2022-2023学年北京理工附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京理工附中高二（下）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）复数1+ii的模为（ ）
A．2B．3C．2D．5
2．（4分）若曲线y＝x2的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（4分）曲线x2-y22=1的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．3
4．（4分）直线ax﹣y+2a＝0（a∈R）与圆x2+y2＝5的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
5．（4分）数列{an}的前n项和为Sn，若Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1（n≥2），且S2＝3，则a1+a3＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（4分）若等比数列{an}满足a1a5＝a3，则a3＝（ ）
A．1B．﹣1C．0或1D．﹣1或1
7．（4分）对于函数f(x)=xlnx的描述，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）存在唯一的零点
B．函数f（x）在区间（0，e）上单调递增
C．函数f（x）在区间（e，+∞）上单调递增
D．函数f（x）的值域为R
8．（4分）设{an}是等比数列，则“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x2﹣2x）ex，则函数f（x）的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（4分）数列{an}满足：an-1+an+1＞2an(n＞1，n∈N*)，给出下述命题：
①若数列{an}满足，a2＞a1，则an＞an-1(n＞1，n∈N*)成立；
②存在常数c，使得an＞c(n∈N*)成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则ap+aq＞am+an；
④存在常数d，使得an＞a1+(n-1)d(n∈N*)都成立．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知{an}为等比数列，a1＝1，a4=18，那么{an}的公比为 ，数列{1an}的前5项和为 ．
12．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3+a9＝a10﹣a8．若an＝0，则n＝ ．
13．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，若f（x）在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 ；若f（x）在区间[1，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若仅当n＝5时，Sn取到最小值，且|a5|＞|a6|，则满足Sn＞0的n的最小值为 ．
15．（5分）已知函数f(x)=ex-kx，x≥0，kx2-x+1，x＜0.若k＝0，则不等式f（x）＜2的解集为 ；若f（x）恰有两个零点，则k的取值范围为 ．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2＝5，且a4是a1，a13的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列{1Sn}的前n项和．
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为AD，A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：MA1∥平面ANC；
（Ⅱ）求直线CN与平面D1AC所成角的正弦值．
18．已知函数f（x）＝x3﹣12x+12．
（1）求f（x）的极值；
（2）求f（x）在区间[﹣3，4]上的最大值和最小值；
（3）若曲线f（x）在点A，B处的切线互相平行，写出A，B中点的坐标（只需直接写出结果）．
19．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1(n∈N*)．
（1）求证数列{an}是等比数列；
（2）数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*)，且b1＝3．
（ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（ⅱ）若不等式lg2(bn-2)＜316n2+λ对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
20．已知函数f(x)=ex-ax-alnx(a∈R)．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当a≥e时，写出函数f（x）的零点个数．（只需直接写出结果）
21．若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）＝3，g（10）＝5．设Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n)．
