2024年广东省湛江市廉江市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省湛江市廉江市中考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个数中，负整数是( )
A. 2024B. −3.14C. 0D. −3
2.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
3.九(2)班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九(2)班全体学生年龄的( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
4.如图，CM//BN，∠C=45°，∠B=20°，则∠A的度数为( )
A. 45°
B. 35°
C. 25°
D. 20°
5.下列运算中，正确的是( )
A. a5−a3=a2B. a4⋅a3=a7C. a6÷a2=a3D. (a2)3=a5
6.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. a<−3B. |a|0D. |ab|>1
7.一元一次不等式组2x−3<15x+1≥4x的解集是( )
A. x<2B. 1≤x<2C. −1≤x<2D. x≤−1
8.若关于x的一元二次方程kx2+4x−4=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−1B. k≤−1C. k>−1且k≠0D. k≥−1且k≠0
9.如图，四边形ABCD是菱形，过点B作BE⊥AB交对角线AC于点E.若AE=8，AB=7，则EC的长为( )
A. 174
B. 172
C. 498
D. 158
10.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AN⊥DM.则下列结论：①△DAG∽△ANB；②S△ADG=S四边形BMGN；③连接MN，DN，若△DMN的面积为132，则AN的长为5.其中正确的结论是( )
A. ①②
B. ①②③
C. ①③
D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2−2x=______．
12.如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为______．
13.若(m−5)2+ n−11=0，则以m，n为边长的等腰三角形的周长为______．
14.如图，直线OA：y=kx与反比例函数y=12x的图象交于点A(3,m)，B，则点B的坐标为______．
15.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，D是⊙O外的一点，C是线段DA的中点，连接BD交⊙O于点E，且满足四边形OACE是矩形，则阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(π−2024)0+4cs30°+| 12−4|．
(2)先化简，再求值：(1−xx+2)÷x2−2xx2−4，其中x= 5．
17.(本小题7分)
如图，在▱ABCD中，AD=12，AB=6．
(1)用尺规作图法作∠ADC的平分线DN，交BC于点M，交AB的延长线于点N.(标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，求BN的长．
18.(本小题7分)
安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史.九(1)班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点B，测得AB=38m，用测角仪在A处测得文阁塔顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，已知测角仪的高AC=1m.请你帮小明计算出文阁塔EF的高度.(结果保留根号)
19.(本小题9分)
在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售.某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
20.(本小题9分)
综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍AM放在等边三角形硬纸板APQ上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点M在PQ上(不与点P，Q重合)，将木棍AM绕点M顺时针方向旋转60°，得到线段MN，点A的对应点为N，连接QN．
猜想与证明：
(1)直接写出线段PM与线段QN的数量关系．
(2)证明(1)中你发现的结论．
21.(本小题9分)
环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项(每位被调查的学生必须且只能选一项)：A.不了解；B.了解较少；C.了解；D.非常了解.并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图，回答下列问题．
(1)本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图．
(2)若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名.
(3)在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生(2名男生和2名女生)来自九(1)班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛.请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
22.(本小题12分)
综合探究
如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，P是⊙O上的一点，连接AP交BC于点M，点N在AM上，满足∠ANB−∠BNP=∠ACB，NQ//AC交BC于点Q，BM=NQ，连接BP，PQ．
(1)求证：PB=PN；
(2)求证：△BPM≌△NPQ；
(3)如图2，AP为⊙O的直径，设∠ACB=α，当AB的长为2时，求AC的长．
23.(本小题12分)
已知抛物线C1：y=ax2+2ax+a−23．
