有量持续增长，因此A正确；
B、增长率的计算公式正确，因此根据这个等量关系所列方程也正确，即B正确；
C、虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长，因此C错误．
所以正确的有：A，B，
故答案为：A，B．
【点睛】本题考查条形统计图与折线统计图，中位数，增长率计算公式，根据题意读懂统计图的数据关系是解题的关键．
22．在风景迷人的旅游度假区，有一个深受游客喜爱的“高空滑梯”娱乐项目．如图，在滑梯顶部A处观测B处的俯角为30°．滑车从A处出发，沿直线加速滑行18m到B处，再水平滑行10m到C处，最后沿坡角的斜坡CD缓慢滑行6m到达地面D处．求滑梯的高度AE．（精确到1m，，，）
【答案】滑梯的高度AE约为11m．
【分析】延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，根据锐角三角函数值的求法得到AF和CG的长度，再利用来求解．
【详解】解：延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，
在中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，
∴．
在中，∠CGD＝90°，
∴，
∴（m）．
答：滑梯的高度AE约为11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，作出辅助线，构建直角三角形是解答关键．
甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设备后，甲组的工作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出线段DE的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；
（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经过多长时间恰好装满2箱．
【答案】（1）y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求线段BC的函数关系式，根据线段DE，BC的函数解析式即可求解；
（3）假设经过x小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进而列方程40x+20＝340求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：D（2，100），E（9，380），
设线段DE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝40x+20（2≤x≤9）；
（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，
∴C点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，
∴C（6.5，300），
设线段BC的解析式为：，
∴，
解得：，
∴y＝60x﹣90（2.5≤x≤6.5），
由题意得：40x+20＝60x﹣90，
解得：x＝5.5，
答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；
（3）设经过x小时恰好装满二箱，
由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，
乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），
∴此时不够装满2箱．
恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），
40x+20＝340，
解得：x＝8，
答：经过8小时恰好装满2箱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的关键．
24．（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；
（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
同理可得：，
∴，
两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
两边同时除以得，，
∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，
∴，解得，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．
25．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）BE+CF＝2，是为定值；（3）S＝（x﹣1）2，当x＝1时，S最小值为.
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cs60°＝BD＝BC＝2；
（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．
【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∴△MBD≌△NCD（AAS）
BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，，
∴△EMD≌△FND（ASA）
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cs60°＝BD＝BC＝2
（3）过点F作FG⊥AB，垂足为G，
∵BE＝x
∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，
∴AF＝2+x，
∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，
∴S＝BC×AB×sin60°﹣AE×AF×sin60°﹣BE×BD×sin60°﹣CF×CD×sin60°
＝4﹣×（4﹣x）×（2+x）×﹣×x×2×﹣×（2﹣x）×2×
∴S＝（x﹣1）2+（
∴当x＝1时，S最小值为
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN是解决本题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点、，当时，设的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为、、、，当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】（1）抛物线L的对称轴为直线；（2）；（3），S的最小值为；（4）m的值为，．
【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得当时，，且，从而得到，从而得到当时，，即可求解；
（3）过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．可得．从而得到，再设直线BC的解析式为，求出直线BC的解析式为，从而得到，再由，得到S与m之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求解；
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，从而得到D到y轴的距离是3，E到x轴的距离为，再由点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线L的对称轴为直线．
（2）∵当时，，且，
又∵当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，
∴．
∴当时，．
解得：．
∴抛物线L对应的函数表达式为；
（3）如图，过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．
∵，
∴．
∵点A为抛物线L的顶点，
∴．
设直线BC的解析式为，
∵点、，
∴，解得：，
∴直线BC所对应的函数表达式为．
∴．
∴，
∴
∵，
∴当时，有最小值．
∴S的最小值为，
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，
∴D到y轴的距离是3，
∵当时，，
∴E到x轴的距离为，
∵点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，
∴，
即或，
解得：或．
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．
先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点A、B、C、D的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．
【详解】解：先根据数轴的定义以及绝对值的意义：，，，，点B的数绝对值最小．
故选：B．
2．据市统计局年报，去年我市人均生产总值为元，用科学记数法表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
【详解】解：元．
故选C．
【点睛】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
3．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．
【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运算的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
，
故选：B．
6．如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】
