第18章 平行四边形同步练习 人教版八年级数学下册

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第18章 平行四边形一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝5cm，AC，BD交于点O，∠AOD＝2∠AOB＝120°，则BC＝（　　）A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm2．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　）A．AB＝AD B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（　　）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④4．下列说法中，正确的是（　　）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形5．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（　　）A． B． C．2 D．6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）A． B． C． D．7．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD＝；其中正确的结论个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（　　）A．+1 B． C． D．二．填空题9．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 　 　．（1）DC＝3OG； （2）OG＝BC； （3）△OGE是等边三角形； （4）S△AOE＝．10．在矩形ABCD中，已知两邻边AD＝12，AB＝5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF＝　 　．11．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是　 　．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠BGE大小会发生变化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，BG＝6GF；⑤S四边形BCDG＝．其中正确的结论有　 　（填序号）．13．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中，正确的是 　 　（填序号）．①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC：AB＝CD：BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形．14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 　 　．三．解答题15．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．（1）求证：BG＝CE；（2）求证：CE⊥BG；（3）求：∠AME的度数．16．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）在什么条件下，四边形AFDE是正方形？17．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．18．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM的值为 　 　时，四边形AMDN是矩形，请你把猜想出的AM值作为已知条件，说明四边形AMDN是矩形的理由．19．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论．20．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？21．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO．22．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE＝DF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若BE＝5，BD＝8，求菱形DEBF的面积．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD交AE于点G，CF交AE于点O．求证：四边形CGFE是菱形．26．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．27．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．课后作业1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）A．4 B．8 C． D．62．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB＝6，BC＝8，点P为AD边上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　 　．3．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线相交成四边形EFGH，求证：（1）EG＝HF．（2）EG＝BC﹣AB．4．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．（1）求证：△EBF≌△ABC；（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；（3）△ABC满足　 　时，四边形AEFD是正方形．5．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝45°，点E在对角线AC上运动（点E与点A、点C都不重合），连接BE，DE．（1）当点E在AC的中点时，求证：DE⊥AC．（2）如图②，连接DE并延长，若DE交线段AB于点F，在AB的延长线上取点G，使得BG＝AF，试证明四边形DFGC的面积是个定值．第18章 平行四边形一．选择题1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝2∠AOB＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5cm，∴AC＝2OA＝10（cm），∴BC＝＝＝5（cm），故选：C．2．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．3．【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，故②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故选：D．4．【解答】解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；故选：C．5．【解答】解：连接EC，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC．∵EO⊥AC，∴OE为线段AC的垂直平分线．∴EC＝AE．设DE＝x，则AE＝12﹣x．∴EC＝12﹣x，在Rt△ECD中，∵EC2＝DE2+DC2，∴（12﹣x）2＝x2+92．解得：x＝．∴DE＝．故选：A．6．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠EAC＝∠B＝60°，同理：△ADC是等边三角形∴∠OAD＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，∴∠FHC＝∠B，故①正确，②正确；∵∠OAD＝60°＝∠EAC≠∠HAC，故③△ADO≌△ACH不正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝1，∴△ABC的面积＝AB2＝，∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝，故④不正确；故选：B．8．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．二．填空题9．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴OG≠BC，故（2）错误；∵S△AOE＝a•a＝a2，SABCD＝3a•a＝3a2，∴S△AOE＝S矩形ABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．10．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD＝×OD×AG，S△AOP+S△POD＝×AO×PF+×DO×PE＝×DO×（PE+PF），∵S△AOD＝S△AOP+S△POD，∴PE+PF＝AG，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝13，∴，∴．故答案为：．11．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴对角线AC＝＝10，∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），∴8＜AP＜10，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN＝AP，∴4＜a＜5．故答案为：4＜a＜5．12．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项错误；③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴CN＝CM，∵CG＝CG，∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），∴∠DGC＝∠BGC，∴CG平分∠BGD；故本选项正确；④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项正确；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，∴∠BGC＝∠DGC＝60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，S四边形CMGN＝2S△CMG，∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××CG×CG＝CG2，故本选项错误；综上所述，正确的结论有①③④，共3个，故答案为①③④．13．