(1)写出抛物线C1的对称轴：______．
(2)将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A(−2,−2)和点B(点B在点A的左侧)，若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
(3)在(2)的条件下，直线l1：y=kx−2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：在2024、−3.14、0、−3中，
2024是正整数，−3.14是负分数，0是整数，−3是负整数．
故选：D．
此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行解答即可．
本题考查了有理数的分类，掌握有理数的定义是关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：九(2)班大部分学生的年龄都是15周岁，
∴这里的15周岁指的是九(2)班全体学生年龄的众数．
故选：B．
根据平均数、众数、中位数的定义求解即可．
此题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：∵CM//BN，∠C=45°，
∴∠CNB=∠C=45°，
∵∠B=20°，
∴∠A=∠CNB−∠B=25°．
故选：C．
先根据平行线的性质求出∠CNB，再根据三角形外角性质求出∠A=∠CNB−∠B，代入求出即可．
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠CNB的度数，注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】B
【解析】解：A，a5和a3不是同类项不能合并，故该选项错误；
B，a4⋅a3=a7，故该选项正确；
C，a6÷a2=a4，故该选项错误；
D，(a2)3=a6，故该选项错误．
故选：B．
根据合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果为系数，字母和字母指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，掌握计算法则是关键．
6.【答案】D
【解析】解：由数轴得，−3∴|a|>|b|，a+b<0，|ab|>1，
故选：D．
观察数轴得到−3|b|，a+b<0，|ab|>1，从而得出结论．
本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：2x−3<1①5x+1≥4x②，
由①得，x<2，
由②得，x≥−1，
故不等式组的解集为：−1≤x<2，
故选：C．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的解集，先逐个求出解集，然后即可得到不等式组的解集，正确计算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程kx2+4x−4=0有实数根，
∴42−4×(−4)k≥0，k≠0，
解得：k≥−1且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义及根的判别式直接列式求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程的定义及根与根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵BE⊥AB，AE=8，AB=7，
∴BE= AE2−AB2= 82−72= 15，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=7，
∴S△ABE=12⋅AE⋅BO=12⋅AB⋅BE，
∴BO=7 158，
在Rt△BOC中，OC= BC2−OB2= 72−(7 158)2=498，
∴OA=OC=498，
∴OE=AE−AO=8−498=158，
∴EC=OC−OE=498−158=348=174，
故选：A．
先根据勾股定理求得BE的长，然后利用等面积法可求得BO的长，再根据勾股定理可求得结果．
本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，正确求得边长的结果是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°．
∵AN⊥DM，即∠AGD=90°，
∴∠GAM+∠GAD=90°=∠GAD+∠GDA，
∴∠ADG=∠BAN，
∴△DAG∽△ANB，故①正确；
在△ABN与△DAM中，
∠BAN=∠ADMAB=DA∠B=∠DAM，
∴△ABN≌△DAM(ASA)，
∴S△ADG=S四边形BMGN，故②正确；
设AM=BN=x，则BM=CN=4−x，
∴S△DMN=S正方形ABCD−S△ADM−S△MBN−S△DCN
=4×4−12×4x−12x(4−x)−12×4(4−x)
=16−2x−2x+12x2−8+2x
=12x2−2x+8，
∴12x2−2x+8=132，
解得x=3或x=1，
∴BN=3或BN=1．
∵AN2=AB2+BN2，
∴AN=5或AN= 17，
故③错误．
故选：A．
根据正方形的性质得到∠DAB=∠B=90°，∠ADG=∠BAN，即可证明△DAG∽△ANB，进而判断①；证明出△ABN≌△DAM(ASA)，即可判断②；设AM=BN=x，则BM=CN=4−x，然后由S△DMN=S正方形ABCD−S△ADM−S△MBN−S△DCN代数求出BN=3或BN=1，然后利用勾股定理求出AN=5或AN= 17，即可判断③．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质求解．
11.【答案】x(x−2)
【解析】解：原式=x(x−2)，
故答案为：x(x−2)
原式提取x即可得到结果．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】720°
【解析】解：由题意得：该正六边形的内角和为180°×(n−2)=180°×(6−2)=720°．
故答案为：720°．
根据多边形内角和可直接进行求解．
本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
13.【答案】27
【解析】解：∵(m−5)2+ n−11=0，
∴m−5=0，n−11=0，
∴m=5，n=11，
