2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市克东一中学等学校高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市克东一中学等学校高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈R，x2>1−2x”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2<1−2xB. ∀x∈R，x2≤1−2x
C. ∃x∈R，x2≤1−2xD. ∃x∈R，x2<1−2x
2.如果一架飞机向西飞行400km，再向东飞行500km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么s−|a|=( )
A. 800kmB. 700kmC. 600kmD. 500km
3.已知向量a=(sinα,2)，b=(1,−csα)，若a⊥b，则tanα=( )
A. 12B. −2C. −12D. 2
4.函数f(x)=4sin2x−1的最小正周期是( )
A. πB. π2C. 3π2D. 2π
5.已知csα+ 3sinα=35，则cs(2α+π3)=( )
A. 4750B. −4750C. −4150D. 4150
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2 2,b=4,A=π6，则此三角形( )
A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定
7.函数f(x)=exe2x−1的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+14AB，|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. 3C. −32D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 若a=b，b=c，则a=c
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. (a⋅b)c=a(b⋅c)
D. 若非零向量a，b满足xa+yb=0(x,y∈R)，且a，b不共线，则x=y=0
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π,π))相邻的两个零点为π3，5π6，则( )
A. 函数f(x)的图象的一条对称轴是x=π6
B. 函数f(x)的图象的一条对称轴是x=π12
C. φ的值可能是π3
D. φ的值可能是5π6
11.如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列结论正确的是( )
A. BD−BF=AC
B. BD+BF=32BE
C. FC⋅FA=|FA|2
D. AC在AB上的投影向量为AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，则(a−b)⋅(a+2b)= ______．
13.已知sin(x+π6)=2 23，则cs(11π3+x)= ______．
14.已知a=(2,1)，b=(k,−2)，k∈R，a与b的夹角为θ.若θ为钝角，则k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b，若|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．
(1)求|a+2b|；
(2)当λ为何值时，向量λa−b与向量a+3b互相垂直？
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2ccsC+c2bcsB=ab2+ac2−a3．
(1)求A；
(2)若b+c=2，求a的最小值．
17.(本小题15分)
设f(x)=lga(2+x)+lga(4−x)(a>0，且a≠1)．
(1)若f(2)=3，求实数a的值及函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的值域．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3acsC=csinA．
(1)求角C的大小；
(2)已知c=2 3，若△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，P为△ABC内部(包含边界)的动点，且PA=1．
(1)求|AC+AB|；
(2)求PB⋅PC的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：原命题的否定为∃x∈R，x2≤1−2x．
故选：C．
对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：路程s=400+500=900(km)，
位移大小是|400−500|=100(km)，
故s−|a|=800(km)．
故选：A．
根据路程、位移的概念，分别计算出s，|a|，结果可得．
本题考查路程和位移的计算方法，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：向量a=(sinα,2)，b=(1,−csα)，a⊥b，
则a⋅b=sinα−2csα=0，
故tanα=sinαcsα=2csαcsα=2．
故选：D．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：依题意，f(x)=4sin2x−1=−2cs2x+1，
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
