江苏省南京市鼓楼区第二十九中学2023-2024学年七年级下册4月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市鼓楼区第二十九中学2023-2024学年七年级下册4月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了本试卷共6页，下列各式中，计算结果正确的是，已知，，则 ，计算的结果是 等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．化简a2•a3的结果是（ ）
A．aB．a5C．a6D．a8
2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约毫米，用科学记数法表示为（ ）
A．毫米B．毫米C．毫米D．毫米
3．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．2、3、4B．15、9、8C．4、9、6D．3、8、4
4．下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如果(x2＋px＋q)(x2－5x＋7)的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是( )
A．p＝5，q＝18B．p＝－5，q＝18
C．p＝－5，q＝－18D．p＝5，q＝－18
6．如图，用等式表示∠1、∠2、∠3与∠4之间的数量关系正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3+∠4＝360°B．∠1+∠2+∠3＝360°+∠4
C．∠1+∠2＝∠3﹣∠4D．∠1+∠2＝∠3+∠4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．计算的结果是 ．
8．已知，，则 ．
9．“同位角相等”的逆命题是 ．
10．计算的结果是 ．
11．代数式是完全平方式，则 ．
12．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 个单位

13．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ．
14．课本上，公式是由公式推导得出的．已知，则 ．
15．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝ ．
16．如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为18，则长方形的面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．求代数式的值，其中，.
19．按图填空，并注明理由．
如图，在中，，，．将求的过程填写完整．
解：因为（已知）
所以．（ ）
又因为，
所以．（等量代换）
所以 （ ）
所以 （ ）．
又因为，所以．
20．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和．李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由．
21．观察下列式子：
①，②，③，……
（1）根据你发现的规律，请写出第个等式： ．
（2）根据你发现的规律，请写出第个等式并证明你所写出的等式的正确性．
22．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
（1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”．
（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：
①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”；
②若是“奇妙互余三角形”，，，则；
③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
其中，结论正确的有______．（填写序号）
（3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数．
23．按要求画图并解答问题：
(1)在图1中，画出的中线、高．
(2)利用所学知识说明：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．
(3)在图2中，过正五边形的顶点画一条直线，将正五边形分成面积相等的两部分．（写出必要的文字说明）．
24．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图2可得，则：
(1)由图3可以解释的等式是______；
(2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______；
(3)通过画图的方法计算（、的长度与图1相同）．
25．如图1，中，，，三点分别在，，三边上，过点的直线与线段的交点为点，，．
(1)求证：；
(2)在以上条件下，若及，两点的位置不变，点在边上运动使得的大小发生变化，保证点存在且不与点重合，记，成立时，应满足的条件是______．（用含的式子表示）
26．直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．

(1)如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
(2)如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数．
(3)如图，延长至，已知、的等分线（、）与的等分线（）及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数．（结果可用含的代数式表示）
参考答案与解析
1．B
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得计算结果．
【解答】解：原式=a2+3=a5，故B正确．
故选B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】=毫米．
故选：C．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是牢记三边关系．利用三角形任意两边之和大于第三边即可求解．
【解答】解：A．∵，
∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故A不符合题意；
B．∵，
∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故B不符合题意；
C．∵，
∴满足三角形三边关系，能组成三角形，故C不符合题意；
D．∵，
