2024年湖北省恩施市三岔中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 七年级（1）班一学期班费收支情况如下（收入为正）：元，元，元，元，则该班期末时班费结余为（ ）
A. 82元B. 85元C. 35元D. 92元
【答案】A
【解析】
【分析】运用有理数的加法法则处理即可．
【详解】解：（元）；
故选：A
【点睛】本题考查有理数的加减运算；熟练运算法则是解题的关键．
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
在数轴上表示为：

故选：B．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，包含实心，不包含空心”是解答此题的关键．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D. a4·a2=a8
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂的乘方，合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法法则逐个计算判断．
【详解】解：因为，所以A正确；
因为，所以B错误；
因为，所以C错误；
因为，所以D错误；
故选A．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
5. 下面的调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 了解居民对废电池的处理情况B. 为了制作校服，了解某班同学的身高情况
C. 某种灯的使用寿命D. 某类烟花爆竹燃放的安全性
【答案】B
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】A、了解居民对废电池的处理情况适宜采用抽样调查方式；
B、为了制作校服，了解某班同学的身高情况适宜采用全面调查方式；
C、某种LED灯的使用寿命适宜采用抽样调查方式；
D、某类烟花爆竹燃放的安全性适宜采用抽样调查方式；
故选：B．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查，解题的关键是知道对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 如图，王林从点出发沿直线前进5米到达点，向左转后又沿直线前进5米到达点，再向左转后沿直线前进5米到达点……照这样走下去，王林第一次回到出发点时所走的路程为（ ）

A. 100米B. 80米C. 60米D. 40米
【答案】D
【解析】
【分析】根据王林每次沿直线前进5米，向左转，得到王林所走过的图形为正多边形，求出边数，即可得解．
【详解】解：∵王林每次沿直线前进5米，向左转，
∴王林所走过的图形为正多边形，
∴边数，
∴王林第一次回到出发点时所走的路程为米；
故选D．
【点睛】本题考查正多边形的外角和．解题的关键是得到王林所走过的图形为正多边形，利用正多边形的外角和定理求出边数．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，
∴，
∴与的位似比为1：3，
∵点，
∴F点的坐标为，
即F点的坐标为（3，9），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出与的位似比是解题的关键．
8. 某校组织学生进行军事训练，第一天沿江向上游走了km，第二天又向上游走了km，第三天向下游走了km，第四天又向下游走了km．这时学生队伍离刚开始出发点（ ）
A. 22kmB. kmC. 11kmD. km
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可以先设出上游为正，下游为负，从而可以解答本题．
【详解】解：设在出发点的上游为正，下游为负，
，
学生队伍离刚开始出发点km．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的加减法，解题的关键是明确题意，．
9. 如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（ ）

A. 12cmB. 15cmC. 21cmD. 18cm
【答案】B
【解析】
【分析】由DE是△ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得△ABC的周长．
【详解】解：由DE是边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
由△ADC的周长为9cm，
∴AC+BC=9，
∵AE=3，
∴AB=6，
∴△ABC的周长是15cm，
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意等量代换与整体思想的应用．
10. 我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】①由时，，由时，，，，，图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）可判断①；②对称轴x=从函数解析式上看函数y=部分的对称轴为直线，从和部分的对称轴也是直线，对称轴是直线，可判断② ；③根据当或时函数的图象，从左下向右上呈上升趋势，函数值随值的增大而增大，可判断③；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的的值为或，可判断④；⑤由，解得，由，解得x=1，当或时，，y=4不是函数的最大值，可判断⑤．
【详解】解：①当时，，
当时，，，，，
∴（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，
∴①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）是正确的；
②，
对称轴x=，
∴从函数解析式上看函数y=部分的对称轴为直线，和部分的对称轴也是直线，
对称轴可用对称轴是直线，
∴②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1是正确的；
③根据当或时函数图象，从左下向右上呈上升趋势，函数值y随x值的增大而增大，
∴③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为或，
∴④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0是正确的；
⑤由，解得，由，解得x=1，
当或时，，
∴y=4不是函数的最大值，
∴⑤当x＝1时，函数的最大值是4不正确；
∴正确结论有①②③④四个．
故选A．
【点睛】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
二、填空题
11. 当x=____________时，分式的值为零．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分式为0的条件列出方程组,即可解答．
【详解】解：由题意得：

解得x=-1
故答案为-1．
【点睛】本题考查了分式为零的条件，即分式为零的条件为分子为零，分母不为零．
12. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格，找出所有可能结果和满足条件的结果即可求出．
【详解】依题意列的表格如下：
由表格看出共有9种结果，奇数的结果是4种．
故答案是．
【点睛】本次主要考查了概率知识点，准确的找出所有结果和满足条件的结果是解题关键．
13. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________．