当m=5为腰长时，5+5<10，不能构成三角形，
当n=11为腰长时，5+11>11，可以构成三角形，此时周长为11+11+5=27，
故答案为：27．
根据偶次方和算术平方根的非负性，求出m、n的值，再根据三角形的三边关系确定腰长，即可得到答案．
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰长是解题关键．
14.【答案】(−3,−4)
【解析】解：∵直线OA：y=kx与反比例函数y=12x的图象交于点A(3,m)，B，
∴m=123=4，
∴4=3k，
解得：k=43，
∴y=43x，
联立反比例函数得：
43x=12x，
解得：x1=3，x2=−3，
∴y=43×(−3)=−4，
∴B(−3,−4)，
故答案为：(−3,−4)．
根据反比例函数先求出点A，代入正比例函数求出解析式，联立两个函数求解即可得到答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
15.【答案】32−π4
【解析】解：∵四边形OACE是矩形，
∴CE/​/AB，∠AOE=∠BOE=90°，
∴CDAD=DEBE，
∵C是线段DA的中点，
∴CDAD=DEBE=1，
∴DE=BE，
∴CE=12AB=1，
∵四边形OACE是矩形，OE=OA，
∴矩形OACE是正方形，
∴AC=AO=1，
∴AD=2，
∴S阴影=S△ABD−S△BOE−S扇形AOE
=12×2×2−12×1×1−90π×12360
=32−π4，
故答案为：32−π4．
根据S阴影=S△ABD−S△BOE−S扇形AOE求解即可．
本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例，中位线，扇形的面积等知识．找到阴影部分面积与已知图形之间的面积关系是关键．
16.【答案】解：(1)原式=1+4× 32+4−2 3
=1+2 3+4−2 3
=5；
(2)原式=(x+2x+2−xx+2)⋅(x+2)(x−2)x(x−2)
=2x+2⋅(x+2)(x−2)x(x−2)
=2x，
当x= 5时，
原式=2 5=2 55．
【解析】(1)根据a0=1，cs30°= 32及绝对值的性质求解即可得到答案；
(2)先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案．
本题主要考查实数的混合运算，分式的化简求值，锐角三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)以D为圆心画圆弧分别交AD，CD交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与D交AB于一点即为N点，如图，DN即为所求，
；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠CDM=∠N，
∵DN平分∠ADC，
∴∠ADM=∠CDM，
∴∠N=∠ADM，
∴AD=AN=12，
∴BN=AN−AB=6．
【解析】(1)以D为圆心画圆弧分别交AD，CD交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与D即可得到答案；
(2)根据平行四边形的性质及角平分线得到△ADN是等腰三角形即可得到答案．
本题考查作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握角平分线的作法．
18.【答案】解：如图，延长CD交EF于点G，如图所示：

由题意得DB=AC=FG=1m，CG⊥EF，DC=AB=38m，
∠EDG=60°，∠ECG=30°，
∵∠EDG是△EDC的一个外角，
∴∠DEC=∠EDG−∠ECG=30°，
∴∠DEC=∠ECD=30°，
∴ED=CD=38m，
在Rt△EGD中，EG=ED⋅sin60°=38× 32=19 3(m)，
∴EF=EG+FG=(19 3+1)m，
答：文阁塔EF的高度是(19 3+1)m．
【解析】先作辅助线，然后根据已知条件得到边长和角度，然后根据解直角三角形可得到结果．
本题考查了解直角三角形的应用，有关仰角俯角的问题，构造出来直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵该簪花每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，
∴设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件，
∴35k+b=9045k+b=70，
解得k=−2b=160，
∴设y与x之间的函数关系式为y=−2x+160；
(2)由题知：w=(x−30)(−2x+160)
=−2x2+220x−4800
=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，
∴x<55时，w随x的增大而增大，
又30≤x≤50，
∴当x=50时，w有最大值为−2×(−5)2+1250=1200(元)，
∴当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据“当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件”列式求解，即可解题．
(2)最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，根据利润=(售价−成本)×销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可．
本题考查本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】(1)解：PM=QN；
(2)证明：如图，连接AN．

由旋转的性质可知，∠AMN=60°，AM=MN，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠MAN=60°．
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠PAQ=∠MAN=60°，
∴∠PAQ−∠MAQ=∠MAN−∠MAQ，
即∠PAM=∠QAN．
在△APM和△AQN中，
AP=AQ∠PAM=∠QANAM=AN，
∴△APM≌△AQN(SAS)，
∴PM=QN．
【解析】(1)通过观察，测量，猜想等方式即可得到PM=QN；
(2)连接AN，先证明△AMN是等边三角形，进而证明△APM≌△AQN，问题得证．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
