重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下册4月月考数学试题（含解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下册4月月考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题：①一组邻角相等的平行四边形是矩形；②如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中假命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
5．估计的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
6．一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
7．用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第个图形需要围棋子的枚数是______（用含的代数式表示）
A．B．C．D．
8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，凸四边形中，若点M、N分别为边上的动点，，，，，，则的周长最小值为（ ）

A．B．C．6D．3
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
二、填空题（共4×8=32分）
11．古语有云：“滴水穿石”若水珠不断滴在一块石头上，经过年，石头上会形成一个深为的小洞，数据用科学记数法表示为： ．
12．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为 ．
14．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信．
15．如图，已知是等边三角形，点在边上，以为边向左作等边，连结，作交于点，若，，则 ．
16．二次函数，自变量x与函数y的对应值如表：
则当时，y满足的范围是 ．
17．如果关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的取值之和 ；
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题（共78分）
19．计算：
(1)；
(2)
20．解下列一元二次方程：
(1)
(2)．
21．如图，在平行四边形中，连接对角线，于点E，交于点G．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点F，交于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，∴ ① ．
∵，∴．
∵，∴．
∵ ② ，
∴，，即 ③ ，
∴，∴ ④ ，
∴，∴．
22．菱形对角线与交于点O，若，过点A作于点M，交于点N．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
23．在矩形中，分别在边上，且，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达D点停止运动，设P点运动时间为x秒，的面积为y，回答下列问题：
(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出一条该函数的性质；

(3)结合图像，直接写出当时的x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过）
24．山火烧不尽，春风吹又生，今年三月，校团委组织师生开展“汇聚青年力量·重建绿色山林”缙云山植树活动，购入了第一批树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元．
(1)求第一批购入甲、乙两种树苗的数量；
(2)恰逢植树节在周末，校团委决定，购入甲树苗时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数量就比第一批甲树苗的数量减少10棵（最后数量不超过第一批甲树苗的），购入乙树苗单价与第一批相同，数量是第一批乙树苗的，最终花费的总资金比第一批减少了，求第二批购买树苗的总数量．
25．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．已知等腰与等腰中，，，连接EC，点M为线段EC的中点，连接DM．
(1)如图1，当D点恰好为线段AB中点时，求线段DM的长度；
(2)当从图1所示位置绕着点A逆时针旋转一定角度，使得点E在线段DM上方，到达如图2所示位置时，连接BD，求证：；
(3)当从图1所示位置绕着点A逆时针旋转150°时到达图3所示位置，F为直线AD上一点，连接MF并将线段MF绕点M逆时针旋转90°使得点F落在点N处，连接AN、CN，若，求的最小值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论，牢记二次函数的定义是解题的关键．
【解答】A、当时，不是二次函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、不是二次函数，不符合题意；
D、为一次函数，不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的相关定理，
根据矩形的判定方法对①进行判断即可；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据平行四边形的判定方法对④进行判断．
【解答】①一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形，故该命题是真命题，选项不符合题意；
②因为正方形既是菱形又是矩形，菱形的四边相等，矩形的对角线相等，所以当一个菱形的两条对角线相等时，这个菱形一定是正方形，故该命题是真命题，选项不符合题意；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形四边的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题是真命题，选项不符合题意；
④一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，故该命题是假命题，选项符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【解答】解：由题意得，，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围，掌握夹逼法是解题的关键．
【解答】解：
，
，
∵，
∴，
∴，
即的值在和之间
故选：．
6．A
【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键．
【解答】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限，
∴，，
∴，
又∵当时，，
∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧．
故选：A．
7．B
【分析】根据图形观察可知，第一个图形有5枚棋子，第二个图形有5+3枚棋子，第三个图形有5+3×2枚棋子……，以此类推，第n个图形有5+3×（n-1）化简即可．
【解答】由题意结合图形可知，第一个图形有5枚棋子，第二个图形有5+3枚棋子，第三个图形有5+3×2枚棋子……，以此类推，第n个图形有5+3×（n-1）=3n+2，
故选：B．
【点拨】本题考查了探索图形的变化规律问题，掌握图形的变化规律是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，
故选：B．
9．C
【分析】如图，连接，由勾股定理得，，由，可得，，由角平分线的性质定理得，，如图，作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，交于，连接，，则，，，，则是的垂直平分线，，，，则，由勾股定理得，，则，由的周长为，可知当四点共线时，的周长最小，为，然后作答即可．
【解答】解：如图，连接，

