2023-2024学年贵州省遵义市八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省遵义市八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 a+1在实数范围内有意义，则a的取值范围是
( )
A. a≥−1B. a>−1C. a≠−1D. a≤−1
2.一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为( )
A. 10B. 13C. 7D. 14
3.下列二次根式中与 3是同类二次根式的是( )
A. 12B. 0.3C. 23D. 18
4.如图，点A、B分别在直线a、b上，且直线a/​/b，以点A为圆心，AB长为半径画弧交直线a于点C，连接BC，若∠2=70°，则∠1=( )
A. 50°B. 40°C. 60°D. 70°
5.下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. 12B. 36C. 30D. 12
6.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠C=∠A+∠BB. ∠A=35°，∠B=65°
C. (b+c)(b−c)=a2D. a=3，b=4，c=5
7.如图，有一个正方体盒子，棱长为1cm，一只蚂蚁要从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是( )
A. 5cmB. 3cmC. 3cmD. 2cm
8.若 a−1+b2−2b+1=0，则ab的值等于( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
9.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
10.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：|a−2|+ (a−4)2的结果为( )
A. 2B. −2C. 2a−6D. −2a+6
11.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是
( )
A. 北偏西30°B. 南偏西30°C. 南偏东60°D. 南偏西60°
12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是( )
A. S3+S4=4(S1+S2)
B. S1−S2=S3−S4
C. S4−S1=S3−S2
D. S4−3S1=S3−3S2
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 5n为整数，则正整数n的最小值为______．
14.在平面直角坐标系中，点M(5,−12)到原点的距离是______．
15.观察下列各式，第一个为 223=2 23，第二个为 338=3 38，第三个为 4415=4 415，…，类比上述式子，根据规律，第七个式子为______．
16.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=45°，AB=3 2，AD=7，CD=5，则AC= ______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)|−2|+ 9+12×3−8．
(2) 4−( 2−1)0−327+ 125．
18.(本小题10分)
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图①中画出分割线并在图②正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
19.(本小题10分)
先化简，再求值：(x+1x2−1+1)÷xx2−2x+1，其中x= 5+1．
20.(本小题10分)
如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，AD为多少米？
21.(本小题10分)
阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上2 3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
2 3+1=2×( 3−1)( 3+1)×( 3−1)=2×( 3−1)( 3)2−12= 3−1．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简2 5+ 3；
(2)已知12− 3的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
22.(本小题12分)
如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
23.(本小题12分)
小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”.为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= 2hg(不考虑风速的影响，g≈10m/s2， 5≈2.236)
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；(结果保留根号)
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能(焦)=10×物体质量(千克)×高度(米)，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
24.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图①，如果点B′和点A重合，求CE的长．
(2)如图②，如果点B′落在直角边AC的中点上，求BE的长．
25.(本小题12分)
我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是______命题．(填写“真命题、假命题”)
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是
“奇异三角形”，则a：b：c=______．
(3)如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是“奇异三角形”；
②当△ACE是直角三角形时，且AC= 3，求线段AB的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵a+1≥0，
∴a≥−1．
故选：A．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由勾股定理可得，
斜边长为： 62+82=10，
故选：A．
根据勾股定理计算即可求解．
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、原式=2 3；
B、原式= 3010；
C、原式= 63；
D、原式=3 2．
故选A．
