专题01 五大类解三角形题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生及教师版）

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【题型1 三角形周长定值及最值】
【题型2 三角形涉及长度最值问题】
【题型3 三角形涉及中线长问题】
【题型4 三角形涉及角平分线问题】
【题型5 三角形面积最值问题】
三角形周长定值及最值
：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
最值步骤如下：
第一步：先表示出周长
第二步：利用正弦定理将边化为角
第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值
已知的内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的周长．
解：（Ⅰ）由已知得，
，，
∵，∴，，，∴，∴．
（Ⅱ）第一步：求两边乘积
又
第二步：利用余弦定理求出两边之和
∵，∴，∴，∴为等边三角形．故三角形的周长为．
在中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
解：（1）求角
根据，可得
所以.又因为，所以.
（2）第一步：求三角各自的大小
，，所以，，
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
因为，所以，，则的周长为.
在中,角的对边分别为.
(1)求;
(2)若,且,求的周长.
解：⑴因为，所以.又，解得.又，为锐角，所以.
⑵第一步：求两边乘积
因为，又，所以或者，
第二步：利用余弦定理求出两边之和
，即，所以周长为.
在中，，且
（1）求；
（2）若，求的周长.
解：（1）在中，则，，，，，，
，由正弦定理得，
，.
（2）第一步：求两边乘积
由（1）得，，，，，
，
第二步：利用余弦定理求出两边之和
在中，由余弦定理得，，
又，，解得（负值舍去），故.
1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1），
由正弦定理得，
整理得．
由余弦定理得．
，．
，，，
，均小于，
是锐角三角形．
（2），，
又，，
在中，由正弦定理得，
即，，，
的周长为．
2．的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，求的周长最小值．
【答案】(1)(2)9
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理知，
且，所以．
（2）由（1）可知：，整理得，
且，当且仅当时，等号成立，
则，即，可得，
所以的周长最小值.
3．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)已知分别为中角的对边，且满足，求的周长的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
因为最小正周期为，所以，解得，
所以，所以．
（2）由得，
由余弦定理有，
即（当且仅当时取“=”），
故，即为等边三角形时，周长有最大值
4．的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得.
又，所以.
因为，所以；
（2）的面积，则.
由余弦定理：，
得，
所以，
故的周长为.
5．在锐角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周长l的范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，
，
所以，
所以，
因为，所以， ，所以.
（2），所以,
所以，，
所以
,
因为是锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，所以，
所以.
6．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又，，所以，
根据正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理可得，即．
因为，所以，
所以，当且仅当时，取到最值
又，所以，即周长l的取值范围为．
解法二：由正弦定理知，，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以,，
所以,，所以,，
故的周长的取值范围为,．
7．设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，
所以，由正弦定理，得，即．
（2）由可得：，故，于是，
由正弦定理及余弦定理可得：
，
解得：(舍)或者，故，
因为，所以当时，周长最小，此时，
所以，所以的面积为．
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，可得，
即，即，所以，
又因为，所以.
（2）解：由正弦定理，可得，
所以三角形的周长，
因为，可得，
所以
，
因为，可得，所以，
所以，故的周长的取值范围为.
三角形涉及长度最值问题
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
在中，角所对的边分别为.若.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
破解：
（1）第一步：因为，整理得
，
所以，
第二步：由正弦定理得：，
因为，所以，所以.
（2）第一步：因为为锐角三角形，，所以，且，
所以，
第二步：解法
，
因为，所以，
第三步：所以，
即的取值范围是.
第一步：解法
，
因为，所以，得，
第二步：所以，
即的取值范围是.
在中，已知，且.
(1)试确定的形状；
(2)求的值．
破解：（1）第一步：在中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，，
代入，得，所以①，
第二步：因为，所以，
所以，
由正弦定理，得，所以②，
把②代入①得，，即，
所以是直角三角形；
（2）第一步：由（1）知，即，所以，
第二步：又，所以，所以.
已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
破解：（1）第一步：.
由，即.
第二步：为锐角三角形，，
..
（2）第一步：由正弦定理，.
，.
第二步：，.
第三步：是锐角三角形，
，且.，，
，.
..
综上，的取值范围为.
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为
(1)求角A的大小；
(2)当时，求的取值范围.
破解：（1）第一步：由正弦定理得：，
所以，即，
第二步：因为，所以，又，所以
（2）第一步：，，由正弦定理，
所以，
第二步：因为为锐角三角形，所以，则，
所以，所以
已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
破解：（1）第一步：在中，由余弦定理得，，
所以，所以，
第二步：又因为为锐角三角形，所以，所以.
（2）第一步：在中，由正弦定理得，，
所以
，
第二步：因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
所以的取值范围为.
1．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，
则；
（2）由正弦定理，
则，
所以，
，
因为在锐角三角形中，得，
所以，
则，
所以的取值范围为.
2．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因，由正弦定理，，
由余弦定理，，又代入化简得，因，则
（2）因是的中线，故,两边平方可得：，
即，由（1）知，则，
又因，即，当且仅当时等号成立，
此时，即.
故当时，的最小值为.
3．在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，展开可得，
.
（2）由正弦定理，
则
，其中，
是锐角三角形，，.
，，
显然，当时，，
.
4．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为与垂直，
所以，
即，
即，
即，
即，又，所以，
所以，即；
（2）由正弦定理得
，
根据三角形是锐角三角形得，
解得，则，所以，
所以，则，
则的取值范围为.
5．记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，则，
因为,
所以.
所以.
因为.所以.所以，
所以.
6．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范围为.
7．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若为的中点，且，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由正弦定理及，
得，
又，
所以，
又，∴，∴，即，
又，∴.
（2）由为的中点，得，而，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．
(1)若，求的面积；
(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由及正弦定理，则．
当时，，，由余弦定理，，
从而，此时的面积．
（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，
解得．
由于C为的最大内角，故，
即，解得．
由于，则．
三角形涉及中线长问题
①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值）
如：在与同用求
②中线长常用方法
③已知，求的范围
∵为定值，故满足椭圆的第一定义
∴半短轴半长轴
中，，，，则边上的中线长_______.
解：法一：两次余弦定理
设，，，
由余弦定理得：，
所以，或（舍去），
在中，，
由余弦定理得：，
所以.
法二：一次余弦定理+一次中线长定理
设，，，
由余弦定理得：，
所以，或（舍去），
中线长定理
在中，，．边上的中线，则_____．
解：中线常用方法 设，
中，，
中，
，重点
，解得：，，
中，,,
.
中，，则边上中线的长为_____．
解：中线常用方法
由余弦定理可知：
,设，由余弦定理可知：
而重点
即解得，故边上中线的长为．
1．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因，由正弦定理，，
由余弦定理，，又代入化简得，因，则
（2）因是的中线，故,两边平方可得：，
即，由（1）知，则，
又因，即，当且仅当时等号成立，
此时，即.
故当时，的最小值为.
2．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
【答案】(1)(2).
【详解】（1）解：若选①：在中，因为，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
则，
又因为，故.
若选②：由，可得，所以，
因为，所以.
若选③：因为，
正弦定理得，
又因为，所以，
即，
因为，，所以，
又因为，可得；
综上所述：选择①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
3．在中，
(1)若，求的面积；
(2)求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，若，则，
又，所以，所以；
（2）因为，
由正弦定理得，
所以，所以，
又，所以，所以，
由余弦定理得，
因为，
则
，
因为，
所以，
因为，所以，
则，所以，
所以，所以，
即边上的中线的取值范围为．

