东北三省四城市联考暨沈阳市2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份东北三省四城市联考暨沈阳市2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，考生将答题卡交回，已知,且,则，正方体中，P为正方形内一点等内容，欢迎下载使用。

沈阳命题：沈阳市第一二○中学 高越
东北育才学校 王海涛
沈阳铁路实验中学 徐嘉龙
沈阳主审：沈阳市教育研究院 王孝宇
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3．考试结束后，考生将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线过点，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知,且,则（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三人从事a,b,c三项工作，乙的年龄比从事C工作的人年龄大，丙的年龄与从事b工作的人的年龄不同，从事b工作的人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ）
A．a,b,c B．c,a,b C．c,b,a D．b,c,a
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ）
A． B． C． D．
7．正方体中，P为正方形内一点（不含边界），记O为正方形的中心，直线与平面所成角分别为．若，则点P在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
8．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四棱锥的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）
A．平面平面
B．侧面内存在无穷多个点P，使得平面
C．在正方形的边上存在点Q，使得直线与底面所成角大小为
D．动点M,N分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
11．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列单调递减
B．若对任意,都有,则
C．若,则对任意,都有
D．若的最大项与最小项之和为正数，则
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．
12．已知函数，则__________．
13．已知,若平面内满足到直线的距离为1的点P有且只有3个，则实数__________．
14．有序实数组称为n维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n维向量,其中,记范数为奇数的的个数为,则__________；__________．（用含n的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角A、B、C所对的边为a、b、c,,角A的平分线交边于点D,且．
（1）求A的值；
（2）若,求的面积．
16．（15分）
已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间和极值；
（3）若对任意,有恒成立，求a的取值范围．
17．（15分）
正四棱台的下底面边长为为中点，已知点P满足,其中．
（1）求证;
（2）己知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为．
（1）求点轨迹2的方程；
（2）点,若点M、N在2上，且直线的斜率乘积为，线段的中点G,当直线与y轴的截距为负数时，求的余弦值．
19．（17分）
入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食，东北人的热情，还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比春运．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，并在平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：．
（1）因为优惠券购买火爆，平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程；（结果中的数值用分数表示）
（2）若购买优惠券的顾客中选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且选择A套餐需要用一张优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记平台累计销售优惠券为n张的概率为,求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列．
①求数列的最值；
②数列收敛的定义：已知数列,若对于任意给定的正数ε，总存在正整数,使得当时，,（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式：．
2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）
数学（参考答案）
一、单项选择题：
1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C
二、多项选择题：
9．ABD 10．BD 11．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12． 13． 14．40； （或）
部分参考答案：
6．,事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”
则，则
【答案】C
7．直线与平面所成角大小分别为等价于直线与直线成角大小分别为，由，可知P在线段上，又，则与成角更小，则点P在线段上
【答案】B
8．由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为,实线部分为,则A,B显然错误，对于C,D而言，由图像可知单调递增，单调递减，所以函数在处取得最大值为1
【答案】C
9．由实系数一元二次方程求根公式知是1的两个立方虚根，
则（与顺序无关），A正确；
因为,所以,B正确；
，C错误；,D正确．
【答案】ABD
10．已知所有棱长都相等，不妨设为1．
A:过S作直线,则为平面与平面的交线，取中点中点F,连接,则为二面角的平面角，连接,在中，
所以平面与平面不垂直，故A错；
B:取中点中点H,连接,可知平面平面,所以当时，平面,这样的点P有无穷多，故B正确；
C:由已知可知当Q在正方形各边中点时，与底面所成的角最大，，所以，所以不布存Q使得与底面成的角为，故出错误；
D:作垂直于,连接,则为二面角的平面角，
当都无限向点B靠拢时，；当时，，
所以二面角范围是，故D正确．
【答案】BD
11．A:，
因为,所以 所以
所以,即数列单调递减，故A正确；
B:
当n为偶数时，,必成立，c任意；
当n为奇数且时，为
等价于
等价于，而,所以．综上，故B错误；
C:显然当i,j同奇或同偶时，必有
当i为奇数，j为偶数时，
因为为奇数，为偶数，,所以，
所以，故C正确；
D:先考虑最大项，最小项和为0，再调整：
若和为0，则c必为相邻两整数正中间，如：
上图是情形，;
当时，会有,如下图——
当时，会有,如下图——
即c靠近偶数时，的最大项与最小项之和为正数，临界值为,故D正确．
【答案】ACD
12．，
13．设点,由得,若该圆上有且只有3个点直线的距离为1，则圆心到直线的距离，解得．
14．根据乘法原理和加法原理得到．
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1,3,5，…，,
根据乘法原理和加法原理得到，
两式相减得到（或）
四、解答题：
15．（1）因为,由正弦定理可得 3分
，所以,故 6分
（2）由题意可知，
即,化简可得, 9分
在中，由余弦定理得
从而,解得或（舍） 12分
所以 13分
16．（1）当时，，则，
所以切线方程为 3分
（2）当时， 4分
令
故在上单调递减，而,因此0是在上的唯一零点
即：0是在上的唯一零点 6分
当x变化时，的变化情况如下表：
的单调递增区间为：；递减区间为： 8分
的极大值为,无极小值． 9分
（3）由题意知,即，即，
设，则， 11分
令,解得，
当单调递增，当单调递减，
所以， 14分
所以． 15分
17．（1）方法一： 1分
2分
,即． 5分
（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h,则有
，
4分
故,所以 5分
（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法）
取中点E,则平面,作,垂足为F,连结,由三垂线定理得,所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为,， 7分
8分
，即 11分
方法二：确定正四棱台的高（空间向量）
设平面的法向量为
设平面的法向量为
则有，即，令,则 8分
又题意可得，可得 11分
因为，经过计算可得 13分
将代入，可得平面的法向量 14分
设直线与平面所成角的为
17分
18．（1）设,则， 3分
消去得所以点轨迹的方程 5分
（2）方法一：
设,直线的方程为
消去y可得：
,即
从而
整理得,即 8分
当时，直线的方程为
当时，直线的方程为,恒过点，不合题意 10分
设,将
将M、N两点代入到椭圆中，两式相减得，
即，故 14分
设与y轴负平轴所形成的夹角为，因为,所以
设与x正半轴所形度的夹角为，因为，所以
17分
方法二：
设,直线的方程为
消去y可得：
从而,故，
将代入直线的方程可得,所以
又,将式点M中的k换成得到
，下面同方法一
方法三：
以为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程，
在新坐标系下设,直线的方程为
将椭圆方程变形可得：
将直线的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得
整理得
即：,所以，故，
直线的方程为，下面同方法一
方法四：
设,直线的方程为
消去y可得：
因为是上述一元二次方程的两个根，所以 ①
又
整理得：
在①式中
令得： ②
令得： ③
可得：整理得,下面同方法一
（以上方法可酌情给分）
19．（1）剔除第10天数据的；
所以
故，所以． 4分
（以上每个新数据求解正确，可给1分）
（2）由题意可知，其中 6分
将此式变形可得
令，解得或 8分
方法一：
当时,则，所以为常数列
首项为，故，
将变形可得
所以是以首项为，公比为的等比数列
故，即 12分
方法二：
当时，则，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故成立，
则有成立，
累加可得
故，即 12分
（3）解答：
①当n为偶数时，单调递减，最大值为；
当n为奇数时，单调递增，最小值为；
综上：数列的最大值为，最小值为． 14分
②证明：对任意总存在正整数，（其中表示取整函数）
当时，
17分
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）
1.90
1.98
2.20
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.70
0.40
0
+
0
-
↗
极大值
↘