2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区李兆基中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知α∈(0,π2)，且tanα=34，则tan(α−π4)的值等于( )
A. −17B. −14C. −1D. 17
2.设sinθ−csθ= 23，则sin2θ=( )
A. 79B. 19C. −19D. −79
3.cs24°cs69°+sin24°sin111°=( )
A. 22B. 2C. 5D. 12
4.已知向量a,b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=−6，则cs〈a,a+b〉=( )
A. −3135B. −1935C. 1735D. 1935
5.为了得到函数f(x)=sin(2x+π3)的图象，只需将函数g(x)=cs(2x−π3)的图象( )
A. 向左平移π12个单位长度B. 向右平移π12个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度
6.点P为△ABC所在平面内的动点，满足AP=t(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，t∈(0,+∞)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A. 外心B. 重心C. 垂心D. 内心
7.已知sinα= 55，sinβ= 1010，且α和β均为钝角，则α+β的值为( )
A. 3π2B. 5π4C. 5π4或7π4D. 7π4
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知单位向量a,b的夹角为θ，则下列结论正确的有( )
A. (a+b)⊥(a−b)
B. a在b方向上的投影向量为(a⋅b)b
C. 若|a+b|=1，则θ=60°
D. 若(a+b)⋅a=(a−b)⋅a，则a/​/b
10.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，则下列结论正确的是( )
A. 若a/​/b，则tanα= 3
B. 若a⊥b，则tanα=− 33
C. 若a与b的夹角为π3，则|a−b|=3
D. 若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是(−12,− 32)
11.数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感.已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是( )
A. GH=(2 33+1)BD
B. BE=BD+ 32CF
C. GB= 33BD−12CF
D. IC=3+ 36BD+ 3−14CF
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简：23[(4a−3b)+13b−14(6a−7b)]=
13.已知向量a=(1,−1),b=(−1,2),c=(−3,3).若非零实数m，n满足(na+b)//(b−mc)，则nm= ______．
14.已知函数f(x)=sinωx−cs2x(其中ω>0)，给出下列四个结论：
①若ω=1，则−π2是函数的一个f(x)零点：
②若ω=1，函数f(x)的最小值是−98；
③若ω=2，函数f(x)图象关于直线x=3π8对称；
④若ω=2，函数f(x)图象可由y= 2sin2x图象向右平移π4个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，△ABC中，CA=a，CB=b，D是AC的中点，CB=2BE，AB与DE交于点M．
(Ⅰ)用a，b表示DE；
(Ⅱ)设BM=λBA，求λ的值；
(Ⅲ)若AB⊥DE，求∠ACB的最大值．
16.(本小题15分)
已知cs(α+β)=2 55，tanβ=17，且α、β∈(0,π2)．
(1)求cs2β−sin2β+sinβcsβ的值；
(2)求2α+β的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(−1,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．
(1)求m及|a+2b|；
(2)求a在b上的投影向量的坐标；
(3)若a+λb与a+2b所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
已知向量a=(csx,2sinx),b=(2csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)若f(x0)=115，且x0∈(π6,π3)，求cs2x0的值；
(2)将f(x)图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，当x∈[−π6,π3]时，解不等式g(x)⩾12．
19.(本小题17分)
已知向量m=(2sinθ,sinθ−csθ),n=(csθ,−2−m)，函数f(θ)=m⋅n的最小值为g(m)．
(1)求g(m)；
(2)函数h(x)为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2都满足h(x1+x2)=h(x1)+h(x2)，问：是否存在这样的实数m，使不等式h(4sinθ−csθ)+h(2m+3)>h(f(θ))对所有θ∈(π4,π)恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=34−11+34=−17．
故选：A．
利用两角和差正切公式直接求解即可．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由sinθ−csθ= 23，