如图，沿翻折，点A落在处，
则，
由对折知，，
∴点在上，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7． ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负指数幂及算术平方根是解题的关键．根据零指数幂、负指数幂及算术平方根计算即可．
【详解】解：
故答案为：
因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加减运算，再代入计算即可．
【详解】解：当时，
；
故答案为：．
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．2024年4月23日是第29个世界读书日，鼓励人们尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化提高的人们所做出的伟大贡献表示感激和尊重．小明读一本390页的书，计划15天内读完，但前6天由于身体原因只读了120页，如果他想按原计划读完，则从第7天起平均每天至少要读 页．
【答案】30
【分析】设从第7天起平均每天要读x页，根据题意得出不等关系：120页+后9天读的页数，根据不等关系列出不等式，进而可得答案．
【详解】解：设从第7天起平均每天要读x页，才能按计划读完，
则根据题意得：，
解得：；
∴从第7天起，平均每天至少要读30页才能按计划读完．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目中的不等关系，列出不等式．
12．如图，是菱形的一条对角线，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，直线与射线交于点．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，菱形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，设与的交点为，由题意可得，为的角平分线，为线段的垂直平分线，即得到，，又由四边形是菱形，可得，，进而可得，即可求解，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：设与的交点为，
由题意可得，为的角平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的角的顶点与坐标原点O重合，直角顶点B在x轴的负半轴上，顶点A在第三象限．将绕点O逆时针旋转一定角度得到使点B的对应点落在边上．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，过点作轴于点C，根据角的直角三角形的性质求出，求出，根据旋转求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】解：过点作轴于点C，如图所示：
根据题意可得：，，，
∴，
∴，，
根据旋转可知，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
14．如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，使点落在边上的点处，折痕为；②把纸片展开并铺平；③点在边上，把翻折，使点落在线段上的点处，折痕为，与交于点．若是等腰三角形，，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和折叠的性质，分三种情况讨论：①当时，连结，由题意可得，可得，证得，即，，即可求得，②当时，，可得点与点重合，则有；③当时，，不合题意．
【详解】①当时，连结，
由题意可得．
，
，
，，
．
，
，
，．
②当时，，则，
∵
∴点与点重合，如图，
则．
③当时，，不合题意，舍去．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=.
【答案】-8x-8，-12
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2
=x2-9-2x2-6x+x2-2x+1
=-8x-8，
当x=时，原式=-4-8=-12.
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．春节是流行疾病的高发季节，为此初三1班展开以“养成良好卫生习惯，做好手部消毒”的主题班会，并在市场购买乙醇类喷雾消毒剂，其中包含100ml、200ml、300ml、500ml共四种容量不同的消毒剂．现将这四种消毒剂各取一瓶分别装到4个封装后完全相同的纸箱，并将这4个纸箱随机摆放．
(1)若小明从这4个纸箱中随机选取一个，则所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是______．
(2)若小明从这4个纸箱中随机选取2个，请利用列表或树状图的方法，求所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率．
【答案】(1)
(2)所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于400ml所占的结果数，再根据概率公式计算．
【详解】（1）解：∵一共有4个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的有1个，
∴这4个纸箱中随机选1个，所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的结果有8种，
∴所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
17．如图，在中，， 是上的一点，且，于，；求证：≌．
【详解】解： 90°，
90°，
，
90°，
，
在和中，
，
≌（AAS）.
18．为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【分析】根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得：，
解得：x=80．
经检验，x=80是原分式方程的解
80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
19．如图1，图2，图3，图4均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．
（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形．
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形即可；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形即可；
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形即可；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形即可．
【详解】解：如图，
（1）如图1即为所画图形；
（2）如图2即为所画图形；
（3）如图3即为所画图形；
（4）如图4即为所画图形.
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等知识．
20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为．
(1)求段滑梯所在双曲线的解析式．
(2)若为1.5米，求B，C之间的水平距离的长度
(3)若高度不超过1米，则B，C之间的水平距离的长度至少为多少米？
【答案】(1)
(2)B，C之间的水平距离的长度为6米
(3)B，C之间的水平距离的长度至少为10米
【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为：，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C的纵坐标为1.5，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解；
（3）另点C的纵坐标为1，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
段滑梯所在双曲线的解析式为：，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴当时，，
，
∴=，
答：B，C之间的水平距离的长度为6米；
（3）解：∵，
∴当时，，
，
∴的长度至少为：，
答：B，C之间的水平距离的长度至少为10米．
21．吉林省2022年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，至年末全省机动车保有量达到万辆，比上年末增长．根据公报出示的数据绘制了年年全省机动车保有量及其增长速度的统计图表．根据该统计图表解答下列问题：
年年吉林省机动车保有量及其增长速度
(1)吉林省从年到年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多______万辆．
(2)吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度的中位数是______．
(3)与年相比，年吉林省机动车保有量增加了______万辆，机动车保有量增长速度提高了______个百分点；(注：为1个百分点)
(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，其中正确的是______．(填写字母)
A．吉林省从年到年，全省机动车保有量持续增长．
B．全省机动车保有量年增长率，
设年吉林省机动车保有量为，则通过列方程来求得年吉林省机动车保有量．
