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    2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷(含解析)
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    2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷(含解析)

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    这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列实数中,是无理数是( )
    A. 253B. 3.14C. 5D. 38
    2.下列计算中,正确的是( )
    A. (−2)0=1B. 2−1=−2
    C. a3⋅a2=a6D. (1−2a)2=1−4a2
    3.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    4.点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在反比例函数y=kx的图象上,若x1A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第二、三象限
    5.一个不透明的口袋中,装有红球6个,白球9个,黑球3个,这些球除颜色不同外没有任何区别,现从中任意摸出一个球,恰好是白球的概率为( )
    A. 12B. 13C. 15D. 16
    6.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=35,则AB的值是( )
    A. 4B. 5C. 8D. 10
    7.要得到抛物线y=2(x−4)2−1,可以将抛物线y=2x2( )
    A. 向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
    B. 向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
    C. 向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
    D. 向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
    8.如图,点D、E、F在△ABC的边上,若DE/​/BC,EF/​/AB,则下列比例式中错误的是( )
    A. ADAB=AEAC
    B. CECF=CACB
    C. DEBC=ADBD
    D. EFAB=CFCB
    9.如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是( )
    A. 34°B. 36°C. 38°D. 40°
    10.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16.点P是斜边AB上一点.过点P作PQ⊥AB,垂足为P,交边AC(或边CB于点Q,设AP=x,△APQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )
    A. B.
    C. D.
    二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
    11.将8240000000用科学记数法可表示为______.
    12.函数y=2xx−1中自变量x的取值范围是______.
    13.计算: 32+6 12=______.
    14.因式分解:9a3−ab2=______.
    15.不等式组2x+13>x24x≤3x+2的解集是______.
    16.已知扇形的圆心角为120°,扇形的面积为27π,则扇形的弧长为______.
    17.我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”。已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2−2x−3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为___________.
    18.阅读材料:若x满足(6−x)(x−4)=−3,求(6−x)2+(x−4)2的值.
    解:设(6−x)=a,(x−4)=b,则(6−x)(x−4)=ab=−3,a+b=(6−x)+(x−4)=2.
    所以(6−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×(−3)=10.
    带仿照上例解决下面问题:
    若x满足(20−x)(x−10)=−5,则(20−x)2+(x−10)2的值是______.
    19.在矩形ABCD中,点E在直线BC上,BE=2CE,若AB=2,AD=3,则点A到直线DE的距离为______.
    20.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=11,点D在AC上,AD=8,∠DBA=∠A,则AB= ______.
    三、计算题:本大题共1小题,共8分。
    21.如图,甲楼在乙楼的南面,它们的设计高度是若干层,每层高均为3米,冬天太阳光与水平面的夹角为30度.
    (1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层,且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么建筑时两楼之间的距离BD至少为______米;
    (2)由于受空间的限制,甲楼到乙楼的距离BD=21米,若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么设计甲楼时,最高应建______层.
    四、解答题:本题共6小题,共52分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    22.(本小题7分)
    先化简,再求代数式aa+2−1a−1÷a+2a2−2a+1的值,其中a=6tan60°−2.
    23.(本小题7分)
    如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD,其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.
    (1)在方格纸中画出钝角等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,且△ABE的面积为10.
    (2)在方格纸中画出等腰直角三角形CDF,点F在小正方形的顶点上,且△CDF的面积为10.
    (3)在(1)(2)条件下,连接EF,请直接写出线段EF长.
    24.(本小题8分)
    某中学为开拓学生视野,开展“课外读书周”活动,活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间,并将结果绘制成两幅不完整的统计图,请你根据统计图的信息回答下列问题:

    (1)本次调查的学生总数为______人,被调查学生的课外阅读时间的众数是______小时;
    (2)请直接补全条形统计图;
    (3)若九年级共有学生700人,估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人?
    25.(本小题10分)
    某商场购进甲、乙两种纪念品,若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件,需170元,若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件,需295元,
    (1)甲、乙两种纪念品每件各需要多少元?
    (2)商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件,购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元,且购进两种纪念品的总资金不超过8355元,则最多购进甲种纪念品多少件?