平方可得(sinθ−csθ)2=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ=1−sin2θ=29，
解得sin2θ=79．
故选：A．
根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解．
本题考查同角函数关系，二倍角公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：cs24°cs69°+sin24°sin111°
=cs24°cs69°+sin24°sin69°=cs(24°−69°)=cs(−45°)= 22．
故选：A．
根据两角差的余弦公式，化简求值．
本题主要考查了诱导公式及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵|a|=5，|b|=6，a⋅b=−6，∴a⋅(a+b)=|a|2+a⋅b=52−6=19，|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 25−2×6+36=7，
因此，cs〈a,a+b〉=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=195×7=1935．
故选：D．
先根据条件求出|a+b|，再根据求向量夹角的坐标运算公式，代入计算即可．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=sin(2x+π3)=sin(2x−π6+π2)=cs(2x−π6)=cs[2(x−π12)]，
所以只需将函数g(x)=cs(2x−π3)=cs[2(x−π6)]的图象向左平移π12个单位长度．
故选：A．
结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可．
本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵AP=t(AB|AB|csB+AC|AC|csC)，t∈(0,+∞)，
又BC⋅(AB|AB|csB+AC|AC|csC)=−|BC|+|BC|=0，
BC与AB|AB|csB+AC|AC|csC垂直，
即AP与BC，
∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心，
故选：C．
可先根据积为零得出BC与AB|AB|csB+AC|AC|csC垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．
本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，属于中档题
7.【答案】D
【解析】解：∵α和β均为钝角，
∴csα=− 1−sin2α=−2 55，csβ=− 1−sin2β=−3 1010．
∴cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=−2 55×(−3 1010)− 55× 1010= 22．
由α和β均为钝角，得π<α+β<2π，∴α+β=7π4．
故选：D．
根据同角三角函数的关系分别求解csα，csβ，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可．
本题考查了诱导公式，两角和的余弦公式，余弦函数在各象限的符号，考查了计算能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，
设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，
取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围为[AD2,AE]，
即[2,2 5]，
由于PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE2−CD24，
故PC⋅PD∈[0,16]．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，因为a、b是单位向量，所以(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=1−1=0，所以(a+b)⊥(a−b)，选项A正确；
对于B，因为a、b是单位向量，所以a在b方向上的投影向量为|a|csθb|b|=(a⋅b)b，选项B正确；
对于C，因为(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=1+2csθ+1=1，所以csθ=−12，又因为0°≤θ≤180°，所以θ=120°，选项C错误；
对于D，因为(a+b)⋅a=(a−b)⋅a，所以a2+b⋅a=a2−b⋅a，所以b⋅a=0，所以a⊥b，选项D错误．
故选：AB．
选项A，计算(a+b)⋅(a−b)=0，判断(a+b)⊥(a−b)；
选项B，根据投影向量的定义计算即可；
选项C，根据平面向量数量积的定义求夹角即可；
选项D，根据平面向量数量积的运算求出b⋅a=0，判断即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，a/​/b，
则sinα= 3csα，解得tanα= 3，故A正确；
a⊥b，则csα+ 3sinα=0，解得tanα=− 33，故B正确；
|a|=2，|b|=1，若a与b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|csπ3=2×1×12=1，
故|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 4−2+1= 3，若a与b方向相反，
则b在a上的投影向量的坐标是：|b|csπ⋅a|a|=1×(−1)×12a=(−12,− 32)，故D正确．
故选：ABD．