故选：A．
利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的周期公式计算作答．
本题主要考查二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为csα+ 3sinα=35，
所以2sin(α+π6)=35，即sin(α+π6)=310，
则cs(2α+π3)=1−2sin2(α+π6)=1−2×9100=4150．
故选：D．
先利用辅助角公式进行化简求出sin(α+π6)=310，然后结合二倍角公式可求．
本题主要考查了辅助角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由a=2 2,b=4,A=π6，
结合正弦定理可得2 2sinπ6=4sinB，
可得sinB=4×122 2= 22<1，
又2 2<4，即有A而A为锐角，所以B有两解，
故三角形有两解．
故选：C．
由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得结论．
本题考查三角形的正弦定理和应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查数形结合的思想，属于基础题．
先利用奇函数图象关于原点对称排除选项，再取特殊值判断即可．
【解答】
解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(‐x)=e‐xe‐2x−1=e‐x·e2x1−e2x=ex1−e2x=‐f(x)，∴f(x)是奇函数，
图象关于原点对称，排除A，B选项，由于f(1)=ee2−1>0，排除C选项，
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：因为AD=3DB，
所以AP=mAC+14AB=mAC+14⋅43AD=mAC+13AD，
因为C，P，D三点共线，所以m+13=1，即m=23，所以AP=23AC+13AD，
又|AC|=3，|AB|=4，∠BAC=π3，
所以△ACD是边长为3的等边三角形，
所以AP⋅CD=(23AC+13AD)⋅(AD−AC)=−23AC2+13AC⋅AD+13AD2=−23⋅32+13⋅3⋅3⋅csπ3+13⋅32=−32．
故选：C．
利用C，P，D三点共线，求得m=23，再结合平面向量的线性运算与数量积的运算法则，展开计算，即可．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的数量积，平面向量的基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对A选项，根据向量相等的概念，易知A选项正确；
对B选项，当b=0时，a//b且b/​/c，但a与c不一定共线，∴B选项错误；
对C选项，∵(a⋅b)c表示与c共线的向量，a(b⋅c)表示与a共线的向量，
∴(a⋅b)c=a(b⋅c)不一定成立，∴C选项错误；
对D选项，根据平面向量基本定理，可知D选项正确．
故选：AD．
根据相等向量的概念，向量共线的概念，向量数乘与数量积的概念，平面向量基本定理，即可分别求解．
本题考查相等向量的概念，向量共线的概念，向量数乘与数量积的概念，平面向量基本定理，属基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π,π))相邻的两个零点为5π6，
则T2=5π6−π3=π2，解得T=π，
故ω=2πT=2，
x=12(π3+5π6)=7π12，
则x=7π12为f(x)的一条对称轴，
所以f(x)的对称轴为x=7π12+k⋅π2，k∈Z，故A错误，B正确；
π3是函数f(x)的零点，
则2π3+φ=kπ,k∈Z，
φ=kπ−2π3，k∈Z，故C正确，D错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合三角函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，设正六边形ABCDEF的边长为a，
依次分析选项：
对于A，BD−BF=BC+CD−BA−AF=BC−BA=AC，A正确；
对于B，BD+BF=BC+CD+BA+AF=32BE，B正确；
对于C，易得FC=2a，∠AFC=60°，则FC⋅FA=2a×a×cs60°=a2=|FA|2，C正确；
对于D，△ACB中，∠CAF=30°，则AC=2ABcs30°= 3a，
则AC在AB上的投影向量为|AC|cs30°AB|AB|=32AB，D错误．
故选：ABC．
根据题意，由向量的加减运算法则可得AB正确，由向量数量积的计算公式可得C正确，结合投影向量的计算公式分析可得D错误，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量、向量的加减运算，属于基础题．
12.【答案】−112
【解析】解：因为|a|=1,|b|=2，a⋅b=32，
所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=4，
所以(a−b)⋅(a+2b)=a2+a⋅b−2b2=1+32−8=−112．
故答案为：−112．
利用数量积的运算法则将(a−b)⋅(a+2b)展开，结合a2=|a|2=1,b2=|b|2=4求解即可．
本题考查向量的数量积，解题关键是熟练掌握数量积公式，属于中档题．
13.【答案】2 23
【解析】解：因为sin(x+π6)=2 23，
所以cs(11π3+x)=cs(5π3+x)=−cs(2π3+x)=−cs(π2+π6+x)=sin(π6+x)=2 23．
故答案为：2 23．
根据条件，利用诱导公式，即可求出结果．
本题考查了三角函数的诱导公式，是基础题．