    26.(本小题10分)
    如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足是H,连接AD、BD.
    (1)如图1,求证:AD=BD;
    (2)如图2,点E在直径CD上,连接AE并延长交⊙O于点F,连接DF,DE=DF,求证:∠CDF=2∠ADC;
    (3)如图3,在(2)的条件下,M是弧BC上的点,连接AM交CD于N,连接DM交AB、AF分别于G、P,若∠AMD=2∠MAB,tan∠MAB=12,OH=3,求直径CD的长.
    27.(本小题10分)
    如图,抛物线y=12(x+m)(x−2)交x轴于A、B两点,交y轴于C点,D在第三象限内的抛物线上,连CD、BD,BD交y轴于F,CD/​/AB时,DF=1.5BF.
    (1)如图1,求该抛物线的解析式;
    (2)如图2,P是抛物线第三象限一个动点,过P作y轴的垂线,垂足为H,连接PB交y轴于点E,设P点横坐标为t,△CPE的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围);
    (3)在(2)的条件下,如图3,点M在线段PH上,且∠OCM=2∠PBO,HE:CM=3:5,求P点坐标及相应S的值.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:A、253是分数,是有理数,故选项不符合题意;
    B、3.14是有限小数,是有理数,故选项不符合题意;
    C、 5是无理数,选项符合题意;
    D、38=2是整数,是有理数,选项不符合题意.
    故选:C.
    无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
    此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
    2.【答案】A
    【解析】解:A、非零的零次幂等于1,故A符合题意;
    B、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,故B不符合题意;
    C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C不符合题意;
    D、差的平方等于平方和减积的二倍,故D不符合题意;
    故选:A.
    根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂,同底数幂的乘法底数不变指数相加,完全平方公式,可得答案.
    本题考查了同底数幂的乘法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
    3.【答案】B
    【解析】解:选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形.
    选项B的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形.
    故选:B.
    根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
    4.【答案】B
    【解析】解:∵x1∴k<0,
    ∴反比例函数经过二、四象限,
    故选:B.
    根据反比例函数的变化趋势即可求出k与0的大小关系,从而可判断经过哪些象限.
    本题考查反比例函数图象的变化趋势,解题的关键是正确理解反比例函数的性质,本题属于基础题型.
    5.【答案】A
    【解析】解:∵一个不透明的口袋中,装有红球6个,白球9个,黑球3个,
    ∴现从中任意摸出一个球,恰好是白球的概率为96+9+3=12,
    故选:A.
    直接由概率公式求解即可.
    本题考查了概率公式:概率=所求情况数与总情况数之比.熟记概率公式是解题的关键.
    6.【答案】D
    【解析】解:∵sinA=BCAB,
    ∴AB=BCsinA=635=10.
    故选:D.
    根据正弦函数的定义即可直接求解.
    本题考查了正弦的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
    7.【答案】C
    【解析】解:∵y=2(x−4)2−1的顶点坐标为(4,−1),y=2x2的顶点坐标为(0,0),
    ∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位,再向下平移1个单位,可得到抛物线y=2(x−4)2−1.
    故选:C.
    找到两个抛物线的顶点,根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.
    本题考查了二次函数图象与几何变换,解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标.
    8.【答案】C
    【解析】解:A、∵DE/​/BC,
    ∴ADAB=AEAC,本选项比例式正确,不符合题意;
    B、∵EF//AB,
    ∴CECA=CFCB,
    ∴CECF=CACB,本选项比例式正确,不符合题意;
    C、∵DE/​/BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴DEBC=ADAB,本选项比例式错误,符合题意;
    D、∵EF//AB,
    ∴△CEF∽△CAB,
    ∴EFAB=CFCB,本选项比例式正确,不符合题意;
    故选:C.
    根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质列出比例式,判断即可.
    本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理,掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
    9.【答案】C
    【解析】解:由题意得,∠AOD=31°,∠BOC=31°,又∠AOC=100°,
    ∴∠DOB=100°−31°−31°=38°.
    故选:C.
    根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数,计算出∠DOB的度数.
    本题考查的是旋转的性质,掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键.