由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
如图，作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，交于，连接，，则，，，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
∵的周长为，
∴当四点共线时，的周长最小，为，即为6，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，折叠的性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．A
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【解答】解：对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：

，故①正确；
对，，5进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【解答】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由进行求解即可．
【解答】解；∵a、b是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
故答案为：．
13．1
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得，，再利用配方法和二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵二次函数的图象经过，
∴，则，
∴，
∵二次函数的图象经过，
∴，即，且，
∴
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的性质求解最值是解答的关键．
14．9
【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程．
【解答】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，
则：．
整理得：
解得或（舍去）
故答案为：9．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．
15．
【分析】证明△BAE≌△CAD得到，从而证得，再得到AEBF是平行四边形，可得AE=BF，在三角形BCF中求出BF即可.
【解答】
作于H，
∵是等边三角形,，
BC=AC=6
在中， CF=4,
∵是等边三角形，是等边三角形
AC=AB，AD=AE，
∵
AEBF是平行四边形
AE=BF=
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．
【分析】运用待定系数法求出二次函数解析式，判断图象开口方向，求出对应的函数值，从而可判断出y的取值范围．
【解答】解：取（-3，0），（-2，-3），（0，-3）代入，得

解得，
∴
∵
∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（-1，-4）
当时，
∴当时，y满足的范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及应用和解分式方程，先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为，根据不等式组至少有3个整数解，可得a的取值，再解分式方程得，根据解为整数即得到a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即可得到的整数a的值的和．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
要使x至少有3个整数解，至少满足，
，
，
，
，
解得：，，
要使y有意义，，即，
为整数，
为整数，
或或，
又，
或或或或，
要使关于y的分式方程有意义，，
，即，
，
综上所述：或或或，
，
故答案为：．
18． 8354 6213
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值．
【解答】解：是“和方数”，
，
解得：，
这个数是8354；
设这个四位数，则，
，
四位数M是“和方数”，
，
，
能被33整除，
是整数，且，，，，
满足条件的的值为，
，
满足条件的等式为，
满足条件的M的最大值是，
故答案为：8354；6213．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式：
（1）先计算单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）直接利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用平方差公式分解因式，进而解方程即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得．
21．(1)见解答
(2)，，，．
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据平行四边形的性质得到，，则根据平行线的性质得到，接着利用垂直的定义和平行线的性质得到，则可判断，所以，从而得到．
【解答】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
（两直线平行，内错角相等），
，
，
，
，
∵，
，．
即，
∴，
，
，
．
故答案为：，，，．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形性质，全等三角形性质与判定，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意可得，，，继而得到，再判定即可；
（2）过N作于，继而得到，设，即可得到与均为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到．
【解答】（1）解：∵菱形，，
∴，，，
∵，为菱形的对称轴，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（2）解：过N作于，
∵菱形，
∴平分，
又∵，，
∴，
设，
∵，
∴与均为等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
得，
∴．
23．(1)
(2)见解析，函数的性质为：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小
(3)或
【分析】本题考查了矩形的性质，函数的画图极其信息，近似计算，熟练掌握性质，画图像的三步骤，是解题的关键．
（1）分和两种情况，运用梯形的面积，三角形面积差计算即可．
（2）根据画图像的基本步骤，利用两点确定一条直线，画图即可，根据图像，写出符合题意的性质即可．
（3）根据图像与已知直线的交点位置，大致估计即可，注意估计要符合要求．
【解答】（1）解：当时，如图所示：

∵矩形中，，
∴,，
，，
∴
；
当时，如图

∵矩形中，，
∴,，
，，
∴
；
综上所述，．
（2）根据题意，画图像如下：．

函数的性质为：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．
（3）根据图像，得到或时，．
24．(1)第一批购入甲种树苗150棵，乙种树苗100棵
(2)第二批购买树苗的总数量为200棵
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设第一批购入甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，由题意：购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购入第二批甲树苗的单价上涨了m元，由题意：最终花费的总资金比第一批减少了，列出一元二次方程，解方程得出，再求出，即可解决问题．
【解答】（1）解：设第一批购入甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
由题意得：，
解得：，
答：第一批购入甲种树苗150棵，乙种树苗100棵；
（2）解：设购入第二批甲树苗的单价上涨了m元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵甲树苗最后数量不超过第一批甲树苗的，
，
解得：，
，
（棵），
答：第二批购买树苗的总数量为200棵．
25．(1)y=-x2+4x
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）
【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0