2024年江西省赣州市寻乌县中考一模数学试题（II卷）（原卷版+解析版）

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说明：1．本卷共有六大题，23小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)
1. －2022的相反数是（ ）
A. －2022B. 2022C. D. 土2022
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的概念求解即可；
【详解】解：-2022的相反数是2022，
故选B．
【点睛】本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．熟记相反数的概念是解决本题的关键．
2. 下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】A、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”和轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
4. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB=5，再根据旋转的性质可得=AC=4，=BC=3，从而求出=2，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得，
∴A’C’=AC=4，BC’=BC=3．
∴AC’=AB-BC’=5-3=2，∠A’C’B=∠C=90°，
∵∠A’C’B+∠A’C’A=180°，
∴∠A’C’A=90°，
∴ =
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
5. 已知抛物线与x轴的交点为，，则下列结论：①一元二次方程的两根为，；②此抛物线与y轴交于点C，轴交抛物线于点D，则；③点，点在此抛物线上，则．正确的个数有（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据题意将y1、y2表示出来，再讨论 a的正负可判断③．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+4ax＋c的对称轴为x＝＝﹣2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，当x＝1时，y1＝5a+c，当x＝－4时，y2＝c，
而当抛物线开口向上时，a＞0，5a+c＞c，即y1＞y2，
当抛物线开口向下时，a＜0，5a+c＜c，即y1＜y2，故③错误，不符合题意；
综上，正确的是①②，
故选：C．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结，过点A作AE⊥DP，垂足为E．设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实际情况求得自变量的取值范围．
【详解】解：∵S△APD=PD×AE=AD×AB，
∴xy=3×4
∴xy=12，y=，为反比例函数，
应从C，D里面进行选择．由于x最小应不＜CD，最大不超过BD，所以3≤x≤5．
故选：C．
【点睛】本题应利用△APD的面积的不同表示方法求得y与x的函数关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 以抗美援朝战争为背景的爱国题材影片《长津湖2》以约5775000000元的票房创造中国电影票房的新高，将5775000000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，且此原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：．
故答案为：．
8. 分解因式：=______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
9. 若为方程的两个实数根，则的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程解的定义可得，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵为方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 直线，两个直角三角板如图摆放，若，则_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
先由已知条件求出，再根据平行线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11. 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC

=
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 中，，，，P是上一点，是直角三角形，则的长为___________．
【答案】或或4
【解析】
【分析】分三种情况：当点P在上，时，如图1，直接利用正弦函数的定义即可求得的长；当点P在上，时，如图2，过B作于N，过C作于M，由平行四边形的性质及正弦函数的定义可求得，再由已知可证，由相似三角形的性质及勾股定理可求得的长；当点P在上，时，如图3，由正弦函数的定义及平行四边形的性质即可求得的长．
【详解】解：分三种情况：
①当点P在上，时，如图1，
，
∴；
②当点P在上，时，如图2，
过B作于N，过C作于M，
则四边形是矩形，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴，即，
解得：，
∴；
③当点P在上，时，如图3，
则，
，
，
∵，
；
综上所述，是直角三角形时，的长为或或4；
故答案为：或或4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义及勾股定理等知识，有一定的综合性，其中第二种情况涉及作辅助线，得到相似三角形是关键与难点，注意分类讨论．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）代入特殊角的三角函数值，利用实数的运算法则以及负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
14. 先化简，再求值：，请在范围内选择一个合适的整数a的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
要使原式有意义，，，
即，，，
故从的整数解中只能取2，
将代入到得，原式．
15. 对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：．例如．
（1）求的值；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式．理解题意是解题的关键．
（1）根据题中的新定义，得原式，计算求解即可；
（2）根据题中的新定义，得，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图.
(1)如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC.
(2)如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD.
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】(1)过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，则弦CD即为所求；
(2)连接AC、ON交于点P，连接BP并延长，交AN于D，则BD即为所求.