【答案】3
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴
故答案：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14. 若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．（用“＜”连接）
【答案】y1＜y3＜y2．
【解析】
【分析】先计算出自变量为﹣5、1、2对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】当x=﹣5时，y1=﹣(a2+1)；
当x=1时，y2=a2+1；
当x=2时，y3=(a2+1)，
所以y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15. 已知二次函数，当，y有最大值为，则a的值为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得出其对称轴为直线．分类讨论：①当，即时，②当，即时和③当，即时，分别画出大致图象，结合图象判断当时的增减性，即得出当x为何值时，y有最大值为，最后将此时x和y的值代入原二次函数解析式，解出a的值即可．
【详解】由二次函数解析式可得出其对称轴为直线，
分类讨论：①当，即时，如图1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）；
②当，即时，如图2，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：（舍）；
③当，即时，如图3，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
代入中，得：，
解得：，（舍）．
综上可知a的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
三、解答题
16. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算括号和绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，然后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了绝对值，乘方，有理数的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算．
17. 如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，．

（1）求证；
（2）求证四边形是矩形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，再由证即可；
由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
∴，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18. 小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的D处测得山顶A的仰角为，测得山脚C的俯角为，已知的坡度为1∶0.75，点A，B，C，D在同一平面内，请帮小敏计算此山的垂直高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】如图，过点D作于点H，过点C作于点R，设米，则米，构造方程求解即可．
【详解】过点D作于点H，过点C作于点R，设米，则米，
，
米，米，
中，
米，
，
，
解得，
米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是关键．
19. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生作业时间统计表
（1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数______；
（2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数；
（3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议．
【答案】（1）600，210
（2）该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人
（3）建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据总人数=A组人数÷A组所占百分比，总人数×B组百分比，即可求出本题答案；（2）1500×不低于90分钟学生的百分比，即可求出结果；（3）合理即可．
【小问1详解】
这次调查抽取学生的总人数是600，B组的学生人数；
故答案为：600，210；
【小问2详解】
（人），
答：该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人；
【小问3详解】
该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数占比高达45%，建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一，理由合理即可，没有结合数据得1分）
【点睛】本题考查统计表和扇形统计图，考查数据处理和分析的能力，解题关键在从不同的图中读出相应的统计量．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
21. “四月江南黄鸟肥，樱桃满市粲朝辉”，暮春时节，重庆市樱桃（俗称思桃儿）早已进入采摘期．某现代农业园区推行免入园费自助采摘活动．该园区种植了普通樱桃和乌皮樱桃两个品种，其中乌皮樱桃甜味香，肉质细嫩，售价比普通樱桃每斤高出20元．
（1）今年4月30日，普通樱桃销量为200斤，乌皮樱桃销量为400斤，若当天总销售额不低于26000元，则每斤普通樱桃至少卖多少元？
（2）为降低高温天气带来的经济损失，果园负责人决定在“五一”节推出优惠政策，若两种樱桃在（1）的条件下均以最低价格销售，5月1日，普通樱桃售价降低，销量比4月30日增加，乌皮樱桃售价不变，销量比4月30日增加了，且5月1日总销售额比4月30日增加了．求的值．（）．
【答案】（1）30；（2）30
【解析】
【分析】（1）设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖（x+20）元，根据总价=单价×数量结合当天总销售额不低于26000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量结合5月1日总销售额比4月30日增加了，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖(x+20)元，
依题意，得：200x+400(x+20)⩾26000，
解得：x⩾30
所以每斤普通樱桃至少卖30元．
故答案为：30
（2）依题意得：
30(1−)×200(1+5a%)+(30+20)×400(1+)=26000×(1+)，
整理，得：a2−30a=0，
解得：a1=0(舍去)，a2=30
∴a的值为30
故答案为：30
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用和一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系列出不等式和方程式解题的关键．
22. 【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．
【观察猜想】（1）观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．
（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．
【答案】（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题．
（3）利用三角形的三边关系求出AJ的取值范围，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O．
∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，
∵∠DAC＝90°，DP＝PC，
∴PA＝CD＝PC＝PD，
∴PA＝BE．∠C＝∠PAE，
∵∠CAP+∠BAO＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE，
故答案为：AP＝BE，PA⊥BE．
（2）结论成立．
理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O．
∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ，
∴△APD≌△JPC（SAS），
∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP，
∴AD∥CJ，
∴∠DAC+∠ACJ＝180°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠DAC＝180°，
∴∠EAB＝∠ACJ，
∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ，
∴△EAB≌△JCA（SAS），
∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE，
∵PA＝AJ，
∴PA＝BE，
∵∠CAJ+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE．
（3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝4，BC＝8，
∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝4
由（2）可知CJ＝AD＝2，∵AC＝4，
∴4﹣2≤AJ≤4+2，
∴2≤AJ≤6，
∵AJ＝2AP，
∴≤PA≤3．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，以及三角形的三边关系，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
23. 已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）连接，，由是的直径，可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形性质可得，进而可得，即，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点在线段上时，过点作于点，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点在的延长线上时，过点作于点，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设，则，利用面积法可得，得出，即，再运用乘法公式和不等式性质可得，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，

是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
①当点在线段上时，如图，过点作于点，

在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，

，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，（舍去），
；
综上所述，的长为或；
②设，则，
如图，是的直径，
，

，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；
②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
【小问2详解】
如图
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，如图
的最小值为．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．组别
调查结果
人数（人）
A
120
B
a
C
180
D
90