    10.【答案】B
    【解析】解:当点Q在AC上时,
    ∵∠A=30°,AP=x,
    ∴PQ=xtan30°= 33x,
    ∴y=12×AP×PQ=12×x× 33x= 36x2
    当点Q在BC上时,如下图所示:
    ∵AP=x,AB=16,∠A=30°,
    ∴BP=16−x,∠B=60°,
    ∴PQ=BP⋅tan60°= 3(16−x).
    ∴y=12×AP×PQ=12x⋅ 3(16−x)=− 32x2+8 3x.
    ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上,后半部分也为抛物线开口向下.
    故选:B.
    分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可.
    本题考查动点问题的函数图象,有一定难度,解题关键是注意点Q在BC上这种情况.
    11.【答案】8.24×109
    【解析】解:8240000000=8.24×109,
    故答案为:8.24×109.
    将一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫做科学记数法,据此即可求答案.
    本题考查科学记数法表示较大的数,熟练掌握其定义是解题的关键.
    12.【答案】x≠1
    【解析】解:根据题意得:x−1≠0,
    解得:x≠1.
    故答案是:x≠1.
    根据分式的意义,分母不等于0,可以求出x的范围.
    本题考查了函数自变量的范围的求法,一般从三个方面考虑:
    (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
    (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
    (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
    13.【答案】7 2
    【解析】解:
    原式=4 2+6× 22,
    =4 2+3 2,
    =7 2,
    故答案为:7 2.
    根据二次根式加减运算的法则计算即可.
    本题考查了二次根式相加减的问题,熟记加减的运算法则是解题的关键.
    14.【答案】a(3a+b)(3a−b)
    【解析】解:原式=a(9a2−b2)
    =a(3a+b)(3a−b).
    故答案为:a(3a+b)(3a−b).
    原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
    此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
    15.【答案】−2【解析】解:2x+13>x2①4x≤3x+2②,
    解不等式①得:x>−2,
    解不等式②得:x≤2.
    则不等式组的解集是:−2故答案是:−2首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
    本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间.
    16.【答案】6π
    【解析】解:∵扇形的圆心角为120°,扇形的面积为27π,
    ∴120πR2360=27π,
    解得R=±9(负值舍去),
    ∴扇形的弧长为120×π×9180=6π.
    故答案为:6π.
    根据扇形面积公式S=nπR2360,先求出扇形的半径,再根据扇形的弧长公式l=nπr180进行计算即可求解.
    本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算.解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式.
    17.【答案】3+ 3
    【解析】【分析】
    连接AC,BC,由抛物线的解析式可求出A,B,C的坐标,进而求出AO,BO,DO的长,在直角三角形ACB中,利用射影定理可求出CO的长,进而可求出CD的长.
    本题是二次函数综合题,主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理,读懂题目信息,理解“果圆”的定义是解题的关键.
    【解答】
    解:连接AC,BC,
    ∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3,
    ∴点D的坐标为(0,−3),
    ∴OD的长为3,
    设y=0,则0=x2−2x−3,
    解得:x=−1或3,
    ∴A(−1,0),B(3,0)
    ∴AO=1,BO=3,
    ∵AB为半圆的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵CO⊥AB,
    ∴CO2=AO⋅BO=3,
    ∴CO= 3,
    ∴CD=CO+OD=3+ 3,
    故答案为:3+ 3.
    18.【答案】110
    【解析】解:设20−x=a,x−10=b,则a+b=20−x+x−10=10,ab=−5,
    ∴(20−x)2+(x−10)2
    =a2+b2
    =(a+b)2−2ab
    =102−2×(−5)
    =100+10
    =110;
    故答案为:110.
    仿照阅读材料,设20−x=a,x−10=b,则a+b=20−x+x−10=10,ab=−5,可得(20−x)2+(x−10)2=(a+b)2−2ab,代入可得答案.
    本题考查整式的混合运算,解题的关键是掌握完全平方公式的应用.