∴不满足三角形的三边关系，不能能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特征，两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，以及完全平方公式对选项进行计算并判断，即可解题．
【解答】解：A、，计算结果错误，不符合题意；
B、，计算结果正确，符合题意；
C、，计算结果错误，不符合题意；
D、，计算结果错误，不符合题意；
故选：B．
5．A
【解答】试题解析：∵（x2+px+q）（x2-5x+7）=x4+（p-5）x3+（7-5p+q）x2+（7-5q）x+7q，
又∵展开式中不含x2与x3项，
∴p-5=0，7-5p+q=0，
解得p=5，q=18．
故选A．
6．B
【分析】根据四边形的内角和为360°求解可得．
【解答】解：由图可知，180°﹣∠1+180°﹣∠2+180°﹣∠3+180°+∠4＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°+∠4，
故选B．
【点拨】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握四边形的内角和为360°．
7．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了零指数幂，同底数幂的除法以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
8．12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知，由幂的乘方的逆运算可知，再将，代入求解．
【解答】解：
故答案为12．
【点拨】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，灵活利用幂的逆运算将所求式转化为已知式是解题的关键．
9．相等的两个角是同位角．
【解答】因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，
所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．
故答案为：相等的两个角是同位角
10．4
【分析】把2019×2023表示成(2021−2)(2021+2)，然后用平方差公式即可完成．
【解答】
故答案为：4
【点拨】本题考查了平方差公式在数值计算中的应用，关键是把2019×2023表示成两数的和与这两数的差的积．
11．或
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：代数式是完全平方式，
，
或，
解得或，
故答案为：或．
12．8
【分析】根据平移的基本性质作答．
【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
故四边形ABFD的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位；
故其周长为8个单位．
故答案为8．
13．##108度
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：，
∵，
，
∵，
∴设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了整式乘法，将变形为，根据运算法则，准确计算即可．
【解答】解：根据题意得：
故答案为：．
15．144°
【分析】根据正六边形的性质求得∠A、∠B、∠BCD的度数，根据正五边形的性质求得∠CDL、∠L的度数，然后再由六边形的内角和求得∠APG．
【解答】解：∵六边形ABCDEF，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝，
∵五边形GHCDL是正五边形，
∴∠CDL＝∠L＝，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠CDL+∠L+∠APG＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠APG＝720°﹣120°×3﹣108°×2＝144°，
故答案为：144°．
【点拨】本题主要考查了正多边形的性质应用，准确计算是解题的关键．
16．
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．记长方形的长为，宽为，根据题意，可得，，利用完全平方公式求出的值即可．
【解答】解：记长方形的长为，宽为，
由题知，，，即，
，
即，
，解得，
长方形的面积是．
故答案为：．
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查积的乘方及其逆运算，单项式乘单项式，多项式乘单项式，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则进行计算．
（1）根据积的乘方，以及单项式乘单项式的运算法则进行计算，即可解题；
（2）根据多项式乘单项式的运算法则进行计算，即可解题；
（3）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算，再结合完全平方公式进行计算，即可解题；
（4）先利用积的乘方的逆用整理为，再结合平方差公式和完全平方公式进行计算，即可解题；
【解答】（1）解：，
，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
18．，1
【分析】先根据整式的乘法，平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简，再见、的值代入计算即可得到答案．
【解答】解：
，
当，时，
原式．
【点拨】本题考查了整式的乘法，平方差公式，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．
19．两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质定理．此题要注意由，可得，由等量代换可得，可得，根据平行线的性质可得，即可求解．
【解答】解：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）；
∵（已知），
∴（等量代换）；
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补．
20．见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理；运用这两个定理找出角之间的数量关系是解题的关键．通过与的数量关系求出，与实际的测量值比较即可．
【解答】解：方法一：如图，连接并延长；
在中，，
在中，，
∴，
∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格；
方法二：如图，延长交于；
∵
∴
∴
∴
∴李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格．
21．（1）8×10+1=81；（2）2n（2n+2）+1=（2n+1） 2，证明见解析