4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)若，求边上的中线的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，即，
由正弦定理可得，
∵，∴，
又∵，
∴，∴．∴.
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)若，求中BC边中线AD长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
即，所以，
又，所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，所以，因为为中BC边的中线，
所以，
则
，
所以.

6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、．
①；②；③．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角；
(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【详解】（1）解：若选①，因为，即，
则，即，所以，，
因为，故；
若选②，原式等价于，即，
即，
因为、，则，所以，，则，故；
若选③，原式等价于，
即
所以，，即，即，
因为，故.
（2）解：因为，所以，，
因为为的中点，
则，
所以，，
则
，则，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，长的最小值为.
7．记的内角的对边分别为，面积为，已知.
(1)求的值；
(2)若边上的中线，求周长的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵面积为，，且，
得，，
由正弦定理得：，
，
，
，，.
（2）边上中线，，
，
得，，
，，
且，即，
，当且仅当时，“=”成立.
又，由余弦定理得
，，
，
设，
，
设，
，
在单调递减，
又，，，在单调递减，
则最小值为，
所以当时，的最小值为，
故周长最小值为.
8．已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.
(1)若为中线，且，求；
(2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）如下图所示，

在中，设，由余弦定理得
即，得，所以，
在中，由余弦定理得，
则，所以
（2）设，则，如下图所示，

在和中，由正弦定理得 ，
，得，
因为为锐角三角形，所以均为锐角，
所以，则，所以，
又因为，
所以， 所以的取值范围是
三角形涉及角平分线问题
张角定理
如图，在中，为边上一点，连接,设，
则一定有
证明过程：∵∴
同时除以得
在中，角所对的边分别为，，交于点D，且，则的最小值为________．
解：如图所示
,根据张角定理
故：，根据柯西不等式
故，当且仅当时等式成立
在中，角所对的边分别为，点在边上，，，，则的长为________．
解：
，
根据张角定理
故：
已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ .
解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）
，
，，
又，故即，
所以.又，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为
方法二：张角定理+基本不等式
又，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为
在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法）
如图：
因为
可得
即 ，所以
所以
当且仅当时取等号.故答案为18
方法二：张角定理+基本不等式
所以
当且仅当时取等号.故答案为18
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求证：；
(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：由余弦定理可得，
故，由正弦定理得．
所以在中，或．
若，又，故，因为，所以，故不满足题意，舍去，所以．
（2）在中，由正弦定理可得，即
所以
因为是锐角三角形，且，
所得， 所以．
所以线段BD长度的取值范围是．

2．如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.