对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；对于C，结合向量模公式，即可求解；对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，由题知BCBD=1 3，故GH=GA+AE+EH=2BC+BD=(2 33+1)BD，而GH/​/BD，故A正确；
对于B选项，由题知CF=2DE，BE=BD+DE=BD+12CF，故B错误；
对于C选项，GB=GA+AB= 33BD−12CF，故C正确；
对于D选项，因为IC=IB+BC，BC=12BD−14CF，IB= 33BF= 33(BC+CF)= 36BD+ 34CF；
故IC=3+ 36BD+ 3−14CF，故D正确．
故选：ACD．
由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案．
本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】53a−1118b
【解析】【分析】
本题考查了向量的数乘运算和向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的数乘运算和向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解：23[(4a−3b)+13b−14(6a−7b)]
=234a−3b+13b−32a+74b
=23(52a−1112b)=53a−1118b
故答案为：53a−1118b．
13.【答案】3
【解析】解：依题意，na+b=n(1,−1)+(−1,2)=(n−1,−n+2)，
b−mc=(−1,2)−m(−3,3)=(−1+3m,2−3m)，
由(na+b)//(b−mc)，得(n−1)(2−3m)=(−n+2)(−1+3m)，整理得n=3m，
因为m，n不为0，所以nm=3．
故答案为：3．
利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件列式计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算、向量共线定理应用问题，是基础题．
14.【答案】①②③
【解析】解：①，ω=1时，f(x)=sinx−cs2x=2sin2x+sinx−1=(2sinx−1)(sinx+1)=0，
则sinx=12或sinx=−1，可得x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=−π2+2kπ，k∈Z，
显然x=−π2是函数的零点，所以①正确；
②，ω=1时，f(x)=sinx−cs2x=2sin2x+sinx−1=2(sinx+14)2−98，所以当sinx=−14时，函数的最小值为−98，所以②正确；
③，ω=2，函数f(x)=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，
以函数的对称轴方程满足2x−π4=π2+kπ，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，
所以k=0时图象的一条对称轴方程为x=3π8，所以③正确；
④，y= 2sin2x图象向右平移π4个单位长度可得y= 2sin2(x−π4)= 2sin(2x−π2)≠f(x)，所以④不正确．
故答案为：①②③．
①②中，可得函数f(x)的解析式，分别求出函数的零点和对称轴方程，判断出①②的真假；③④中，可得函数f(x)的解析式，判断出③④的真假．
本题考查函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为D是AC的中点，CB=2BE，
所以DE=CE−CD=CB+BE−12CA=CB+12CB−12CA=32CB−12CA=32b−12a；
(2)因为D，E，M三点共线，
所以BM=μBD+(1−μ)BE=μ(CD−CB)+12(1−μ)CB=μ2CA−μCB+12(1−μ)CB=μ2CA+(12−32μ)CB，
因为BM=λBA，所以BM=λ(CA−CB)=λCA−λCB，
由平面向量基本定理可得：λ=μ2−λ=12−32μ，解得λ=14μ=12，
所以λ的值为14；
(3)由(1)知DE=32b−12a，AB=CB−CA=b−a，
因为AB⊥DE，
所以AB⋅DE=(b−a)⋅(32b−12a)=32b2+12a2−2a⋅b=0，
所以a⋅b=34b2+14a2，
所以cs∠ACB=a⋅b|a||b|=34b2+14a2|a||b|=34|b|2+14|a|2|a||b|=3|b|4|a|+|a|4|b|≥2 3|b|4|a|⋅|a|4|b|= 32，
当且仅当3|b|4|a|=|a|4|b|，即|a|= 3|b|时等号成立，
因为∠ACB∈[0,π]，所以∠ACB的最大值π6．
【解析】(1)由平面向量的线性运算计算即可；
(2)由平面向量的线性运算和平面向量基本定理计算可得；
(3)由平面向量的数量积与夹角公式计算可得cs∠ACB=3|b|4|a|+|a|4|b|，再由基本不等式即可求最值．
本题考查平面向量的线性运算和数量积与夹角，平面向量基本定理等，属于中档题．
16.【答案】解：(1)已知cs(α+β)=2 55，tanβ=17，且α、β∈(0,π2)．
所以0<α+β<π，
故sin(α+β)= 55，tan(α+β)=12，
由于tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12，解得tanα=13．
所以cs2β−sin2β+sinβcsβ
=cs2β−sin2β+sinβcsβsin2β+cs2β
=1−tan2β+tanβ1+tan2β=1110．
(2)tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]
=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=12+131−16=1．