根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和 3是同类二次根式．
此题考查了同类二次根式的概念，能够熟练运用二次根式的性质化简二次根式．
4.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，∠2=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°×2=40°．
又∵a/​/b，
∴∠1=∠BAC=40°．
故选：B．
在△ABC中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由直线a/​/b，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠1的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠BAC的度数是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、 12=2 3，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 36=6，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 30不能化简，是最简二次根式，符合题意；
D、 12= 22，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠C=∠A+∠B，∠C+∠A+∠B=180°，
∴∠C=90°，故选项A不符合题意；
∵∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=80°，故选项B符合题意；
∵(b+c)(b−c)=a2，
∴b2−c2=a2，
∴a2+c2=b2，故选项C不符合题意；
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，故选项D不符合题意；
故选：B．
根据各个选项中的说法，可以判断是否为直角三角形，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理、三角形内角和解答．
7.【答案】A
【解析】解：如图，将正方体展开，则线段AB即为最短的路线．
∵这个正方体的棱长为1cm，
∴AB= 12+22= 5(cm)，
∴蚂蚁爬行的最短路程是 5cm．
故选：A．
先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到B的最短路程．
本题考查平面展开的最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．
8.【答案】A
【解析】解：∵ a−1+b2−2b+1=0，
∴ a−1+(b−1)2=0，
∴a−1=0，b−1=0，
∴a=1，b=1，
∴ab=1．
故选：A．
先根据非负数的性质求出a，b的值，再进行计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质．
连接AC，根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
【解答】
解：如图，连AC，
则BC=AC= 12+22= 5，AB= 32+12= 10，
∵( 5)2+( 5)2=( 10)2，
即BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2即：−2>0，a−4<0，
故原式=a−2+4−a=2．
故选：A．
根据数轴先确定a−2、a−4的正负，然后再去绝对值、根号，合并同类项即可解决问题．
本题考查数轴及二次根式、绝对值的化简，关键是根据数轴得出a−2与a−4的正负情况．
11.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】
解：甲的路程：40×15=600(m)，
乙的路程：20×40=800(m)，
∵6002+8002=10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，
根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2，AC2=AD2+CD2，
∴AC2=S1+S4,AC2=S2+S3，
即S1+S4=S2+S3，
故选：B．
利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是AC2，即可得到答案．
本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边．
13.【答案】5
【解析】解：∵当n=5时， 5n=5是整数，
∴正整数n的最小值是5．
故答案为：5．
把 5n的被开方数配成一个最小的完全平方数，因5是质数，不需要进行分解质因数，容易看出n为5．
此题主要考查了二次根式的性质．把二次根式下的被开方数配成一个最小的完全平方数的形式是解题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：由勾股定理得，点M(5,−12)到原点的距离为 52+122=13，
故答案为：13．
利用勾股定理直接计算即可．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】8 863
【解析】解： 8863=8 863．
故答案为：8 863．
类比上述式子，根据规律 n+n(n−1)(n+1)=n n(n−1)(n+1)(n>1)，即可写出第七个式子即可．
此题主要考查了列代数式，二次根式的性质与化简，正确得出数字之间变化规律是解题关键．
16.【答案】2 29
【解析】解：作BE⊥AD于点E，则∠AEB=∠DEB=90°，
∵∠BAD=45°，AB=3 2，AD=7，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∴AE=BE，
∴AE2+BE2=2AE2=AB2=(3 2)2，
∴AE=BE=3，
∴DE=AD−AE=7−3=4，
∴BD= BE2+DE2= 32+42=5，
∵CD=5，∠BCD=45°，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴∠BDC=90°，
作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠F=90°，
∴∠F=∠DEB，
∵∠FDC=∠EBD=90°−∠BDE，
∴△FDC≌△EBD(AAS)，
∴DF=BE=3，CF=DE=4，
∴AF=AD+DF=7+3=10，
∴AC= AF2+CF2= 102+42=2 29，
故答案为：2 29．
作BE⊥AD于点E，则∠EBA=∠EAB=45°，所以AE=BE，由AB=3 2，根据勾股定理可求得AE=BE=3，则DE=AD−AE=4，所以BD= BE2+DE2=5，则CD=BD，所以∠BCD=∠CBD=45°，则∠BDC=90°，再证明△FDC≌△EBD，得DF=BE=3，CF=DE=4，则AF=10，所以AC= AF2+CF2=2 29，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2+3+12×(−2)
