2024北京西城区高三下学期4月一模试题数学含答案

这是一份2024北京西城区高三下学期4月一模试题数学含答案，共11页。试卷主要包含了已知全集，集合，则，在的展开式中，常数项为，设，其中，则，在等比数列中，，关于函数，给出下列三个命题等内容，欢迎下载使用。

2024.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在的展开式中，常数项为（ ）
A.60 B.15 C.-60 D.-15
4.已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.设，其中，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A.-1 B.1 C.-7 D.7
7.已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.在等比数列中，.则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有3个零点.
其中真命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若复数满足，则__________.
12.已知.使成立的一组的值为__________；__________.
13.双曲线的渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________.
14.在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为__________，的最小值为__________.
15.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
17.（本小题13分）
在中，.
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立.
（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
（3）甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中.写出一个的值，使.（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点.直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点.求证：.
20.（本小题15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若集合有且只有一个元素，求的值.
21.（本小题15分）
对正整数，设数列是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同.
记集合或中元素的个数为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1.
（i）能否满足？说明理由；
（ii）证明：.
西城区高三统一测试试卷
数学答案及评分参考
2024.4
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C
6.A 7.A 8.B 9.D 10.C
二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12.；（答案不唯一） 13.； 14.； 15.①③④
三､解答题（共6小题，共85分）
16.（共14分）
解：（1）连接，设，连接.
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点.
因为为的中点，
所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，
所以平面.
所以.
又，所以两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法间量为，则即
令，则，于是.
因为平面，
所以是平面的一个法向量.
所以.
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
17.（共13分）
解：（1）由，得.
在中，由正弦定理得.
因为，
所以.
又，
所以.
（2）选条件①：边上中线的长为.
设边中点为，连接，则.
在中，由余弦定理得，
即.
整理得.
解得或（舍）.
所以的面积为.
选条件③：.
在中，由余弦定理得，
即.
整理得.
解得或.
当时，的面积为.
当时，的面积为.
18.（共13分）
解：（1）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为.
因为，所以甲进入决赛.
（2）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为；
“甲命中10环”的概率可估计为；
“乙命中9环”的概率可估计为；
“乙命中10环”的概率可估计为.
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：
（3）和8.（写出一个即可）
19.（共15分）
解：（1）由题设，.
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由题设，直线的斜率存在，设其方程为.
则，直线的方程为.
由得.
由，得.
设，则.
直线的方程为.
联立直线和得.
解得.
同理可得.
所以.
因为
所以，即点和点关于原点对称.
所以.
20.（共15分）
解：（1）当时，，
所以.
所以.
所以曲线在点（1，处切线的斜率为.
（2）当时，的定义域为.
.
因为，
所以时，时，.
所以的单调递增区间为；单调递减区间为.
（3）.
当时，的定义域为.
所以在上单调递增.
因为，所以不合题意.
当时，的定义域为.
因为时，时，.
所以的单调递增区间为；单调递减区间为.
所以.
设，则，
因为时，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为.
所以.
所以集合有且只有一个元素时.
21.（共15分）
解：（1）记.
因为，
所以.
（2）（i）不满足，理由如下：
假设满足.
因为的每行恰有三个1，故中满足的的个数共有个.
号一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列，都恰有行使得
这两列的数均为1，故中满足的的个数共有个.
所以.
当时，得，此方程无解.
所以不满足.
（ii）由（i）可得，即.
下面考虑满足，但的的个数：
对中满足和3的行，每行恰有两组使且，
所以满足，但的的个数为.
设数列中有项为项为0.
满足，但的的个数为.
所以满足，但的的个数为.
所以.
所以
.环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射出频数
1
1
10
24
24
乙的射出频数
3
2
10
30
15
丙的射出频数
2
4
10
18
26