由α、β∈(0,π2)，sinα+β>0，csα+β>0，
所以α+β∈0,π2，
所以2α+β∈0,π，
又tan(2α+β)=1，
所以2α+β=π4．
【解析】(1)利用同角三角函数关系式求出结果．
(2)利用两角和的正切公式求出结果．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式和两角和的正切公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：(1)由于a与b的夹角为π4，
所以csπ4=−m1× m2+1= 22，即− 2m= m2+1，解得m=−1，
则a=(−1,0)，b=(−1,1)，a+2b=(−1,0)+(−2,2)=(−3,2)，
所以|a+2b|= 9+4= 13；
(2)由(1)知a=(−1,0)，b=(−1,1)，a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b=1( 2)2(−1,1)=(−12,12)，
即a在b上的投影向量的坐标为(−12,12)；
(3)由(1)知a=(−1,0)，b=(−1,1)，则a+2b=(−3,2)，
a+λb=(−1,0)+λ(−1,1)=(−1,0)+(−λ,λ)=(−1−λ,λ)，
由于a+λb与a+2b所成的角是锐角，
所以(a+λb)⋅(a+2b)>0−3λ≠2(−λ−1)，即：−3(−1−λ)+2λ>0−3λ≠2(−λ−1)，
解得λ>−35且λ≠2，即实数λ的取值范围为(−35,2)∪(2,+∞)．
【解析】(1)由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得m=−1，代入向量坐标计算|a+2b|；
(2)因a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b，代入(1)中求得的a=(−1,0)，b=(−1,1)，计算a⋅b和|b|即得；
(3)根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线，列出不等式组求解即得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b=2cs2x+2 3sinxcsx………………………1分
=cs2x+1+ 3sin2x……3分
=2sin(2x+π6)+1，………………4分
因为f(x0)=115，即2sin(2x0+π6)+1=115，所以sin(2x0+π6)=35，……5分
又x0∈(π6,π3)，所以2x0+π6∈(π2,5π6)，
所以cs(2x0+π6)=−45，………………………6分
所以cs2x0=cs(2x0+π6−π6)，…………………………………7分
=cs(2x0+π6)csπ6+sin(2x0+π6)sinπ6
=−45× 32+35×12
=3−4 310. ……………………8分
(2)由题意知，g(x)=12(2sin(2(x−π6)+π6)+1−1)=sin(2x−π6)，……10分
由g(x)≥12，得π6+2kπ≤2x−π6≤5π6+2kπ,k∈Z，
所以π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，…………………………………………11分
令k=0，得x∈[π6,π2]，令k=−1，得x∈[−5π6,−π2]，
又x∈[−π6,π3]，所以x∈[π6,π3]，
故不等式g(x)≥12，x∈[−π6,π3]的解集为[π6,π3].……………………13分
【解析】(1)由向量的数量积运算及三角恒等变换化简f(x)解析式，利用同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式化简求解即可；
(2)利用三角函数图象的平移变换求出g(x)，再由正弦函数的性质解不等式即可．
本题主要考查向量的数量积运算，三角恒等变换的应用，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(θ)=m⋅n=2sinθcsθ−(2+m)(sinθ−csθ)，
设t=sinθ−csθ= 2sin(θ−π4)，则t∈[− 2, 2],2sinθcsθ=−t2+1，
f(θ)=Q(t)=−t2−(2+m)t+1，t∈[− 2, 2]，其对称轴为t=−1−m2，
当−1−m2≥− 2+ 22，即m≤−2时，g(m)=Q(− 2)=−1+2 2+ 2m；
当−1−m2<− 2+ 22，即m>−2时，g(m)=Q( 2)=−1−2 2− 2m；
综上，g(m)=−1+2 2+ 2m,m≤−2−1−2 2− 2m,m>−2；
(2)假设存在符合条件的实数m，
则依题意有4sinθ−csθ+2m+3>f(θ)，
对所有θ∈(π4,π)恒成立．
设t=sinθ−csθ= 2sin(θ−π4)，则θ−π4∈(0,3π4),t∈(0, 2],
∴4t+2m+3>−t2−(2+m)t+1，t∈(0, 2]恒成立
即(t+2)m>−(t+2)(t+2t)，t∈(0, 2]恒成立，
∵t∈(0, 2],
∴t+2>0
∴m>−(t+2t)，t∈(0, 2]恒成立
令h(t)=−(t+2t)
由h(t)=−(t+2t)在t∈(0, 2]上单调递增
则h(t)max=h( 2)=− 2−2 2=−2 2
∴m>−2 2
所以存在符合条件的实数m，并且m的取值范围为(−2 2,+∞)．
【解析】(1)利用向量的乘积运算求出f(θ)的解析式，求出最小值可得g(m)，根据对称轴，讨论参数的范围分段表示求g(m)；
(2)假设存在符合条件的实数m，则依题意有h(4sinθ−csθ)+h(2m+3)>h(f(θ))，对所有θ∈(π4,π)恒成立．设t=sinθ−csθ，则t∈(0, 2]，利用三角函数的有界限转化为对勾函数的求最值问题，利用不等式的性质即可求出m的取值范围．
本题考查了函数恒成立问题，考查转化思想，解题的关键点是换元思想，利用最值和单调性是解题的关键，是难题．