江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷（Word附解析）

这是一份江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷（Word附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，共4页时间120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1.已知全集，，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，则的虚部为（ ）
A.B.C.D.2
3.双曲线：的左，右顶点分别为，，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A.3B.C.D.
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸
5.质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A.B.C.D.
6.在中，角，，所对应的边为，，，，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A.4B.C.3D.
7.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A.1B.3C.5D.7
8.已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A.有且只有一个极值点B.在上单调递增
C.存在实数，使得D.有最小值
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B.两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则
C.已知随机变量服从正态分布，若，则
D.已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则
10.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.B.函数的图象关于点对称
C.D.
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
图1 图2 图3
A.
B.若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C.点到直线的距离是
D.直线与平面所成角正弦值的最大值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，且，则______.
13.设数列的前项和为，，，，则______.
14.已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）的内角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
16.（15分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中.
18.（17分）设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.
19.（17分）“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.
（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；
（2）已知，，，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：
（3）求证：.
鹰潭市2024届高三第二次模拟考试
数学参考答案
一、单选题：
1–4BDBC 5–8AACC
6.【详解】设的外心为，
则
当与同向时取等号.
7.【详解】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：
，
因为是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，
由可得，末尾数字为5.
8.【详解】由得，令，
则函数可以看作为函数与函数的复合函数，
因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，
由得，列表如下：
由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），所以，在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.
二、多选题：
9. BC 10. ABD 11. BD
10.【详解】对于选项A，因为为偶函数，可得：，
即，∴，即，选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且
，则的图象关于点对称，选项B正确；
对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，可得：，即，得，
所以，即，
则，可知的周期为4，
选项C错误；
对于选项D，因为为奇函数，将代入，得，
得，因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，又的周期为4，可得
（）.选项C中有等式，即，
则有（）成立，∴选项D正确；
11.【详解】对于A项，因为
，
所以，故A项错误；
对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
设点，使，，
则，故，则
，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确；
对于C项，因，，，则，，
故得：，，
则点到直线的距离为：，故C项错误；
对于D项，取平面的法向量，则，
由且
知，D项正确.
三、填空题：
12.【答案】
13.【答案】（）
14.【答案】
14.【详解】设，：且，
即：，
直线恒过定点，设，，联立
得，∴，，
即
∴
四、解答题：
15.【答案】（1）证明见解析，（2）
【详解】（1）由知，
即，∴
∴，即，得证.
（2）由（1）知，
∴
∴
当且仅当时，取最小值
16.【答案】（1）证明见解析，（2）平面与平面的夹角的余弦值为
【详解】（1）取，的中点为，，连接，，，
由于侧面为矩形，所以，∵，∴，
由于底面为等边三角形，所以，，，平面，
所以平面，
由于，，故四边形为平行四边形，
故平面，故，
又是中点，所以，由于，，是中点，
所以，，
又且，所以，
由于，，
故为的平面角，
由于，所以，
故平面平面；
（2）由于，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
由于平面的法向量为，
故
故平面与平面的夹角的余弦值为.
17.【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关，
（2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.
【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
计算可得.
依据的独立性检验，有99.9%的把握认为试验的结果与材料有关.
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元.
易知的可能取值为0，0.2，0.4，0.6，0.8
，，
，，
则的分布列为
修复费用的期望
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.
18.解：（1）由题意知：，
即，，
所以椭圆的方程为
（2）方法一：（ⅰ）易知，，，，
设直线的方程为，由直线过知，
联立方程，
得，
变形得：，
即.
（ⅱ）设直线，的倾斜角分别为，，则，，
，，，
在中，
在中，
所以
由知，即，故
（2）方法二：（ⅰ）易知，，，，
设，，直线的方程为，
则……（*）
联立方程，得，
∴，……（1）
将（1）式代入（*）得：
（ⅱ）由（ⅰ）知，
：即……（2）
：即……（3）
联立（2），（3）得即
∴
即为的中点，故
19.【答案】（1）证明见解析，，或，（2）证明见解析，（3）证明见解析
【详解】（1）证明：当时，，当时，，
当时，我们需证，
设（，），注意到，，令得，即，
令，则，所以单调递增.
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即恒成立，.不等式对，成立，得证
不等式取等号的条件是，或
（2）当时，原不等式即，显然成立
当时，构造数列：
，
则，
若（），由上式易得，即；
若（），则，
所以，
故，即此时也成立.
所以当时，
由于，所以（），
故原不等式成立.
（3）证明：要证，
只需证
由（2）知
又
∴，得证.材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
－
0
＋
材料
材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8