【详解】解：(1)如图：弦CD即为所求；
(2)如图：BD即为所求；
【点睛】本题考查了复杂作图、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．
17. 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【答案】(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．
【解析】
【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;
(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了倡导“节约用水，从我做起”，赣州市政府决定对该市直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）根据样本数据，估计该市直属机关300户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
（3）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．
【答案】（1）20，0.18
（2）该市直属机关300户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有198户
（3）恰好选到甲、丙两户的概率为
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）用300乘以月平均用水量不超过5吨的家庭的频率即可求解；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：抽查的户数为： (户)，
∴，，
故答案为：20，0.18；
【小问2详解】
解：(户)，
答：计该市直属机关300户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有198户；
【小问3详解】
解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为．
19. 如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
（1）求证：是切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题．
（1）连接，利用已知条件求证，即可求解；
（2）根据已知条件可求证，利用相似三角形线段比可求出半径，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
20. 为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为3：2．
（1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为时，请计算红外测温仪距离地面的高度（连接处均忽略不计）；
（2）在使用期间发现，将顶端测温仪倾斜与水平线夹角为，斜拉支架与铅垂线的夹角也是时，学生（按平均身高）走到距离点米的点处时，测温仪与学生的额头恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）2.4米；（2）1.6米
【解析】
【分析】（1）根据题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，然后列出方程求出x，再利用解直角三角形，即可求出答案；
（2）过点作于点，由解直角三角形，以及平行线分线段成比例即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，依题意得：
解得，，
∴一根斜拉支架的长为1.5米，竖直支架的长为1米．
在中，，
∴米．
则红外测温仪距离地面的高度为：（米）．
（2）如图，过点作于点，
由题意得．
在中，，，
则米，米，
∴（米）．
在中，，
∴，
∴米．
∴学生平均身高为：（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，注意数形结合的思想进行解题．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元/张，餐椅零售价70元/张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价500元/套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
【解析】
【分析】（1）设每张餐桌的价格为a元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，根据用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同可得等量关系列出方程；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元，根据题意将W用x表示出来，根据餐桌和餐椅的总数量不超过200张得出x的取值范围，从而可得结果.
【详解】解：（1）设每张餐桌的价格为a元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，
由题意得，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解 ，
此时a﹣110=40，
答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20⩽200，
解得：x⩽30
W=12x·（500−150−4×40）+12x·（270−150）+（5x+20−12x⋅4）·（70−40）=245x+600
∵k=245>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
此时a﹣110=40，
答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和表达式．
22. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．请补充完整：
（1）先填表，再在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像：
（2）结合函数的图像，说出两条不同类型的性质；
①________________________________；____________________________________．
②的图像是由的图像如何平移得到？
___________________________________________．
（3）当函数值时，x的取值范围是____________．
【答案】（1）5，1；（2）函数图像双曲线，关于点（-1，1）中心对称；函数图像在每一支曲线上，y随x增大而增大；（3）向左平移一个单位，再向上平移一个单位；（4）x<-1或x>1
【解析】
【分析】通过表格画出图象,根据对称性填写表格即可;
(2)①填写对称性和增减性即可;②根据口诀”左加右减上加下减”判断即可;
(3)根据图象写出范围即可.
【详解】（1）根据表格数据画出图象,并根据反比例规律填写表格.
如下表，如下图：
（2）根据反比例的图象性质填写:
①函数图像为双曲线，关于点（-1，1）中心对称；函数图像在每一支曲线上，y随x增大而增大．
② 的图像是由的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到．
（3）由图象可以看出函数值＞﹣1,x的取值范围是x<-1或x>1．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质,关键在于通过表格获取有用信息．
六、（本大题共12分）
23. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点A，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设．
（1）如图①，当 时，与交于F点，此时点的坐标为 ，点F的坐标为 ；
（2）当时，矩形与重叠部分的图形为 ，当时，矩形与重叠部分的图形为 ；
A．三角形 B．四边形 C．五边形
（3）若矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H．与交于点N，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围；
②当时，直接写出S的取值范围．
【答案】（1）；
（2）B，C （3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意可推出是等腰直角三角形，据此即可求解；
（2）作，可得，即可求解；
（3）①作，根据即可求解；②时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，时，矩形与重叠部分为五边形，据此即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得：
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴点F的坐标为，点的坐标为，
故答案：；
【小问2详解】
解： 作，如图所示：
∵是等腰直角三角形，
∴
当时，与点重合，此时矩形与重叠部分的图形为三角形；
当时，矩形与重叠部分的图形为五边形；
故答案为：B，C
【小问3详解】
解：①由题意得：，
作，如图所示：
则
∴
∵
∴
∴均是等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
②时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，
∴；
时，矩形与重叠部分为五边形，
∴；
∴．
【点睛】本题综合考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识点，根据时间画出对应的几何图是解题关键．月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.4
b
0.2
0.14
x
…
-5
-4
-3
-2
0
1
2
3
…
…
2
3
-3
0
…
x
…
-5
-4
-3
-2
0
1
2
3
…
…
2
3
5
-3
-1
0
…