    19.【答案】6 55或6 1313
    【解析】解:分两种情况:
    ①点E在BC边上时,
    如图1所示:连接AE,作AF⊥DE于F,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴CD=AB=2,BC=AD=3,∠B=∠C=90°,
    ∵BE=2CE,
    ∴BE=2,CE=1,
    在Rt△CDE中,DE= 12+22= 5,
    ∵△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积,
    ∴12×2×2+12×1×2+12× 5×AF=3×2,
    解得:AF=6 55;
    ②点E在BC边的延长线时,
    如图2所示:作AF⊥DE于F,BA延长线与ED延长线交于点G,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴CD/​/AB,CD=AB=2,BC=AD=3,∠BAD=∠B=∠C=90°,
    ∴∠DAG=90°,
    ∵BE=2CE,
    ∴BC=CE,
    ∴CD是△BEG的中位线,
    ∴BG=2CD=4,
    ∴AG=2,在Rt△ADG中,DG= 32+22= 13,
    ∵△ADG的面积=12DG×AF=12DG×AF=12×3×2,
    ∴AF=6 1313;
    综上所述,点A到直线DE的距离为6 55或6 1313;
    故答案为:6 55或6 1313.
    分两种情况:①点E在BC边上时,连接AE,作AF⊥DE于F,由矩形的性质得出CD=AB=2,BC=AD=3,∠B=∠C=90°,求出BE=2,CE=1,在Rt△CDE中,由勾股定理得出DE= 5,再由△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积,即可得出结果;
    ②点E在BC边的延长线时,作AF⊥DE于F,BA延长线与ED延长线交于点G,由矩形的性质得出CD/​/AB,CD=AB=2,BC=AD=3,∠BAD=∠B=∠C=90°,∠DAG=90°,证出CD是△BEG的中位线,得出BG=2CD=4,AG=2,在Rt△ADG中,由勾股定理得出DG,再由三角形面积公式即可得出结果.
    本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识;熟练掌握矩形的性质和勾股定理,进行分类讨论是关键.
    20.【答案】887
    【解析】解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,
    ∵DE/​/CF,
    ∴AEEF=ADCD=83,
    设AE=8a,则EF=3a,BE=8a,
    ∴BF=5a,AF=11a,
    ∵∠CBF=60°,
    ∴CF=5 3a,
    在Rt△ACF中,由勾股定理得:
    AF2+CF2=AC2,
    (11a)2+(5 3a)2=112,
    解得:a=±1114(负值舍去),
    ∴AB=16a=887.
    过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,由平行线易得AEEF=ADCD=83,设AE=8a,则EF=3a,BE=8a,BF=5a,AF=11a,CF=5 3a,在Rt△ACF中,由勾股定理得a=±1114(负值舍去),即可解答.
    本题考查平行线分线段成比例定理、勾股定理,解题关键的恰当作出辅助线.
    21.【答案】18 3;4
    【解析】解:(1)AB=6×3=18,BD=18×ct30°=18 3(米);
    (2)设甲楼最高应建x层,则3x⋅ct30°≤21,
    ∴x≤7 3≈4.04,∴x=4.
    (1)求出甲楼的高度,根据30°的余切值来求.
    (2)根据30°的余切值来求.
    本题考查锐角三角函数余切值的应用.
    22.【答案】解:原式=aa+2−1a−1⋅(a−1)2a+2
    =aa+2−a−1a+2
    =1a+2,
    当a=6tan60°−2=6 3−2时,
    原式=16 3−2+2=16 3= 318.
    【解析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式,再求得a的值代入化简即可.
    本题主要考查分式的化简求值,熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键.
    23.【答案】解:(1)如图,△ABE即为所求作.
    (2)如图,△CDF即为所求作.
    (3)EF= 12+22= 5.

    【解析】(1)作出腰为5顶角是钝角的等腰三角形即可.
    (2)作出腰为2 5的等腰直角三角形即可.
    (3)利用勾股定理求解即可.
    本题考查作图−应用与设计作图,勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    24.【答案】50 5
    【解析】解:(1)∵课外阅读达3小时的共10人,占总人数的20%.
    ∴1020%=50(人).
    ∵课外阅读4小时的人数是32%.
    ∴50×32%=16(人).
    ∴课外阅读4小时的男生人数是16−8=8(人).
