2024年云南省昆明市初中学业水平质量诊断性检测数学模拟试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数，若表示零上20度，则零下9度记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查运用正数和负数表示两个相反意义的量，零上和零下相对，如果零上为正，那么零下就为负即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键．
【详解】解：表示零上20度，则零下9度记作，
故选：C．
2. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C中的图形，都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意．
选项D中的图形，能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3. 2024 年 3 月 12 日是我国第 46 个植树节，昆明市绿化委员会办公室将紧紧围绕绿美城市、绿美社区、绿美乡镇、绿美村庄、绿美交通、绿美河湖、绿美校园、绿美园区、绿美景区等9个主题组织开展义务植树活动，今年全市计划实施全民义务植树11500 000株．数据11 500 000用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
用科学记数法表示较大数时的形式为，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1，据此求解即可．
【详解】，
故选：B．
4. 如图，已知，点A，B在直线上，点C在直线b上，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．先求出，进而利用两直线平行，内错角相等得出∠2即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可.
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，在中，D，E分别为，的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据已知得是三角形的中位线，从而可得到，进一步得出，从而可出．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
7. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据有意义的条件为，列不等式求解，即可解题．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
8. 如图是一个长方体的主视图和左视图，则这个长方体俯视图的面积为（ ）

A. 6B. 8C. 12D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识．主视图的矩形的两边长表示长方体的长为3，高为4；左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为2，高为4；那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽，那么求面积即可．
【详解】解：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是3cm，宽是2cm，
面积，
故选：A．
9. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°
【答案】D
【解析】
【分析】利用多边形外角求得该多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可解答．
【详解】解：∵多边形外角和为360°，一个外角是45°，
∴该正多边形的边数为360°÷45°=8，
多边形内角和为：（n-2）×180°=（8-2）×180°=1080°，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形内角和公式，熟练掌握相关公式是解题关键．
10. 按一定规律排列的多项式： 第n个多项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究，找出次数和系数变化的规律是解答本题的关键．根据所给多项式次数和系数总结出次数和系数变化的规律求解即可．
【详解】解：多项式的x项的次数依次为1，2，3，…，
第n个多项式的x项次数为n，
多项式的y项的系数依次为1，3，5，…，
第n个多项式的y项系数为，
第n个多项式为，
故选：B．
11. 如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解答此题的关键．
根据直径，可得的长度，再利用垂径定理求得的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且为的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
12. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可求解．
【详解】解：∵，
∴方程没有实数根．
故选：C．
13. 人世间的一切幸福都需要靠辛勤的劳动来创造，某校立足学校实际，为全面提升中学生劳动素质，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯穿家庭、学校、社会各方面．为了解七年级学生每周参加家庭劳动时间的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将劳动实践单位：小时分为如下组：；：；：；：；：进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
下列选项中正确的是( )
A. 本次调查的样本容量是45
B. 扇形统计图中A组对应的扇形圆心角度数为85.4°
C. 本次调查中，每周家庭劳动时间不少于2小时的学生有4人
D. 学校计划将每周家庭劳动时间不少于2小时的学生培养成劳动教育宣讲员，在全校进行宣讲，估计七年级650名学生中劳动教育宣讲员的人数约为39人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图的相关知识，根据频数、频率和总数之间的关系，求圆心角的度数和样本估计总体等知识即可判断各选项
【详解】解：A．本次调查的样本容量是1人，选项错误，不符合题意．
B．A组对应的扇形圆心角度数是：，选项错误，不符合题意．
C．每周家庭劳动时间不少于2小时的学生人，选项错误，不符合题意．
D．估计七年级650名学生中劳动教育宣讲员的人数约有，选项正确，符合题意．
故选：D．
14. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线与分别交于点E，F，连接，已知，，则的长为（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理即可得到结论．
【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵．
∴，
解得，
故选：A．
15. 黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计的值在（ ）
A. 0和之间B. 和1之间C. 1和之间D. 和2之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算在哪两个整数之间，再利用不等式基本性质即可得出的范围．本题主要考查了估算无理数的大小，掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】∵，，，
，
，
，
，
∴在和1之间．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
17. 在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．
【详解】∵函数图像经过点和，