【分析】（1）根据2×4+1=9=32；4×6+1=25=52；6×8+1=49=72；…得出规律，第4个等式是8×10+1即可得出答案；
（2）根据（1）中规律得出第n个等式是连续偶数相乘，进而得出一般规律，再利用多项式的乘法证明即可．
【解答】解：（1）①2×4+1=9，
②4×6+1=25，
③6×8+1=49，…
∴第4个等式为8×10+1=81；
（2）由题意可得：
第n个等式为2n（2n+2）+1=（2n+1） 2，
证明：2n（2n+2）+1
=4n 2+4n+1，
=（2n+1） 2．
【点拨】此题考查数字的变化规律，完全平方公式，通过观察，分析、归纳找到规律，并能利用规律计算，并能证明结论是正确．
22．（1）见解析；（2）①③；（3）的度数为或．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线性质，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）根据直角三角形两锐角互余得到，利用角平分线性质得到，最后进行等量代换，即可得到是“奇妙互余三角形”；
（2）根据“奇妙互余三角形”的概念，对结论①②③进行辨析，即可解题；
（3）根据点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，分以下两种情况讨论：①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，对上述两种情况根据 “奇妙互余三角形”概念建立与相关的等式求解，即可解题．
【解答】（1）解：，
，
是的角平分线，
，
，
是“奇妙互余三角形”．
（2）解：①，，
，
是“奇妙互余三角形”，
故①正确；
②是“奇妙互余三角形”，，，
，
即，
解得；
故②错误；
③三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
，
三角形中剩下的内角大于，
“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
故③正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
（3）解：点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，
分以下两种情况讨论：
①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，
，，
有，即，解得，
；
有，即，解得，
；
②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，
，
，
有，
则，解得（不合题意舍去）；
有，
则，解得（不合题意舍去）；
综上所述，的度数为或．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图基本作图，三角形的面积公式，正多边形与圆等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）首先作出线段的垂直平分线，可得出的中点，进而得出答案；延长，过点向作垂线即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）连接，交于点，作直线即可．
【解答】（1）如图所示，线段、线段即为所求；
（2）是的中线，
，
，，
；
（3）如图直线即为所求．
在正五边形中，，，
，
，，
，
点在的垂直平分线上，
连接，，
同理证得，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
直线将正五边形分成面积相等的两部分．
24．(1)；
(2)；
(3)图见解析，．
【分析】本题考查了多项式与几何图形面积，以及完全平方公式与几何图形面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的方法，用代数式表示出大图形的面积与它组成部分面积之间的等量关系．
（1）大正方形的面积等于小正方形的面积与四个长方形面积之和，用含、的代数式表示出等量关系即可；
（2）将所有纸片的面积加到一起，根据完全平方公式即可得出大正方形的边长；
（3）根据题意画出边长为的大正方形，再根据图形计算即可．
【解答】（1）解：由图知，，
故答案为：；
（2）解：由题知，所有纸片的面积为：，
这个大正方形的边长为；
故答案为：；
（3）解：根据题意可画图如下：
由图知，．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，只需推知即可，因此先根据外角性质，将转化为，再根据与互补，得到，最后将代入即可得出结论；
（2）点F运动到的角平分线与边的交点位置时，成立．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵是的外角，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵是的外角，
∴
∵是的外角，
∴，
当时，，
由①②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵．
【点拨】本题考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是根据平行线的判定方法，以及三角形的外角性质，运用角的和差关系进行推导计算．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
26．(1)大小不发生变化，且．
(2)或．
(3)或或或或．
【分析】（1）综合三角形内角和定理和角平分线定义即可求出；
（2）结合三角形外角性质判断的范围后，利用三角形内角和定理和角平分线定义，分、、、四种情况进行讨论，从而求解；
（3）先根据题意分别用含的代数式表示出、、、、、，再利用三角形内角和定理和三角形外角性质，分、、、、、六种情况进行讨论，最后利用求解．
【解答】（1）解：大小不发生变化，
，
，
中，，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
中，，
故大小不发生变化，且．
（2）解：，
，
、、分别为、、的角平分线，
且是的反向延长线，
，
，
，
，
是的延长线，
，
，
即角度固定，
是外角，
，
，
①当时，
即，符合题意，
中，，
，
中，；
②当时，
即，
中，，不符合题意，舍去；
③当时，
此时，不符合题意，舍去；
④当时，
，符合题意，
中，，
．
综上，或．
（3）解：依题得：，
，
，
，
，
中，，
①当时，
，
，
中，，
，
，
又，
即，
；
②当时，
，
，
中，，
，
，
又，
即，
；
③当时，
，
，
，
，
该情况舍去；
④当时，
则，
即，
，
，
，
，
，
即，
；
⑤当时，
，
，
，
，
，
，
即，
；
⑥当时，
则，
即，
，
，
，
，
，
即，
．
综上，或或或或．
【点拨】本题考查的知识点是三角形内角和定理、角平分线的相关运算、角等分线的相关运算、三角形外角性质，解题关键是综合运用角平分线定义和三角形内角和定理并注意分情况讨论．