    ∴课外阅读6小时的男生人数是50−10−16−20−3=1(人).
    ∴课外阅读3小时的是10人,4小时的是16人,5小时的是20人,6小时的是4人.
    ∴众数是5小时.
    故答案为:50;5.
    (2)如图所示

    (3)∵课外阅读6小时的人数是4人.
    ∴700×450=56(人).
    答:九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人.
    (1)根据统计图可知,课外阅读达3小时的共10人,占总人数的20%,由此可得出总人数;求出课外阅读4小时和6小时的男生人数,再根据众数的定义即可得出结论.
    (2)根据(1)中求出的人数补全条形统计图即可.
    (3)总人数乘以课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比即可求出答案.
    本题考查的是条形统计图和扇形统计图,从图中获得必要的信息是解题的关键,必须认真观察,分析和研究统计图.
    25.【答案】解:(1)设甲种纪念品每件需要x元,乙种纪念品每件需要y元,
    根据题意得:
    x+2y=1702x+y=295,
    解得:
    x=140y=15,
    答:甲种纪念品每件需要140元,乙种纪念品每件需要15元,
    (2)设购进甲种纪念品a件,花了140a元,则购进乙种纪念品140a−4515件,
    乙种纪念品花了(140a−45)元,
    根据题意得:
    140a+(140a−45)≤8355,
    解得:a≤30,
    ∵a为整数,
    ∴a最大为30,
    当a=30时,乙种纪念品的件数为:140×30−4515=277,是整数,
    ∴a最大为30,
    答:最多购进甲种纪念品30件.
    【解析】(1)设甲种纪念品每件需要x元,乙种纪念品每件需要y元,根据“若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件,需170元,若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件,需295元”,列出关于x和y的二元一次方程组,解之即可,
    (2)设购进甲种纪念品a件,花了140a元,则购进乙种纪念品140a−4515件,乙种纪念品花了(140a−45)元,根据“两种纪念品的总资金不超过8355元”,列出关于a的一元一次不等式,解之,取最大值,再代入140a−4515,如果为整数,即为所求答案.
    本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用,解题的关键:(1)正确找出等量关系,列出二元一次方程组,(2)正确找出不等关系,列出一元一次不等式.
    26.【答案】(1)证明:∵CD为直径,CD⊥AB,
    ∴AH=BH,
    ∴H是AB的中点,
    ∴△ABD为等腰三角形,
    ∴AD=BD;
    (2)证明:由(1)知,△ABD为等腰三角形,CD⊥AB,
    ∴∠ADC=∠BDC,∠BAD=∠B,
    由圆周角定理可知,∠B=∠F,
    ∵DE=DF,
    ∴∠DEF=∠F,
    ∴∠DEF=∠ADB,
    ∵∠ADB=2∠ADC,
    ∴∠CDF=2∠ADC;
    (3)解:作AN的垂直平分线交AH于S,连接NS,OB,如图:

    ∴∠NSH=2∠MAB=∠AMD,AS=NS,
    ∵tan∠MAB=12,
    ∴AH=2NH,
    在Rt△NSH中,NS2=HS2+NH2,
    解得:NS=54NH,
    ∴tan∠NSH=43,即tanB=43,
    设OB=OD=x,
    在Rt△OHB中,HB2=OB2−OH2=x2−9,
    在Rt△DHB中,tanB=DHBH=43,
    ∴DH2HB2=(x+3)2x2−9=169,
    解得:x=757或−3(舍去),
    ∴CD=2x=1507.
    【解析】(1)由垂径定理可知,AH=BH,然后根据等腰三角形的判定求证AD=BD即可;
    (2)根据圆周角定理可知,∠B=∠F,在根据等腰三角形的性质可以得出∠EDF=∠ADB,从而得证;
    (3)作AN的垂直平分线交AH于S,可得∠NSH=2∠MAB=∠AMD=∠B,然后根据三角函数值以及勾股定理,求出∠B的三角函数,连接OB,设半径OD=OB=x,根据三角函数值的定义以及勾股定理求出半径长即可求出直径CD的长.
    本题主要考查了圆的综合题,合理运用锐角三角函数的定义是本题解题的关键.