（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）求S1，S2，S3的值；
（Ⅲ）求数列{Sn}的通项公式．
2022-2023学年北京理工附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【解答】解：1+ii=-i+1，故其模为2．
故选：A．
2．【解答】解：设切点的横坐标为x，
则由题意可得：y′＝2x＝4⇒x＝2．
故选：B．
3．【解答】解：由双曲线x2-y22=1，可得a=1，b=2，c=1+2=3，
所以离心率e=ca=3．
故选：B．
4．【解答】解：由题知，圆心坐标（0，0），半径5，
将直线ax﹣y+2a＝0化为点斜式得y＝a（x+2），
知该直线过定点（﹣2，0），
又（﹣2）2+02＜5，故该定点在圆内，
所以该直线与圆x2+y2＝5必相交．
故选：C．
5．【解答】解：因为Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，n≥2，且S2＝3，
则
当n＝2时，S2﹣S1＝3，即S1＝0，则a1＝0，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，则a3＝2×3﹣1＝5，
所以a1+a3＝5．
故选：D．
6．【解答】解：等比数列{an}满足a1a5＝a3，
可得（a3）2＝a3
则a3＝1．
故选：A．
7．【解答】解：对于A，由题意函数f(x)=xlnx，定义域为（0，1）⋃（1，+∞），f(x)=xlnx=0无解，A错误；
又因为f′(x)=lnx-1ln2x，当0＜x＜1或1＜x＜e时，f′（x）＜0，故函数f（x）单调递减，
当x＞e时，f′（x）＞0，故函数f（x）单调递增，B错误，C正确；
当x＞1，f（x）≥f（e）又f（e）＝e，
所以f（x）≥e，且当0＜x＜1时，lnx＜0，
所以f（x）＜0，故函数f（x）的值域不为R，故D错误．
故选：C．
8．【解答】解：{an}是等比数列，则由“a1＞a2＞a3”可得“数列{an}是递减数列”，故充分性成立．
再由“数列{an}是递减数列”，可得“a1＞a2＞a3”，故必要性成立．
综上可得，“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的充要条件，
故选：C．
9．【解答】解：因为当x≥0时，f（x）＝（x2﹣2x）ex，则f′（x）＝ex（x2﹣2），
令f′（x）＝0，则ex（x2﹣2）＝0，解得x=2，
当x∈(0，2)时，f′（x）＜0，则函数f（x）单调递减，
当x∈(2，+∞)时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增，
所以x=2是函数的一个极小值点，
又因为f（x）是定义在R上的偶函数，
所以x=-2是函数的另外一个极小值点，且x＝0也是一个极值点，
即函数f（x）的极值点的个数为3个．
故选：D．
10．【解答】解：对于①：由an-1+an+1＞2an(n＞1，n∈N*)得an+1﹣an＞an﹣an﹣1，
所以若a2＞a1，则a2﹣a1＞0，
an﹣an﹣1＞⋅⋅⋅＞a2﹣a1＞0，an＞an-1(n＞1，n∈N*)，故①正确；
对于②：取an＝﹣lnn，则满足an-1+an+1＞2an(n＞1，n∈N*)，
但当n→+∞时，an→﹣∞，故②错误；
对于③：由②的例子可知③也是错误的；
对于④：an﹣1+an+1＞2an得an+1﹣an＞an﹣an﹣1，
即an+1﹣an＞an﹣an﹣1＞⋅⋅⋅＞a2﹣a1，取d＜a2﹣a1，
则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+⋅⋅⋅+（an﹣an﹣1）＞a1+d+d+⋅⋅⋅+d＝a1+（n﹣1）d，故④正确．
故选：C．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【解答】解：根据题意，设{an}的公比为q，
若a1＝1，a4=18，则q3=a4a1=18，则q=12，
则数列{1an}是首项1a1=1，公比为1q=2的等比数列，
则数列{1an}的前5项和为1×(1-25)1-2=31，
故答案为：12，31．
12．【解答】解：∵a3+a9＝a10﹣a8，
∴a1+2d+a1+8d＝a1+9d﹣（a1+7d），
解得a1＝﹣4d
∴an＝﹣4d+（n﹣1）d＝（n﹣5）d，
令（n﹣5）d＝0可解得n＝5（d≠0）
故答案为：5
13．【解答】解：∵f（x）＝ax2﹣lnx，x＞0，∴f′(x)=2ax-1x，
∵f（x）在区间[1，2]内单调递增，∴f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
∴2ax-1x≥0在[1，2]上恒成立，∴a≥12x2在[1，2]上恒成立，
∴a≥(12x2)max，x∈[1，2]，因为在[1，2]，(12x2)max=12，
∴a≥12，则a的取值范围是：[12，+∞)．
若f（x）在[1，2]上存在单调递增区间，则f′（x）＞0在[1，2]上有解，
即a≥12x2在[1，2]上有解，∴a≥(12x2)min，
又(12x2)min=18，∴a＞18．则a的取值范围是：(18，+∞)．
故答案为：[12，+∞)；(18，+∞)．
14．【解答】解：因为Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n，当n＝5时Sn取到最小值，
所以d＞0，所以a5＜a6，
因为|a5|＞|a6|，所以﹣a5＜a6，即﹣（a1+4d）＞a1+5d，所以a1＜-92d．