C．通过统计数据，从年到年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，因此这三年的机动车保有量增长率是负增长．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)A，B
【分析】（1）用最多年份的数据减去最少年份的数据即可；
（2）先排序，再按中位数的定义求取即可；
（3）第一空：用年吉林省机动车保有量减去2年的即可；第二空：用年的增长率减去年的增长率即可；
（4）根据数据上升可知A正确，根据增长率的计算方法可知B正确，虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长可知C错误．
【详解】（1）解：由统计图可知：全省机动车保有量最多年份是年，保有量为万辆，全省机动车保有量最少年份是年，保有量为万辆，
∴全省机动车保有量最多年份比最少的年份多的数量为：(万辆)
故答案为：；
（2）解：吉林省从年到年，全省机动车保有量增长速度从小到大排序得：，，，，，
∴全省机动车保有量增长速度的中位数是3.5%，
故答案是：；
（3）解：∵(万辆)
∴与年相比，年吉林省机动车保有量增加了万辆，
∵，
∴机动车保有量增长速度提高了个百分点，
故答案为：；；
（4）解：A、吉林省从2018年到2022年，汽车保有量一致在增加，即全省机动车保有量持续增长，因此A正确；
B、增长率的计算公式正确，因此根据这个等量关系所列方程也正确，即B正确；
C、虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长，因此C错误．
所以正确的有：A，B，
故答案为：A，B．
【点睛】本题考查条形统计图与折线统计图，中位数，增长率计算公式，根据题意读懂统计图的数据关系是解题的关键．
22．在风景迷人的旅游度假区，有一个深受游客喜爱的“高空滑梯”娱乐项目．如图，在滑梯顶部A处观测B处的俯角为30°．滑车从A处出发，沿直线加速滑行18m到B处，再水平滑行10m到C处，最后沿坡角的斜坡CD缓慢滑行6m到达地面D处．求滑梯的高度AE．（精确到1m，，，）
【答案】滑梯的高度AE约为11m．
【分析】延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，根据锐角三角函数值的求法得到AF和CG的长度，再利用来求解．
【详解】解：延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，
在中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，
∴．
在中，∠CGD＝90°，
∴，
∴（m）．
答：滑梯的高度AE约为11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，作出辅助线，构建直角三角形是解答关键．
甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设备后，甲组的工作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出线段DE的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；
（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经过多长时间恰好装满2箱．
【答案】（1）y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求线段BC的函数关系式，根据线段DE，BC的函数解析式即可求解；
（3）假设经过x小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进而列方程40x+20＝340求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：D（2，100），E（9，380），
设线段DE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝40x+20（2≤x≤9）；
（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，
∴C点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，
∴C（6.5，300），
设线段BC的解析式为：，
∴，
解得：，
∴y＝60x﹣90（2.5≤x≤6.5），
由题意得：40x+20＝60x﹣90，
解得：x＝5.5，
答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；
（3）设经过x小时恰好装满二箱，
由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，
乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），
∴此时不够装满2箱．
恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），
40x+20＝340，
解得：x＝8，
答：经过8小时恰好装满2箱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的关键．
24．（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；
（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
同理可得：，
∴，
两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
两边同时除以得，，
∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，
∴，解得，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．
25．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）BE+CF＝2，是为定值；（3）S＝（x﹣1）2，当x＝1时，S最小值为.
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cs60°＝BD＝BC＝2；
（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．
【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∴△MBD≌△NCD（AAS）
BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，，
∴△EMD≌△FND（ASA）
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cs60°＝BD＝BC＝2
（3）过点F作FG⊥AB，垂足为G，
∵BE＝x
∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，
∴AF＝2+x，
∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，
∴S＝BC×AB×sin60°﹣AE×AF×sin60°﹣BE×BD×sin60°﹣CF×CD×sin60°
＝4﹣×（4﹣x）×（2+x）×﹣×x×2×﹣×（2﹣x）×2×
∴S＝（x﹣1）2+（
∴当x＝1时，S最小值为
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN是解决本题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点、，当时，设的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为、、、，当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】（1）抛物线L的对称轴为直线；（2）；（3），S的最小值为；（4）m的值为，．
【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得当时，，且，从而得到，从而得到当时，，即可求解；
（3）过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．可得．从而得到，再设直线BC的解析式为，求出直线BC的解析式为，从而得到，再由，得到S与m之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求解；
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，从而得到D到y轴的距离是3，E到x轴的距离为，再由点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线L的对称轴为直线．
（2）∵当时，，且，
又∵当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，
∴．
∴当时，．
解得：．
∴抛物线L对应的函数表达式为；
（3）如图，过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．
∵，
∴．
∵点A为抛物线L的顶点，
∴．
设直线BC的解析式为，
∵点、，
∴，解得：，
∴直线BC所对应的函数表达式为．
∴．
∴，
∴
∵，
∴当时，有最小值．
∴S的最小值为，
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，
∴D到y轴的距离是3，
∵当时，，
∴E到x轴的距离为，
∵点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，
∴，
即或，
解得：或．
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