14.【答案】(−∞,−4)∪(−4,1)
【解析】解：由已知得a⋅b=2k−2<02×(−2)≠k，
解得k<1且k≠−4．
故答案为：(−∞,−4)∪(−4,1)．
由题意，要使夹角为钝角，只需a⋅b<0且不反向即可．
本题考查平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
15.【答案】解：(1)由已知可得，a2=|a|2=1，b2=|b|2=4，a⋅b=|a||b|cs60°=1×2×12=1，
所以|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=1+4+4×4=21，
所以|a+2b|= 21；
(2)由已知可得(λa−b)⋅(a+3b)=0，
即λa2+(3λ−1)a⋅b−3b2=0，
所以有λ+3λ−1−12=0，解得λ=134．
【解析】(1)由已知可求得a2=1，b2=4，a⋅b=1，然后根据数量积的运算律即可求出|a+2b|2的值，开方即可得出答案；
(2)由已知可得(λa−b)⋅(a+3b)=0，展开代入已知，即可得出答案．
本题考查向量数量积的的运算，化归转化思想．属中档题．
16.【答案】解：(1)因为在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b2ccsC+c2bcsB=a(b2+c2−a2)=a⋅2bccsA，
所以bcsC+ccsB=2acsA，
即sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sinA=2sinAcsA⇒csA=12,A∈(0,π)⇒A=π3；
(2)由余弦定理有a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3⋅(b+c2)2=1，
当且仅当b=c=1时取等号，
故a的最小值为1．
【解析】(1)根据余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
(2)应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
本题考查了正余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=lga(2+x)+lga(4−x)(a>0,a≠1)，且f(2)=3，
所以f(2)=lga4+lga2=3lga2=3，解得a=2，
所以f(x)=lg2(2+x)+lg2(4−x)的定义域需满足2+x>04−x>0，
解得−2即函数f(x)的定义域为(−2,4)．
(2)f(x)=lga(2+x)+lga(4−x)=lga(−x2+2x+8)=lga(−(x−1)2+9)，
由−2①当a>1时，y=lgax在(0,+∞)上递增，函数f(x)的值域为(−∞,2lga3]，
②当0【解析】(1)根据f(2)=3求得a，根据函数定义域的求法求得f(x)的定义域．
(2)先求得f(x)的定义域，结合二次函数的知识求得f(x)的值域．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了函数的定义域和值域，属于基础题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中， 3acsC=csinA，
∴ 3sinAcsC=sinCsinA，
∵A，C∈(0,π)，
∴sinA≠0, 3csC=sinC，即tanC= 3，
则C=π3；
(2)由(1)得2R=csinC=2 3 32=4，
∴a+b=2RsinA+2RsinB
=4(sinA+sin(2π3−A))，=4(32sinA+ 32csA)
=4 3sin(A+π6)，
又△ABC为锐角三角形，
则0∴π6∴2 3∴a+b的取值范围是(2 3,4 3]．
【解析】(1)由 3acsC=csinA，利用正弦定理得到 3sinAcsC=sinCsinA，再根据A，C∈(0,π)求解，即可得出答案；
(2)由(1)求得2R=csinC=4，再由a+b=2RsinA+2RsinB=4 3sin(A+π6)，利用三角函数的性质求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得|AC|=4，|AB|=4，∠BAC=π3，
∴|AC+AB|2=|AC|2+2AC⋅AB+|AB|2=16+2×4×4×12+16=48，
∴|AC+AB|=4 3；
(2)以A为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设∠PAB=α，且α∈[0,π3]，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2 3)，P(csα,sinα)，
∴PC=(2−csα,2 3−sinα)，PB=(4−csα,−sinα)，
∴PB⋅PC=(2−csα)(4−csα)−sinα(2 3−sinα)=−6csα−2 3sinα+9=−4 3sin(α+π3)+9，
∵α∈[0,π3]，∴α+π3∈[π3,2π3]，
∴sin(α+π3)∈[ 32,1]，
∴PB⋅PC∈[9−4 3,3]，即PB⋅PC的取值范围为[9−4 3,3]．
【解析】(1)利用向量的线性运算，即可得出答案；
(2)以A为原点建立平面直角坐标系，∠PAB=α，且α∈[0,π3]，利用向量法，可得PC=(2−csα,2 3−sinα)，PB=(4−csα,−sinα)，用α表示出PB⋅PC的函数表达式，结合三角函数的性质，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质和两角和差的三角函数，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．