Sn=n(a1+(n-1)2d)＞0，则a1+(n-1)2d＞0，因为a1＜-92d，
所以-92d＞-(n-1)2d，解之得：n＞10，因为n∈N*，所以n的最小值为11．
故答案为：11．
15．【解答】解：k＝0时，f（x）=ex，x≥01-x，x＜0，
f（x）＜2等价为x≥0ex＜2或x＜01-x＜2，
解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，
所以﹣1＜x＜ln2；
由f（x）恰有两个零点等价为ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数的和为2．
当k＝0时，ex＝kx（x≥0）的解的个数为0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为0，不符题意；
当k＜0时，ex＝kx（x≥0）无解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为1，不符合题意；
当k＞0时，kx2﹣x+1＝0（x＜0）没有实数解，
则ex＝kx（x≥0）有两解，
设g（x）=exx（x＞0），g′（x）=ex(x-1)x2，
可得g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，可得g（x）的最小值为g（1）＝e，
当k＞e时，y＝g（x）与y＝k有两个交点．
故答案为：（﹣1，ln2）；（e，+∞）．
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．【解答】解：（1）∵a4是a1，a13的等比中项，
∴a42=a1a13，
设等差数列{an}的公差为d，则(a2+2d)2=(a2-d)(a2+11d)，
即（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），整理得：d2﹣2d＝0，
∵d≠0，
∴d＝2，
∴an＝a2+（n﹣2）d＝5+2（n﹣2）＝2n+1；
（2）由于（1）得an＝2n+1，则Sn=n(2n+4)2=n2+2n，
所以1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)．
所以Tn=12(1-13+12-14+13-15+⋯+1n-1-1n+1+1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2)．
17．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结OM，ON，
因为M是AD的中点，所以OM∥CD，OM=12CD，
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为N是A1B1的中点，
所以NA1∥CD，NA1=12CD，
所以NA1∥OM且NA1＝OM，
所以四边形NOMA1是平行四边形，所以MA1∥ON，
又因为MA1⊄平面ANC，ON⊂平面ANC，
所以MA1∥平面ANC；
（Ⅱ）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（1，0，0），A（0，2，0），D1（1，2，1），N（0，1，1），
所以CN→=(-1，1，1)，CA→=(-1，2，0)，CD1→=(0，2，1)，
设平面D1AC的法向量为n→=(x，y，z)，
则有n→⋅CA→=0n→⋅CD1→=0，即-x+2y=02y+z=0，
令y＝1，则x＝2，z＝﹣2，故n→=(2，1，-2)，
所以|cs＜CN→，n→＞|=|CN→⋅n→||CN→||n→|=33×3=33，
故直线CN与平面D1AC所成角的正弦值为33．
18．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），
当x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以，当x＝﹣2时，f（x）取极大值f（﹣2）＝28；当x＝2时，f（x）取极小值f（2）＝﹣4．
（2）由（1）知，当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）单调递增；
当﹣2＜x＜2时，f（x）单调递减；当2＜x＜4时，f（x）单调递增，
当x＝﹣2时，f（x）取极大值f（﹣2）＝28；当x＝2时，f（x）取极小值f（2）＝﹣4．
又f（﹣3）＝19，f（4）＝28，
所以，f（x）在区间[﹣3，4]上的最大值为28，最小值为﹣4．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，
由题意f′（x1）＝f′（x2），即3x12-12=3x22-12，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，则x1+x2＝0，
∴y1+y2=x13-12x1+12+x23-12x2+12=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)-12(x1+x2)+24=24，
∴A，B中点的坐标为（0，12）．
19．【解答】解：（1）证明：因为Sn=2an-1(n∈N*)，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，解得a1＝1．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1）＝2an﹣2an﹣1，则an＝2an﹣1，
