西藏自治区拉萨市2024届高三第二次模拟考试文科数学试题

这是一份西藏自治区拉萨市2024届高三第二次模拟考试文科数学试题，共15页。试卷主要包含了若满足约束条件，则的最大值为，已知均为钝角，，则，已知是定义在上的奇函数，且满足等内容，欢迎下载使用。

文科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.3
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，网格纸中小正方形的边长为1，将一个零件的三视图绘制在网格纸上，则该零件的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.若满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.2
6.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
7.已知均为钝角，，则（ ）
A. B. C. D.
8.从这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（ ）
A.172 B.183 C.286 D.311
10.已知是定义在上的奇函数，且满足.若，则（ ）
A.-2 B.0 C.2 D.4
11.已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的图象在点处的切线方程为__________.
14.已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为__________.
15.如图，在平面四边形中，，则__________.
16.如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下：
（1）求样本的相关系数（精确到0.01；
（2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）.
附：①相关系数；
②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；
③.
18.（12分）
在中，内角的对边分别是，若，且满足.
（1）求的值；
（2）设，求外接圆的半径.
19.（12分）
如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，点在线段上，且.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（12分）
已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
21.（12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的最值；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系少中，直线的参数方程为（为参数），为直线的倾斜角，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
（1）求曲线的直角坐标方程，并求当时，直线的普通方程；
（2）若直线的斜率为，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）证明：当时，恒成立.
拉萨市2024届高三第二次模拟考试
文科数学·全解全析及评分标准
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 【解析】依题意，得，因为，所以.故选B.
2.D 【解析】因为，所以.故选D.
3.C 【解析】因为的定义域为，且，所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B.因为，排除D.故选C.
4.B 【解析】由三视图，知该零件上半部分是一个长方体，其长､宽､高分别为，
下半部分是一个半球，球的半径为5，所以该零件的体积.故选B.
5.A 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图中所示的阴影部分，作直线，平移直线至经过点时，取得最大值.由，解得，即，所以的最大值为.故选A.
6.D 【解析】依题意，得，解得.又离心率，整理，得，解得（舍去）或.故选D.
7.C 【解析】由已知，得，
所以.故选C.
8.D 【解析】从这5个数字中任取3个，有10种不同的结果：
，
其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个：，所以所求概率.故选D.
9.B 【解析】设每排停车位的个数构成数列，则，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以设计的停车位总数为.故选B.
10.C 【解析】由是定义在上的奇函数，知.
又，所以.
由，得.又，所以，
所以，所以8是函数的一个周期，
所以，所以.故选C.
11.D 【解析】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.
设，由，得，所以的最小正周期满足，
解得，即，解得，所以.
因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得，
所以，所以.故选D.
12.A 【解析】令，即求的最小值.
设，则，
整理，得点的轨迹方程为.
又点在圆上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值为.故选.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【解析】由，得切线斜率，切点为，所以切线方程为，即.故填.
14. 【解析】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为，所以.因为的渐近线方程为，所以.
结合，解得，所以双曲线的标准方程为.
故填.
15. 【解析】由题意，得是和的平分线，如图，连接，与交于点，则.在中，易得.在Rt中，易得.又，所以.
又，所以.故填.
16. 【解析】如图（1），设的中点分别为，连接，则.因为平面平面，所以平面.
又平面平面，所以平面.
又，所以平面平面，所以动点在线段上运动.
设的中点分别为，连接，
则在等腰梯形中，只需求出点与线段上的点的距离的取值范围.
易知，如图（2），作，则，所以长度的取值范围是.故填.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
【解析】（1）由题意，得，
所以，
所以样本的相关系数约为0.98.
（2）因为，所以.
又，
所以，
所以回归方程为，
当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元.
18.（12分）
【解析】（1）由，结合正弦定理，得.
因为，所以.
由余弦定理的推论，得，
所以，所以，
整理，得，
解得（舍去）.
（2）由（1），知，解得.
又，所以是边长为1的正三角形.
由，知三点共线，且.
由，知三点共线，且.
在中，由余弦定理，
得，解得.
设外接圆的半径为，由正弦定理，得，
所以，即外接圆的半径为.
19.（12分）
【解析】（1）如图，连接，与交于点，连接.
因为四边形是正方形，，所以.
因为四边形是正方形，，所以.
因为，所以，所以.
又，所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）因为在四棱台中，两底面均为正方形，所以，所以，所以，
所以.
又，
设点到平面的距离为，由等体积法，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
说明：
第（2）问：另解：过点作，垂足为.
因为平面平面，所以.
又四边形为正方形，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以.
又平面，所以平面.
根据等面积，得.
20.（12分）
【解析】（1）因为点的横坐标分别为，所以，
则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.
当时，，
因为，所以以为直径的圆过原点.
以下证明当时，以为直径的圆过原点.
由，消去，得，
由根与系数的关系，得，
，
所以，所以以为直径的圆过原点.
综上，以为直径的圆过原点.
21.（12分）
【解析】（1）当时，，求导，得，
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以函数的最小值为，没有最大值.
（2）方程在上有解，
即在上有解，整理，得.
因为，所以.
令，求导，得.
因为，所以当时，，所以当时，单调递减，
所以，即，所以实数的取值范围是.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
【解析】（1）将代入，
得，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
当时，，所以直线的普通方程为，即.
（2）当直线的斜率时，直线的参数方程为（为参数），
代入，整理，得，
由根与系数的关系，得.
由参数的几何意义，得，所以.
23.[选修4-5：不等式选讲]
【解析】（1）当时，，
则不等式即为.
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得，
所以不等式的解集为.
（2）当，即时，在上单调递减；
当，即时，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为.
因为，所以，
所以当时，恒成立.第天
1
2
3
4
5
6
7
销售额（万元）
1.5
1.8
2
2.5
3.2
4
4.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
B
A
D
C
D
B
C
D
A