(1)求的大小;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得,
所以,
则,
因为,所以.
（2）因为,所以,
在中,由正弦定理得,
在四边形中,,
所以,
则.
3．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
4．在中，内角、、的对边分别为、、，若.
(1)求角的大小；
(2)若，的平分线交于点，求线段长度的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，
所以：，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）解：由余弦定理得，即，
所以，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，
所以，解得，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，线段长度的最大值为.
5．已知中，内角所对的边分别为，且.
(1)若的平分线与边交于点，求的值；
(2)若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.
【答案】(1)(2).
【详解】（1）可得，
解得，
设，则，
由余弦定理得，
所以.
因为为的平分线，所以，
又，则.
（2）因为，由（1）得，
设，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，当时取等号，
所以，
所以，当时取等号，
所以的最小值为.
6．如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
又，则，
于是，
∵为角平分线，∴，∴，∴，
在中，根据余弦定理得，
∴．
（2）设，．在中，
由余弦定理得，
即有，即，
∴，当且仅当时，“＝”成立．
∴周长的最大值为．
7．中，角的对边分别为，的平分线交边于，过作，垂足为点.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的长.
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
由正弦定理可得：，即，
由余弦定理可得：，
.
（2），是的角平分线，

，
，
在中，.
8．已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.
(1)求角C的大小；
(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，则，
又，所以；
选择条件②，，
于是，
由正弦定理得，
因为，则，即，
因为，因此，即，
又，所以；
选择条件③，，则，
所以，则，又，
即有，则，所以；
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点I，即有，于是，

设，则，且，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以的周长为
，
由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为.
三角形面积最值问题
：面积最值问题
技巧：正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
秒杀方法：
在中，已知,
则：
其中 分别是的系数
三角形面积公式
①
②其中分别为内切圆半径及的周长
推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式
③（为外接圆的半径）
推导：将代入可得
将代入
可得
④
⑤海伦公式（其中）
推导：根据余弦定理的推论
令，整理得
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ）
解：第一步：观察角化边
在中，，
由正弦定理，可得，即，
又由余弦定理可得，可得，
因为，，
由余弦定理，可得，即，
即，解得，
第二步：面积公式
所以三角形的面积为.
在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（ ）
解：第一步：观察边化角
由及正弦定理得，
整理得．
∵，
∴ ，
∴，又，
∴，故．∴，
∴．由余弦定理得，
即，解得．
第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式）
∴．∵，∴．
已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）
解：第一步：利用面积公式

第二步：求
在中，，，，，解得，
第三步：求圆的面积
故，外接圆的面积为.
在中，角的对边分别为，已知,，则的面积最大值为_____________
解：则：
其中 分别是的系数
故
故：
中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
解：第一步：∵，
由正弦定理得，即；
由余弦定理得，结合，得；又，
由余弦定理可得，当且仅当等号成立，
第二步：∴，即面积的最大值为．
1．中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）由于，所以，
即，取等号，
故，
故
2．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)4；(2).
【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.
在中，，则，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）设，.
又，所以.
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为.
3．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知，
得，
在中，由正弦定理得，
即，
再由余弦定理得，
又，所以；
（2）由是角的平分线，
则，
所以，
又，
所以，即，
所以，解得，即，
当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的取值范围是.
4．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，
所以又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取等号
所以面积，
故面积S的最大值为．
5．已知中内角，，所对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．
【答案】(1)(2)．
【详解】（1）由题意，，
由正弦定理得，
因为三角形内角，，
则，即，
，，，
故，，
（2），
已知，，由（1）知，，
由题意得由，（如图）
已知，且由（1）知，
两边平方得，
则
，
解得，.故.
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最大值为．

6．在中，角，，的对边分别是，，，满足.
(1)求角；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又，因此.-
（2）∵ ，即 ，
∴ ≥
∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号
∴=≥
∴△ABC面积的最小值为
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）方法一：由，
根据正弦定理边化角得：，
即，所以，
因为，所以，又，所以，
又，所以；
方法二：由，
根据余弦定理：得，
即，
因为，所以，
所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，所以，
因为，
所以，化简得，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
8．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理，得，
化简整理得：，
由余弦定理，得，
因为，所以，即角的大小为.
（2）如图：

设，
在中，由正弦定理，得，
由（1）和可知，，，
所以，在中，同理可得，
因为，所以
，
因为，所以，
所以当，即时面积取得最小值为.