新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题15平面向量选填压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题15平面向量选填压轴题（教师版），共50页。
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，建立平面直角坐标系，取的中点，则
∴圆O的半径
则，即
，即
，即
，即
，即
则
∵
设，则
∵，则
又∵，则
∴，则
即
∴，则
由此易得，即其最大值是.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，
又由，
可得，所以，
同理可得，所以为的垂心，
所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，
因为，解得，
所以为边长为的正三角形，
如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，
因为，可得设，其中，
又因为，即为的中点，可得，
所以.
即的最大值为.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，满足：，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，，，
，又，，
设，，，则，，
又，，
、、、四点共圆，
当最大时，有，为该圆的半径，
由，所以，
在中，由正弦定理可得，
当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为.
故选：A．
4．（2022·全国·高三专题练习）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：D．
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知， ，向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，得：，即有，
如图示，设，
故不妨设，则，则 ，
设，则 ，因为，故可得，
所以C点在以AB为直径的圆上运动，
在中， ,AB的中点为 ，
则以AB为直径的圆的方程为 ，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围是，
故选：B
6．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，
又因为，
所以，
所以当时，的最小值为，
即的最小值为.
故选：B.
7．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））已知向量满足.设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】因为，所以7.又，所以，解得，则向量的夹角为.建立如图所示
的直角坐标系，设，因为，所以，即.设，则点在直线上运动..
故选：B.
8．（2022·贵州·高二学业考试）已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
9．（2022·浙江台州·高一期末）已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，
因为，所以，即是边长为1的等边三角形，
因为，则可以为原点，为坐标轴建立直角坐标系，
设，则，，
，
，
则，
，
则，
令，则，
令，则，
则可得在单调递增，在单调递减，
所以在取得最大值，即最大，与的夹角最小，
此时.
故选：B.
10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【详解】根据题意，设，，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，
则，，设，则，
若，则有，
则在以为圆心，半径为2的圆上，
设为点，则，则有，
即，
则的取值范围为；
故选：D．
11．（2022·浙江·高一期中）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.
【答案】
【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因为，所以，在中，由余弦定理得.
又由，得，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
12．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为__．
【答案】
【详解】解：平面内，，，
，，，
可设，，，，
动点，满足，，
可设，，，
，，
，
当且仅当时取等号，
的最大值为．
故答案为：．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为__________.
【答案】
【详解】不妨设 ， ，则由题知
又 ，所以
整理得① ，所以
又 ，
所以
而
将①代入整理得：
令 ，
，有最小值，
又 ，当且仅当时等号成立
所以 ，当时有最大值 .
故答案为： .
14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是______．
【答案】
【详解】因为，而，故，
故外接圆半径满足，故，
所以，而，故，
如图，在单位圆中，
设，则，
又
若，则，
故
，
若，则，
故，
若，则，
故，
综上，时，总有
，
其中，且，
因为，故，
而，
故，
所以，故，
故答案为：
15．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】当时，取明显成立，
当时，不妨设，则，
∴，
即存在，使，
当时，，不合题意，
当时，存在，使，即适合题意；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
16．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）已知平面向量满足：，，，，，则当取到最小值时，___________.
【答案】
【详解】根据题意，因为，，，设，，，
所以，所以，
所以，所以或，即或；
当时，因为，所以，
所以，当且仅当且时，取到最小值，
解得，，，所以，，
所以；
当时，因为，所以，
所以，当且仅当且时，取到最小值，
解得，，，所以，，
所以；
综上所述：.
故答案为：.
②向量数量积（定值，最值，范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线与分别切于点则___________.
【答案】0
【详解】由，得，则，
设，，所以，
得切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
又两条切线过切点，有、，
所以是方程即的两实根，
得，
又，
所以
将代入上式，得
.
故答案为：0，
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.
【答案】
【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为
故答案为：
3．（2022·浙江省义乌中学高一期末）已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
【答案】
【详解】由题可知，
不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动，
又 为实数），都有，
所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小.
此时，在中，由余弦定理可得，
,
故答案为：.
4．（2022·浙江省临安中学模拟预测）已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，_______．
【答案】0
【详解】由题意得，故，
又，，故，，
同理得，
故，
显然，故，当且仅当时等号成立，
此时取到最小值2，，得，得．
故答案为：0
5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解析：因为，
则， 因为，
由，
由，即，由，则恒成立.