21.【答案】100 320
【解析】解：(1)本次抽取的人数为：30÷30%=100(人)，
B组人数为100−10−30−20=40(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
(2)1600×20100=320(人)，
估计“非常了解”的学生共有320名．
故答案为：320；
(3)画树状图如
共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种，
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为812=23．
(1)根据C组人数以及百分比计算即可解决问题；求出B组人数，画出条形图即可解决问题；
(2)用1600ד非常了解”所占的比例即可；
(3)先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
此题考查条形统计图和扇形统计图以及由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．会用列表法求概率是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：△ABC是⊙O的内接三角形，P是⊙O上的一点，连接AP交BC于点M，点N在AM上，满足∠ANB−∠BNP=∠ACB，NQ//AC交BC于点Q，BM=NQ，
∴∠ACB=∠BPN，∠ANB=∠BPN+∠PBN，
∴∠PBN=∠PNB，
∴PB=PN；
(2)证明：由(1)，得PB=PN，
∵NQ//AC，
∴∠CAP=∠PNQ，
∵∠CAP=∠PBM，
∴∠PNQ=∠PBM，
在△BPM和△NPQ中，
PB=PN∠PBM=∠PNQBM=NQ，
∴△BPM≌△NPQ(SAS)；
(3)解：∵△BPM≌△NPQ，
∴∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，PM=PQ，
∴∠BPQ=2α，∠PQM=12(180°−∠NPQ)=90°−α2，
∴∠PBQ=180°−∠BPQ−∠PQM=90°−3α2，
∵AP是⊙O的直径，
∴∠ABP=90°，
∴∠ABC=∠ABP−∠PBQ=3α2，
∴AC与AB所对的圆心角的度数之比为3：2，
∴AC与AB的长度之比为3：2，
∵AB的长为2，
∴AC的长为3．
【解析】(1)由∠ANB−∠BNP=∠ACB及∠ACB=∠BPN，∠ANB=∠BPN+∠PBN得∠PBN=∠PNB，进而得到PB=PN；
(2)由NQ//AC得∠CAP=∠PNQ，根据∠CAP=∠PBM得∠PNQ=∠PBM，再用角边角得△BPM≌△NPQ；
(3)由△BPM≌△NPQ得∠NPQ=∠BPM=∠ACB=α，然后用α表示出∠BPQ=2α，∠PQM=12(180°−∠NPQ)=90°−α2，根据三角形内角和可得∠PBQ=180°−∠BPQ−∠PQM=90°−3α2，进而求得∠ABC=∠ABP−∠PBQ=3α2，最后已知AC与AB所对的圆心角的度数之比为3：2，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
23.【答案】x=−1
【解析】解：(1)抛物线C1的对称轴为：x=−2a2a=−1．
故答案为：x=−1．
故答案为：x=−1．
(2)∵抛物线C1平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，
∴可设抛物线C2的解析式为：y=ax2
∵点A(−2,−2)有抛物线C2上，
∴−2=a⋅(−2)2，
解得：a=−12．
∴抛物线C2的解析式为：y=−12x2．
∵点B在抛物线C2上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为(t,−12t2)且(t<−2)，
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、N．
∵S△ABO=S△OBN−S△OAM−S梯形ABNM
=12×(−t)×(12t2)−12×2×2−12×(2+12t2)×(−2−t)
=−14t3−2+2+t+12t2+14t3
=12t2+t，
又S△ABO=4，
∴12t2+t=4，
解得：t+1=±3，
∴t=−4(t=2不合题意，舍去)，则−12t2=−12×(−4)2=−8，
∴B(−4,−8)．
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组：
y=−12x2y=kx−2，
整理得：x2+2kx−4=0，
∴x1+x2=−2k，x1x2=−4．
设过点M的直线解析式为y=mx+n，联立得方程组y=−12x2y=mx+n，
整理得x2+2mx+2n=0.①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴Δ=4m2−8n=0，
∴n=12m2．
∴由①式可得：x12+2mx1+2×12m2=0，
解得：m=−x1．
∴n=12x12．
∴过M点的直线l2的解析式为y=−x1x+12x12．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线l3的解析式为y=−x2x+12x22，
联立上两式可得方程组y=−x1x+12x12y=−x2x+12x22，
解得x=x1+x22y=−12x1x2，
∵x1+x2=−k，x1x2=−4．
∴P(−k2,2)
∴点P在定直线y=2上．(如图)
(1)根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
(2)根据抛物线C2的顶点坐标在原点上可设其解析式为y=ax2，然后将点A的坐标代入求得C2的解析式，于是可设B的坐标为(t,−12t2)且(t<−2)，过点A、B分别作x轴的垂线，利用S△ABO=S△OBN−S△OAM−S梯形ABNM=4可求得t的值，于是可求得点B的坐标．
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立抛物线与直线l1的方程可得出x1+x2=−k，x1x2=−4．
再利用直线l2、直线l3分别与抛物线相切可求得直线l2、直线l3的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上．
本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．