【解答】解：∵BF是高，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ABF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2AF，∵AB＞BF，∴BF＜2AF，故①错误∵CD是高，∴∠CDA＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝30°，∵∠BFC＝90°，∴∠DMB＝∠FMC＝90°﹣30°＝60°，∴∠DMB＝2∠ACD，故②正确；∵∠AFB＝∠ADC＝90°，∠BAF＝∠CAD，∴△ACD∽△ABF，∴AC：AB＝CD：BF，故③正确；∵BF，CD交于点M，点M在AE上，∴AE⊥BC，∵AE是△ABC的中线，∴AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，故④正确，故答案为：②③④．14．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝4，∴∠D＝∠B＝60°，AB＝CD＝4，∵AD＝8，∴CM＝AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝4，在Rt△ACN中，∵AC＝4，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为．三．解答题15．【解答】（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE；（2）证明：设BG、CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，∴BG⊥CE；（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，∵△ABG≌△AEC，∴AP＝AQ，∴AM是角平分线，∴∠AMC＝45°，∴∠AME＝135°．16．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）答：当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形．理由如下：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：连接DE，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，由（1）得：△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB+∠PEC＝180°，∴∠PDC+∠PEC＝180°，∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，∴BC2+EC2＝2PE2．18．【解答】证明：（1）∵点E是AD边的中点，∴AE＝ED，∵AB∥CD，∴∠NDE＝∠MAE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE（ASA），∴ND＝AM，∵ND∥AM，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形．∵E是AD的中点，∴AE＝2，∵AE＝AM，∠EAM＝60°，∴△AME是等边三角形，∴AE＝EM，∴AE＝ED＝EM，∴∠AMD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，故当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．故答案为：2．19．【解答】证明：（1）∵AF∥DC，∴∠AFE＝∠DCE，又∵∠AEF＝∠DEC（对顶角相等），AE＝DE（E为AD的中点），∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC；（2）矩形．由（1），有AF＝DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形，又∵AD＝CF，∴AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．20．【解答】解：（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24﹣t，∴DP＝CQ，∴24﹣t＝3t，t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形；（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，∵AP＝t，CQ＝3t，BQ＝26﹣3t，∴AP＝BQ，∴26﹣3t＝t，t＝，即经过s时，四边形PQBA是矩形．21．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形；（2）∵四边形AEBO是菱形，∴AO＝BE，AO∥EB，∴∠COF＝∠EBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝OB＝OD，∴EB＝OC，在△COF和△EBF中，，∴△COF≌△EBF（AAS），∴OF＝BF，∵∠ADB＝30°，AO＝OD，∴∠ADB＝∠DAO＝30°，∴∠AOB＝∠ADB+∠DAO＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵OF＝BF，∴AF平分∠BAO．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵点O是对角线BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵DE＝DF，∴四边形DEBF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形DEBF是菱形，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵OB＝OD＝BD＝4，∴OE＝＝＝3，∴EF＝2OE＝6，∴菱形DEBF的面积＝BD×EF＝×8×6＝24．23．【解答】解：（1）证明：∵E是AD的中点∴AE＝DE∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝DB∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，D是BC的中点∴AD＝CD＝BC∴四边形ADCF是菱形；（2）解：法一、设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．法二、连接DF∵AF＝DB，AF∥DB∴四边形ABDF是平行四边形∴DF＝AB＝8∴S菱形ADCF＝AC•DF＝．法三、∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24．答：菱形ADCF的面积为24．24．【解答】EF⊥GH．证明：连接EG，GF，FH，EH，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点∴EG＝AB，EH＝CD，又∵AB＝DC，∴EG＝EH，∵EG∥AB，HF∥AB，∴EG∥HF，同理GF∥EH，∴四边形EGFH是菱形，EF，GH分别为对角线，∴EF⊥GH．25．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥EC．又∵EF⊥AB，AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC＝∠EAF，∠ACE＝∠AFE＝90°，在△AEG与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（AAS）；∴FE＝EC，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠CGE＝∠FEA．∵∠FEA＝∠CEA，∴∠CEA＝∠CGE，∴CE＝CG，∴CG＝EF，又∵CG∥EF，∴四边形CGFE是平行四边形，∵EC＝EF，∴四边形CGFE是菱形．26．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．27．【解答】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，∴∠MEF＝∠P同理可证：FM∥CD，FM＝CD．∴∠MFQ＝∠CQF，又∵AB＝CD，∴EM＝FM，∴∠MEF＝∠MFE，∴∠P＝∠CQF．课后作业1．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．2．【解答】解：连接OP，在直角△ABD中，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝10，∴AO＝OD＝5，∵△AOD的面积是 ×矩形ABCD的面积＝×8×6＝12即△ODP的面积+△AOP的面积＝12，∴AO•PE+OD•PF＝3，∴×5（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝．故答案为．3．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠EHG＝90°，同理∠HEF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝HF；（2）延长AF交BC于N，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB，AB＝CD，∵AE、CG、BE、DG分别平分∠BAD、∠DCB、∠ABC、∠CDA，∴∠BAE＝∠DCG，∠ABE＝∠CDG，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（ASA），∴AE＝CG，由（1）得：∠HEF＝∠AEB＝90°，∵BE平分∠ABN，∴AB＝BN，AE＝NE，∴NE＝CG，∵四边形EFGH是矩形，∴NE∥CG，∴四边形CGEN是平行四边形，∴EG＝CN，∴EG＝BC﹣BN＝BC﹣AB．4．【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△EBF和△ABC中，，∴△EBF≌△ABC（SAS）；（2）证明：∵△EBF≌△ABC，∴EF＝AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴AB＝AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∵∠BAC＝150°，∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形ADEF是正方形，故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°．5．【解答】（1）证明：如图①中∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∵AE＝EC，∴DE⊥AC（三线合一）．（2）证明：如图②中，作DH⊥AB于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CB＝CD＝6，CD∥AB，∵∠DAB＝45°，∴DH＝AH＝3，∴S菱形ABCD＝AB•DH＝18，∵AF＝BG，∴AB＝FG，∴CD＝FG，∵CD∥FG，∴四边形CDFG是平行四边形，∴S平行四边形CDFG＝S菱形ABCD＝18．