由,即
则
，
解得，又
所以.
故答案为：
6．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知平面向量满足，且，，则的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】由题可设，，，，，
B、C在以O为圆心半径为的圆上，
又，则．
因为，记与的夹角为，
①当时，，；
②当时，由对称性可设，
∴，∴，，
∴，，
∴；
综上，结合图像可得，
所以．
故答案为：．
7．（2022·全国·高一）已知△ABC三点在平面直角坐标系xy所在平面内，点B、C分别在x、y正半轴上滑动，，，，则的最大值为______．
【答案】
【详解】
建立如图的坐标系，
,所以四点共圆.,设，则且，,
在中，由正弦定理知：,即，,
故，其中，
时，，故有最大值.
故答案为：
8．（2022·上海市七宝中学高三期中）设为中边上的中线，且.若，则的最大值为_________
【答案】##
【详解】①
为中点,为中点(由得到)
代入①式
得
又
代入得
由余弦定理得
由结合基本不等式得
所以
当且仅当取等
最大值为
故答案为：
9．（2022·江苏·辅仁高中高一阶段练习）已知A，B，C，D是平面内四点，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】设，，则，，
所以，，
则，
当，时的最小值为.
故答案为：
10．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则_____________.
【答案】6
【详解】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，
又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，
法一：作于点，则，如下图示，
所以，又，
所以.
法二：不妨设△为等边三角形，即，则，
所以，故，而，
所以.
故答案为：6
11．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）在中，，P为AB边上一点，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】延长AC至点D，使AD=4AC，连接BD，取BD的中点E，连接AE，由于，所以，由三线合一得：，因为，所以，由勾股定理得：，所以△ABD为等边三角形，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立如图所示平面直角坐标系，则，，设（），所以，当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
12．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由题意，取线段AB的中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：.
故答案为：
③向量夹角（定值，最值，范围）
1．（2022·上海交大附中高二阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
2．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可设，则
由于对任意实数，有，故恒成立，
即对任意实数恒成立，故，
即 ，
所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内
（含边界直线），设 ，，则,
故，
不妨假设向量对应的点在上部分区域内，
则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，
且当时，最大，此时，
所以 ，即最小值为，
由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，
可以无限趋近于0，故，
因此的范围是，
当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，
故选：D
3．（2022·江西·横峰中学高一期末）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接并延长交于点，则为的中点，
因为，则，由重心的性质可得，则，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
所以，，则为锐角，
由余弦定理可得，
所以，，
因为为锐角三角形，则，即，即，
所以，，
构造函数，其中，
任取、且，则
.
当时，，，则，
当时，，，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，，故.
故选：C.
4．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
5．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）中，若，，点E满足，直线与直线相交于点D，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即
因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以
所以
故选：A
6．（2022·全国·高二期末）已知.在时取得最小值，问当时，向量与夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设向量与的夹角为，则，
,
则
，
因为，所以当时，在时取得最小值，
又因为，所以，故，又，所以，所以与的夹角的取值范围是，
故选：C.
7．（2022·全国·高一课时练习）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，
设，
因为、、三点共线，所以，，，
因为，、、三点共线，所以，
联立，解得，，，
因为，，所以，，
因为，
所以，
故选：A.
8．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意可得，，则，
，
，则，
所以，，
令，则，
令，由得，
则，所以，故
所以，当时，有最小值.
故选：A.
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为点在边上，且，
所以，
设，
则，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
即，
即，
所以，
令，得，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
所以，解得，
在中，由正弦定理得，解得，
即.
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为在中，，，所以，所以
，当且仅当时取等号，因此在中，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故选：C.
11．（2022·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
【答案】
【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，
依题意，，
因的最小值为3，则的最小值为2，因此，
在中，，，在中，，，
所以.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，若，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】如下图所示，设，，，，，，
因为，所以，
因此点在直线上，又由于，因此是的角平分线，
因此点是直线与的角平分线的交点.根据角平分线的性质可.
过点作的平行线交于点，则.
因此点在以为圆心，半径为2的圆上运动由于，由此当直线相切于时，
有最大值，有最小值.设此时切点为，则，，
故.综合上述，的最小值为.
故答案为：.
13．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【详解】解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
14．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知的外心为，满足，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】依题意作图，取BC的中点D，连接OD，AD，
在中，记，，，
因为的外心为O，则，
因为，
又，
所以，
同理可得，，
由得，，
即.