=2+3−1
=4；
(2)原式=2−1−3+15
=−95．
【解析】(1)直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
(2)直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：如图所示：

【解析】因为5个小正方形面积和为5，由5个小正方形拼成的一个大正方形面积为5，边长为 5，由 12+22= 5画分割线即可．
本题考查了作图的运用及设计作图．根据作图前后，图形的面积保持不变，根据矩形及正方形的面积计算公式，设计作图方法．
19.【答案】解：(x+1x2−1+1)÷xx2−2x+1
=x+1+x2−1x2−1⋅(x−1)2x
=x(1+x)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x
=x−1，
当x= 5+1时，原式= 5+1−1= 5．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB−BE=2.5−1.6=0.9(米)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD= AE2+DE2= 0.92+1.22=1.5(米)，
答：AD为1.5米．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
21.【答案】解：(1)2 5+ 3
=2( 5− 3)( 5+ 3)( 5− 3)
=2( 5− 3)5−3
= 5− 3；
(2)∵12− 3=2+ 3(2− 3)(2+ 3)=2+ 34−3=2+ 3，
又∵1< 3<2，
∴3<2+ 3<4，
∴12− 3的整数部分为a=3，小数部分为b=2+ 3−3= 3−1，
则a2+b2=32+( 3−1)2=9+3+1−2 3=13−2 3．
【解析】(1)仿照题意进行分母有理化即可；
(2)将12− 3进行分母有理化为2+ 3，进而可得12− 3的整数部分为a=3，小数部分为b=2+ 3−3= 3−1，代入即可求解．
本题考查了分母有理化及无理数的估值，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．
22.【答案】解：∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36．
故四边形ABCD的面积是36．
【解析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵小明家住20层，每层的高度近似为3米，
∴h=20×3=60(米)，
∴t= 2hg= 2×6010=2 3(秒)，
∴该物品落地的时间为2 3秒；
(2)该玩具最低的下落高度为h=6410×0.1=64(米)，
∴t= 2hg= 2×6410=8 55≈8×2.2365=3.5776(秒)．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【解析】(1)根据题意可先求得h=60m，根据t= 2hg代入计算即可求解；
(2)由题意可知“高度(米)=高空抛物动能(焦)10×物体质量(千克)”，以此求出该玩具最低的下落高度，再由t= 2hg代入求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
24.【答案】解：(1)如图(1)，设CE=x，则BE=8−x；
由题意得：AE=BE=8−x
由勾股定理得：x2+62=(8−x)2，
解得：x=74，
即CE的长为：74．
(2)如图(2)，
∵点B′落在AC的中点，
∴CB′=12AC=3；
设CE=x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2+32=(8−x)2
解得：x=5516．
即CE的长为：5516，
∴BE= CB′2+CE2=7316．
【解析】(1)如图(1)，设CE=x，则BE=8−x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．
(2)如图(2)，首先求出CB′=3；类比(1)中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
25.【答案】真 1： 2： 3
【解析】解：(1)令等边三角形三边的长度为a，
则a2+a2=2a2，符合奇异三角形的概念，
∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
(2)∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，
又Rt△ABC是奇异三角形，
∴2a2=b2+c2，②
将①代入②得：a2=2b2，即a= 2b(不合题意，舍去)，
∴2b2=a2+c2，③
将①代入③得：b2=2a2，即b= 2a，
将b= 2a代入①得：c2=3a2，即c= 3a，
则a：b：c=1： 2： 3．
故答案为：1： 2： 3；
(3)①∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A、C、B、D共圆，记作⊙O，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②设AD=b，BC=a，
∴AE=BD=AD=b，CE=CB=a，
由①得AC2+CE2=2AE2，即3+a2=2b2①，
∵△ACE为直角三角形，
∴∠AEC=90°或∠CAE=90°，
1°，当∠AEC=90°时，AE2+CE2=AC2，即b2+a2=3 ②，
由①②，得：3+3−b2=2b2，
∴AB= 2b2=2；
2°，当∠CAE=90°时，AC2+AE2=CE2，即3+b2=a2③，
由①③，得：3+3+b2=2b2，
∴b2=6，
∴AB= 2b2=2 3；
综上，AB=2或2 3．
(1)令等边三角形三边的长度为a，根据等边三角形的性质及奇异三角形的概念求解即可得；
(2)由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2=a2+b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2=b2+c2，记作②，或2b2=a2+c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．
(3)①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②设AD=b，BC=a，知AE=BD=AD=b，CE=CB=a，结合①得3+a2=2b2①，根据△ACE为直角三角形，可分∠AEC=90°或∠CAE=90°两种情况，根据勾股定理可分别得出关于a、b的另一个方程，结合①式求解可得．
此题是四边形的综合问题，考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．