上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷A

这是一份上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷A，共7页。

时间:120分钟 满分:150分
注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.
一、填空题（本大题共有12小题,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.设随机变量X服从二项分布B9,13,则DX= .
2.8位选手参加射击比赛,最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46,这组数据的第75百分位数是 .参考表格:
3.在一个2×2列联表中,通过数据计算χ2=8.325,则有 的把握认为这两个分类变量有关.
4.曲线fx=x+lnx在x=1处的切线方程为 .
5.某同学在一次考试中,8道单选题中有6道有思路,2道没思路,有思路的题有90%的可能性能答对,没思路的题有25%的可能性答对,则他在8道题中随意选择一道题,答对的概率是 .
6.“守得住经典,当得了网红”,这是时下人们对国货最高的评价,网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势,使得各大国货品牌都受到高度关注,销售额迅速增长,已知某国货品牌2023年8-12月在D网络平台的月销售额y(单位:百万元)与月份x具有线性相关关系,并根据这5个月的月销售额,求得回归方程为y=4.2x+3,则该国货品牌2023年8-12月在D网络平台的总销售额为 百万元.
7.今天星期三,再过1天是星期四,那么再过22024天是星期 .
8.已知2+3x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1−2a2+3a3−4a4+5a5=.(用数字作答)
9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后,反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0,如图从C的一个焦点F射出的光线,经过P,Q两点反射后,分别经过点M和N.若PM+PQ=PM−PQ,cs∠PQN=−1213,则C的离心率为 .
10.函数fx=13x+1,x≤0lnx,x>0,若方程fx−ax=0恰有3个根,则实数a的取值范围为11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合S=a2,a3,⋯,a2025,集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为 .
12.现有6根绳子,共有12个绳头,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为 .
二、选择题（本大题共有4小题,第13-14题每远4分,第15-16题每题5分,满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置,将正确选项用2 B铅笔涂黑.
13.要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是()
A.某城市居民3月份人均网上购物的次数
B.某品牌新能源汽车最大续航里程
C.检测一批灯泡的使用寿命
D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
14.对两个变量的三组数据进行统计,得到以下敬点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是()
A.r1>r2>r3
B.r2>r3>r1
C.r1>r3>r2
D.r3>r2>r1
15.江先生每天9点上班,上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行,私家车路程近一些,但路上经常拥堵,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N38,72,从停车场步行到单位要6分钟;江先生从家到地铁站需要步行5分钟,乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需间(单位:分钟)服从正态分布N44,22,下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发,下列说法中合理的是()
参考数据:若Z∼Nμ,σ2,则Pμ−σPμ−3σA.若8:00出门,则开私家车不会迟到
B.若8:02出门,则开私家车上班不迟到的可能性更大
C.若8:06出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D.若8:12出门,则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
16.Sn是数列an前n项和,a1=3,an+1=an−44n2−1,给出以下两个命题:
命题p:a1+a1a2+⋯+a1a2⋯an=n2+2n;
命题q:对任意正整数n,不等式Sn>n+ln2n+1恒成立.
下列说法正确的是()
A.命题p、q都是真命题
B.命题p为真命题,命题q为假命题
C.命题p为假命题,命题q为真命题
D.命题p、q都是假命题
三、解答题(本大题共5题,满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
如图所示,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为线段DD1,BD的中点.
(1)求异面直线EF与BC所成的角;
(2)求三棱锥C−B1D1F的体积.
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数fx=ax2−6ln1+x,a为常数.
(1)若y=fx在x=1处有极值,求a的值并判断x=1是极大值点还是极小值点;
(2)若y=fx在2,3上是增函数,求实数a的取值范围.
19.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小題满分8分)
本市某区对全区高中生的身高(单位:厘米)进行统计,得到如下的频率分布直方图.
（1）若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布及期望;
(2)现从身高在区间[170,190)的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[170,180)中样本的均值为176厘米,方差为10;身高在区间[180,190)中样本的均值为184厘米,方差为16,试求这160人身高的方差.
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知椭圆C:x2t+y2=1t>1的左、右焦点分别为F1、F2,直线l:y=kx+mm≠0与椭圆C交于M、N两点(M点在N点的上方),与y轴交于点E.
(1)当t=3时,点A为椭圆C上除顶点外任一点,求△AF1F2的周长;
(2)当t=4且直线l过点D−1,0时,设EM=λDM,EN=μDN,求证:λ+μ为定值,并求出该值;
(3)若椭圆C的离心率为223,当k为何值时,OM2+ON2恒为定值;并求此时△MON面积的最大值.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
对于有穷数列a1,a2,⋯,amm≥3,若存在等差数列bn,使得b1≤a1(1)证明:数列1,2,4是“弱等差数列”;
(2)设函数fx=xsinx,fx在0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,⋯,am,证明:a1,a2,⋯,am是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”an,且an是等比数列.Pχ2≥x0
0.05
0.025
0.010
0.001
x0
3.841
5.024
6.635
10.828