在中，由余弦定理得，
，
又，当且仅当时，等号成立，所以.
故答案为：.
15．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是_______.
【答案】
【详解】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ∈[0，π]，
因为2（）﹣（2），
所以（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|csθ①，
若与的夹角为α∈[0，π]，即（）•（）＝||||csα②，
所以由①②知，||csα＝2||﹣|2|csθ＝2x﹣xcsθ＝x（2﹣csθ），
所以csα＞0，
即||2cs2α＝4x2﹣4x2csθ+x2cs2θ，
又因为||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2csθ，
所以cs2α，令m＝5﹣4csθ，
即cs2α，m∈[1，9]，有cs2α∈[，1]，
又因为csα＞0，
所以csα∈[，1]，
所以α的最大值是．
故答案为：．
④向量的其它问题
1．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.
又因为，
所以，
即有：，即，
所以，
设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
设，则有，
所以==，
所以
故选：A.
2．（2022·河南驻马店·高一期末）已知D，E分别是边AB，AC上的点，且满足，，，连接AO并延长交BC于F点．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，，
因为三点共线，
则，
所以，
同理，三点共线，
，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
，所以
故选：D.
3．（2022·湖南衡阳·高一期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由三点共线，可得存在实数t，使
又由三点共线，可得存在实数m，使得
则，解之得，则
又，()，
则，由三点共线，可得
则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，函数．若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，则，
当时，恒成立，
所以在上为增函数，
不妨设，则，
因为，
所以等价于，
即，
令，，
所以可知在上为减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，所以，
故选：B
5．（2022·浙江台州·高二期末）已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若为线段与边交点，则且，
由题设，在的边外侧，如上图中上，
令，则，而，
所以，
当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大，
综上，的取值范围为.
故选：B
6．（2022·湖南·永州市第一中学高二阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设向量与的夹角为
由，可得，
即，
即关于恒成立
则，即
故向量在方向上投影
故选：A
7．（2022·全国·高一期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
8．（2022·全国·高一专题练习）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，
∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.
故选：B.
9．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；
②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；
③若、都是“类集”，则也是“类集”；
④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有（ ）
A．①②B．①③④C．②③D．①②④
【答案】D
【详解】①若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
对于集合（为实常数），可得对于任意，以及任意都有，故正确；
②若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
可得对于任意，以及任意，都有，故正确；
③若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故错误；
④若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，
设，为中元素的公共部分，且不为空集，符合“类集”的定义，故正确；
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；
【答案】
【详解】设点，则的重心，
∵是不等边三角形，∴，
再设的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵点N是的外心，∴，
即，
化简整理得轨迹E的方程是.
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：.
11．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））​的外心为​，三个内角​所对的边分别为​，​.则​面积的最大值为____________.
【答案】12
【详解】设的中点为，如图所示，
的外心为，
则，
，整理得
，则，
又，
当且仅当，等号成立.
故答案为：12.
12．（2022·全国·高一）已知正方形的边长为，对角线、相交于点，动点满足，若，其中、．则的最大值为 __．
【答案】
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、，
，即点，
因为，则点在以为圆心，半径为的圆上，
设点，则，
则，整理可得，
所以，，其中，，
所以，，整理可得，解得，
因此，的最大值为.
故答案为：.
13．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
【答案】
【详解】以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图：
则，
则
则，又点P在直线：上，
则有，即
由恒成立，
可得恒成立，
由，可得
则（当且仅当时等号成立）
又，，则
则，则，
则，
则实数的取值范围是
故答案为：
14．（2022·江西·高一期中）如图所示，扇形中，，点在上运动（包括端点、），且满足，则的最大值是______.
【答案】##
【详解】当点与点或重合时，易得，
当点与点，都不重合时，分别作，，如图所示，
设，设扇形的半径为，
则，
在三角形AEM中，由正弦定理得：，
则，，
所以，
故，
当时，取得最大值，
综上，的最大值是.
故答案为：
15．（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为___________．
【答案】##2.5
【详解】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，
构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
则，
故当时，有最大值.
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）点M在△ABC内部，满足，则____________．
【答案】##3:4
【详解】如图，分别延长至至至，使，，连接.
由，得，
∴点是的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝EI，
故，同理可证，
∴，
设，
设，
则
，
同理，
∴：.
故答案为：3:4.