    27.【答案】解:(1)当y=0时,12(x+m)(x−2)=0,
    解得x=−m或x=2,
    ∴B(2,0),A(−m,0),
    ∴BO=2,
    当x=0时,y=12⋅m⋅(−2)=−m,
    C(0,−m),
    ∵CD/​/AB,
    ∴∠OBF=∠CDF∠BOF=∠DCF,
    ∴△OBF∽△CDF,
    ∴BODC=BFDF,
    ∴2DC=BF1,5BF,
    ∴CD=3,
    ∴D(−3,−m),
    ∵D点在y=12(x+m)(x−2)图象上,
    ∴−m=12(−3+m)(−3−2),
    解得m=5,
    ∴抛物线的解析式为y=12x2+32x−5;
    (2)由y=12x2+32x−5得,A(−5,0),B(2,0),C(0,−5),
    ∵P点横坐标为t,
    ∴P点纵坐标为12t2+32t−5,
    设PB的表达式为y=kx+b,
    则2k+b=0kt+b=12t2+32t−5,
    解得k=t+52b=−t−5,
    ∴PB的表达式为y=t+52x−t−5,
    ∴E(0,−t−5),
    ∴EC=−t−5+5=−t,
    ∵PH=|t|=−t,
    ∴S=12EC⋅PH=12⋅(−t)⋅(−t)=12t2,
    ∴S与t之间的函数关系式为S=12t2;
    (3)如图,过点E作CE的垂线,作∠OCM的平分线交CE的垂线与F,
    过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点,连接CN,

    ∵HP/​/AB,
    ∴∠HPB=∠PBO,
    ∵∠OCM=2∠PBO,∠COM=2∠ECF,
    ∴∠PBO=∠ECF,
    ∴∠HPB=∠ECF,
    ∵∠HPB=∠ECFPH=EC∠PHE=∠CEF,
    ∴△PHE≌△CEF(ASA),
    ∴EF=EH,EP=CF,
    设EF=EH=3k,CM=5k,则HC=−t−3k,
    ∵EF//PN,FN//EP,
    ∴四边形EFNP是平行四边形,
    ∴PN=EF=3k,
    ∴NH=PH+PN=−t+3k,
    ∵FN=EP,EP=CF,
    ∴FN=CF,
    ∴∠FNC=∠FCN,
    又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM,
    ∴∠FNC−∠FNM=∠FCN−∠FCM,
    即∠MNC=∠MCN,
    ∴MN=MC=5k,
    ∴MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k,
    ∵MH2+HC2=MC2,
    ∴(−t−2k)2+(−t−3k)2=(5k)2,
    解得t1=k(舍去),t2=−6k,
    ∵tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12,
    tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52,
    ∴t+52=12,
    解得t=4,
    ∴12t2+32t−5=−3,
    ∴P(−4,−3),
    ∴S=12t2=12×(−4)2=8.
    【解析】(1)先根据函数解析式求出A,B,C的坐标,再根据CD/​/AB,证明△OBF∽△CDF,由相似三角形的性质得出BODC=BFDF,从而求出点D坐标,再把点D坐标代入抛物线解析式求出m;
    (2)由(1)的解析式求出A,B,C的坐标,再根据P的坐标,用待定系数法求出直线PB的解析式,得出点E坐标,从而求出EC,PH,再由三角形的面积公式求出△CPE的面积为S与t之间的函数关系式;
    (3)过点E作CE的垂线,作∠OCM的平分线交CE的垂线与F,过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点,连接CN,先证明△PHE≌△CEF(ASA),从而得出EF=EH,EP=CF,设EF=EH=3k,CM=5k,则HC=−t−3k,然后证明四边形EFNP是平行四边形,得出MN=MC=5k,MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k,再根据MH2+HC2=MC2,求出t=−6k,然后由tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12,tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52,tan∠EPH=tan∠PBO列出关于t的方程,求出t的值,然后求点P坐标和S.
    本题考查了二次函数综合题,二次函数的图象和性质、平行四边形的性质与判定,三角形面积等基础知识.考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想及分类与整合思想.正确的作出辅助线,是解题的关键.
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