2024年山东省菏泽市郓城县一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】展开图的底面是正三角形，侧面是三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱．
【详解】解：由底面是正三角形，侧面是三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱，
故选：A．
【点睛】考查棱柱的展开与折叠，理解棱柱的展开图的形状是前提．
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：1600000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴， ，
∴，
同理，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，n边形的内角和为．
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（ ）
A. a相反数大于2B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到．
由图得，且，可知，然后逐项判断即可．
【详解】解：由图得，且，
∴，D正确，不符合题意；
∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；
a的相反数大于2即是，故B不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 反比例函数的解析式是B. 一次函数的解析式为
C. 当时，最大值为1D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。
【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标为：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
6. 甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】四个选项中主要比较的是算术平均数与方差，求出甲、乙两人5次数学考试成绩的算术平均数与方差，比较即可解答．
【详解】解：（84+86+85+83+87）÷5＝85，（84+85+86+85+85）÷5＝85，，
S甲2 [（84﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2+（87﹣85）2]＝2，
S乙2 [（84﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝0．4．
S甲2＞S乙2．
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
7. 用配方法解方程时，正确的是（ ）
A. B. 原方程无解
C. D. 原方程无解
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴原方程无解．
故选：B．
8. 匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．
根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高．
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
9. 已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有整数解，且
∴
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故选：B
10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案.
【详解】解：由图象可知，当时，，
∴；
由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由二次根式在实数范围内有意义，可得2−x≥0，继而求得答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2−x≥0，
解得：x≤2．
故答案是：x≤2．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 已知，化简求值： ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体代入思想代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解题的关键．
13. 将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为___________．
【答案】
【解析】
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论．
【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据余弦的定义可得，代入AC=2即可求得
【详解】解：如图，
故答案：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，．
15. 如图，的内接四边形中，，则等于______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，正确掌握相关定理是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．接，若，则长是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质，边的数量关系，可得是含角的直角三角形，由此可求出的长，根据，可得是含角的直角三角形，由此可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵沿着折叠，
∴，，
∵沿着折叠得到，
∴，，
在中，，，
∴，则，
∴，
∴在中，，，
∴，
根据折痕是可得，，
∵，则，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的折叠，含特殊角的直角三角形的性质，勾股定理的综合运用，理解折叠后图形的性质，掌握含特殊角的直角三角形的性质，勾股定理的运用方法是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式组：
（1）原式先化简乘方，负整数指数幂，绝对值和特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共解即可
【详解】解：（1）
；
（2）解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集是：．
18. 某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元
（2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
【小问2详解】
解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
19. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题实践报告如下：
实践报告
（参考数据：，，，）
【答案】旗杆CD的高度约为12.4米
【解析】
【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
在中，由，计算出，再在中，由求出结论．
【详解】解：（1）∵在教学楼上的B处观测旗杆底端D的俯角是15°，
∴．
在中，∵，，米，
∴（米），
在中，∵，，
∴（米）．
∴旗杆CD的高度约为12.4米．
20. 举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为，，，四组，绘制了如下不完整的统计图表：
学生成绩频数分布直方图

学生成绩扇形统计图

根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的________，________；
（2）学生成绩数据的中位数落在________内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是________度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
【答案】（1）40，80
（2），72
（3）见解析 （4）1050
【解析】
【分析】（1）由题意知，共调查（人），根据，计算可得值，根据，计算求解即可；
（2）根据中位数为第100，101位的数的平均数，进行判断即可，根据，计算求解即可；
（3）补全统计图即可；
（4）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，共调查（人），
∴（人），
∴（人），
故答案为：40，80；
【小问2详解】
解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数，
∵，，
∴中位数落在组内，
∴，
故答案为：，72；
【小问3详解】
解：补全条形统计图如下：
【小问4详解】
解：∵（人），
∴估计成绩高于90分的学生人数为1050人．
【点睛】本题考查了条形统计图，频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息．
21. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，过点C作轴，垂足为D，且．
（1）求k的值；
（2）过点作y轴的平行线，分别交直线，双曲线于点E、F，求的长
（3）直接写出不等式组的解集．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组等，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）先求出点的坐标，进而得出点的横坐标为，再将点代入双曲线，即可求出k的值；
（2）由题意可知，点E、F的横坐标均为4，分别求出点E、F的纵坐标，作差即可求解；
（3）由图象可知，的解集为，即可得出不等式组的解集．
【小问1详解】
解：直线与坐轴交于A点，
令，则，解得：，
，
，
，
，
轴，
点的横坐标为，
点在直线上，
，
，
点在双曲线上，
【小问2详解】
解：过点作y轴平行线，分别交直线，双曲线于点E、F，
点E、F的横坐标均为4，
，，
；
【小问3详解】
解：由图象可知，直线在双曲线上方的部分，的取值范围为，
即的解集为，
的解集为．
22. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立；
（2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
由（1）得，
又，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∴长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23. 如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点的坐标；
（3）设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
【小问2详解】
设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
【小问3详解】
存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
24. 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；
（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；
拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
拓展应用：
如图，连接，延长至点，使，连接，

∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．甲
84
86
85
83
87
乙
84
85
86
85
85
活动课题
测量教学楼前旗杆的高度．
活动工具
一把皮尺（最大长度10米）和一台测角仪．
测量过程
（1）在教学楼的底端A处，测得旗杆顶端C的仰角是，然后爬到教学楼二楼的B处，侧得旗杆底端D的俯角是，
（2）侧得米
解决问题
根据以上数据计算旗杆的高度；（结果保留一位小数）
组别
成绩（：分）
频数
20
60