，
，
故答案为：1．
18. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，为庆祝这个专属于数学的节日，某校开展主题为“浸润数学文化”的演讲比赛，七位评委为某位同学打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的统计量是 ________．（填“平均数”、“中位数”、“众数”、“方差”中的一项）
【答案】中位数
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义即可得．
【详解】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，
因此中位数不变，
故答案为：中位数．
19. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高是_______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】解：设底面半径为
则，
解得，
圆锥的高为．
故答案：15．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键．
21. 如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据证明即可证明结论成立．
【详解】证明：在与中，
，
∴，
∴．
22. 数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价．
【答案】甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元
【解析】
【分析】本题考查了不等式和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式求解．根据1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本列方程求解即可．
【详解】解：设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为元，
由题意等：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元．
23. 某同学用计算机从3，4，5，x这四个数中，随机同时抽取两个数，多次重复实验后的数据记录如下：
（1）随着实验次数的增加，出现“和为8”的频率将越来越稳定于它的概率附近．由此可以估计出现“和为8”的概率是 ；
（2）当时，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求“两数之和为8”的概率．
【答案】（1）0.33
（2）“和为8”的概率是
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；
（2）根据小球分别标有数字3、4、5、，用列表法或画树状图法说明当时，得出“和为8”概率，即可得出答案．
【小问1详解】
解：利用图表得出：
实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”概率是0.33．
故答案为：0.33；
【小问2详解】
解：当时，列表如下：
共有12种等可能的情况数，其中“和为8”的有2种，
则“和为8”的概率是．
24. 如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱形的面积是32
【解析】
【分析】（1）用一组对边平行且相等来得出四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可证明四边形是菱形；
（2）作于点G，则，证明是等边三角形可得，根据勾股定理求出，进而可求出菱形的面积.
【小问1详解】
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是边中线，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
作于点G，则，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形和平行四边形的判定是解题的关键．
25. 目前，云南省有130多种水果资源，约占全国的．第十六届亚洲果蔬产业博览会是中国领先的水果产业链贸易盛会，此次博览会，云南出产的苹果、蓝莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品种深受全国经销商们青睐．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售罄，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与之间的函数关系为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求y与x之间的函数关系式；
（2）设日销售额为W元，当时，求W的最大值．
【答案】（1）
（2）最大值为800
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用：
（1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式；
（2）依据题意，分当时和当时两种情形进行计算可以得解．
【小问1详解】
解：由题意，当时，；
当时，设函数解析式为，
又图象过，，
∴．
∴．
∴此时函数解析式为．
综上，当时，．
【小问2详解】
解：由题意，结合（1）当时，单价为，
此时销量，
∴日销售额为．
当时，销量，单价为，
∴日销售额为
．
又，
∴当时，W随x的增大而增大．
∴当时，当时，W取最大值，最大值为800．
综上，当时，当时，W取最大值，最大值为800元．
26. 设二次函数，（,是常数，）．
（1）当，时，求该二次函数图象与轴的交点坐标和对称轴；
（2）若，点在该二次函数图象上，试判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由．
【答案】（1）函数与轴交点坐标为，，函数的对称轴为；
（2）二次函数图象的开口方向向下，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴交点以及二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将，代入中，令解出即可得到答案；
（2）将点坐标代入到并且根据得到关于，的不等式，之后与联立，即可求得的范围，即可得到答案．
【小问1详解】
解：将，代入中，得
，
令即，解得或，
故函数与轴交点坐标为，，
函数的对称轴为；
【小问2详解】
解；点坐标代入到，
，
，
，
，
，
，
，
，
二次函数图象的开口方向向下．
27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长（用含m，n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用相似三角形的判定与性质得到，再利用（2）的结论和等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，最后利用算术平方根的意义解答即可．
【小问1详解】
连接，如图，
∵为的直径，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
由（2）知：为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（2）知：，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
实验总次数
10
50
100
500
1000
2000
5000
10000
20000
50000
“和为8”的次数
2
25
43
191
334
619
1608
3397
6622
16499
“和为8”的频率（结果保留两位小数）
0.20
0.50
0.43
0.38
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
3
4
5
6
3
4
5
6