所以数列{an}是等比数列，首项为1，公比为2．
（2）（i）因为数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*)，且b1＝3，
所以bn+1-bn=an=2n-1，
则bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+⋯+（b2﹣b1）+b1
＝2n﹣2+2n﹣3+⋯+1+3
=2n-1-12-1+3
＝2n﹣1+2．
（ii）因为不等式lg2(bn-2)＜316n2+λ对n∈N*恒成立，
则λ＞-316n2+n-1，令g(n)=-316n2+n-1=-316(n-83)2+13≤g(3)=516，
所以λ＞516，
所以实数λ的取值范围为（516，+∞）．
20．【解答】解：（1）由f(x)=ex-ax-alnx，可得f′(x)=ex(x-1)-ax+ax2，
则f′（1）＝0且f（1）＝e﹣a，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y＝e﹣a．
（2）由函数f(x)=ex-ax-alnx的定义域为（0，+∞），且f′(x)=(x-1)(ex-a)x2，
若a≤0，令f′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
若a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝lna，
①若lna≤0时，即0＜a≤1时，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
②若0＜lna＜1时，即1＜a＜e时，
当x∈（0，lna）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（lna，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以函数f（x）的单调递减区间为（lna，1），单调递增区间为（0，lna），（1，+∞）；
③若lna＝1时，即a＝e时，可得f′（x）≥0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
④若lna＞1时，即a＞e时，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以函数f（x）的单调递减区间为（1，lna）（0，1），单调递增区间为（0，1），（lna，+∞）．
综上所述，当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
当1＜a＜e时，函数f（x）的单调递减区间为（lna，1），单调递增区间为（0，lna），（1，+∞）；
当a＝e时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞e时，函数f（x）的单调递减区间为（1，lna）（0，1），单调递增区间为（0，1），（lna，+∞）．
（3）由（2）知，当a＝e时，可得f′（x）≥0，f（x）单调递增，
又由f(x)=ex-ex-elnx，可得f（1）＝0，此时f（x）在（0，+∞）只有一个零点；
当a＞e时，函数f（x）的单调递减区间为（1，lna），单调递增区间为（0，1），（lna，+∞），
当x＝1时，函数取得极大值，极大值为f（1）＝e1﹣a，
当x＝1时，函数取得极小值f（lna），其中f（lna）＜f（1）＝e1﹣a＜0，
当x→+∞时，函数f（x）→+∞，
所以函数f（x）在（0，+∞）只有一个零点，
综上可得，函数f（x）在（0，+∞）只有一个零点．
21．【解答】解：（Ⅰ）∵g（k）表示k的最大奇数因数，
∴g（6）＝3，g（20）＝5． …（2分）
（Ⅱ）S1＝g（1）+g（2）＝1+1＝2；S2＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝1+1+3+1＝6；
S3＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）＝1+1+3+1+5+3+7+1＝22．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m∈N*，有g（2m）＝g（m）． …（8分）
所以当n≥2时，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n-1)+g(2n)
＝[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n﹣1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]
＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n﹣1）]
=(1+2n-1)×2n-12+[g(1)+g(2)+⋯+g(2n-1)]=4n﹣1+Sn﹣1…（11分）
于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N*．
所以Sn＝（Sn﹣Sn﹣1）+（Sn﹣1﹣Sn﹣2）+…+（S2﹣S1）+S1＝4n﹣1+4n﹣2+…+42+4+2
=4(1-4n-1)1-4+2=4n3+23，n≥2，n∈N*． …（13分）
又S1＝2，满足上式，
所以对n∈N*，Sn=13(4n+2)． …（14分）
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