江西省重点中学盟校2024届高三下学期第一次联考试题 数学

这是一份江西省重点中学盟校2024届高三下学期第一次联考试题 数学，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，为复数的共轭复数,复数满足，则
A.1 B. C. D.
3.某工厂随机抽取名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的
分位数是
A. B. C. D.
4.已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为
A． B． C． D．
5.某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为
参考数据：，
A．455 B．1359 C．3346 D．1045
6.核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率．已知某被测标本扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率约为
(参考数据：)
A. B. C. D.
7.过圆：上的动点作圆：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，若，则
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.在的展开式中
A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大
C．所有项系数之和为 D．不含常数项
10.已知函数的最小正周期为，则
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C.在上单调递减
D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11.如图，在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，恒有，设的前项和为，则
A.为等比数列 B.
C.为等差数列 D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，则与夹角为 .
13.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数
字密码时，打算将自然常数的前位数字进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个相邻，两个不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有 个.(用数字作答)
14.如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为4，则其外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，
，.
（1）设点为棱的中点，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
16.（本小题满分15分）
某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
（1）求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
（2）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
17.（本小题满分15分）
如图，在中，的平分线与边交于点，且.
（1）若，求的面积.
（2）求的最小值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的方程为，由其个顶点确定的三角形的面积为，点在上，为直线上关于轴对称的两个动点，直线与的另一个交点分别为.
（1）求的标准方程；
（2）证明：直线经过定点；
（3）为坐标原点，求面积的最大值.
19．（本小题满分17分）已知函数，其中.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的极值点的个数；
（3）若对任意的，关于的方程仅有一个实数根，求实数的取值范围.
江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考
数学试题答案及评分参考
1-8 9. 10. 11.
12. 13. 14.
8.令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，令，得，所以，或，若，解得与已知矛盾，所以，即，解得.
令，得，所以，
即有，所以，从而，所以函数的周期为，
故.故选.
另解：令，满足题目条件，则，选.
11.设交于点，则，即，
故，
由于三点共线，故存在实数，使得，
即得，
故，整理得，即，则，即，
而，故是首项为，公差为的等差数列，正确；
则，故，，正确；
又常数，故不为等比数列，错误；
运用错位相减法可求得，正确，故选.
14.如图，由题意可知旋转角度为，设上、下正方形的中心分别为，
连接，则的中点即为外接球的球心，其中点为所在棱的中点，
即为该几何体的外接球的半径，，
过点作于点，则，
. 易得四边形为矩形，即，则，即，，即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为.
15.（1）设为的中点，连接.
在中，点为棱的中点，，-------------------------2分
因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，---------------------------------------4分
因为平面，平面，所以平面.-------------------6分
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，
.设平面的一个法向量为，则有，
令，则，得.------------------------------------------------------------------------------------9分
，设平面的一个法向量为，则有，
令，则，则，------------------------------------------------------------------------------------11分
设平面与平面的夹角为，有，
所以平面与平面的夹角大小为.------------------------------------------------------------------------------13分
件数
7
8
9
10
11
人数
6
14
10
8
2
16.（1）取值可能为，，，，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分
所以的分布列为
．-------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率为，乙获得分的概率为．----------------------------------------------9分
在3局比赛中，乙获得30分的概率为；
在3局比赛中，乙获得20分的概率为；
在3局比赛中，乙获得10分的概率为，------------------------13分
所以乙最终获胜的概率为．------------------------------------------------15分
17.（1）在中，，所以，
又是的平分线，所以，
故，-----------------------------------------------------------2分
在中，，
故，--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
所以的面积；-----------------------------------------------------6分
（2）设，则，
所以，解得，--------------------------------------------------------------------------------------7分
在中，根据正弦定理，得，
得，---------------------------------------------------------------------9分
所以 ------------------------------------------------------------------------------------------11分
---------------------------------------------------------------------------------14分
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为. ----------------------------------------------------------------------------------15分
18.（1）由题意知，解得，
所以椭圆的方程为.------------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）直线的斜率必存在，设其方程为.
消去得，
由得.
设，则，（*）----------------------------------------6分
直线的方程为，令，得，同理，
由，又，
代入得，---------------------------------------------------------------9分
将（*）式代入并整理.
因为直线不过，故不成立，所以，此时直线的方程为，经过定点.---------------------------------------------------------------------------------------------------11分
（3）由， ，
所以，
又点到直线的距离为，
所以，--------------------------14分
令，则，当，即时取等，所以的面积的最大值为.--------------------------------------------------------------------------------17分
19.（1）当时，，，，所以函数的图象在处的切线方程为，即.---------------------------3分
（2），令，得，则.-----------4分
当时，，此时，故函数在上单调递增，没有极值点；--------------------------------------------------------------------------------6分
当时，，令，则，则，则当时，，当时，，当时，，此时函数有两个极值点.
综上所述，当时，函数没有极值点；当时，函数有两个极值点.----------------------------------------------------------------------------9分
（3）依题意，，记，.
（i）由（2）知当时，，则函数在上单调递增；可知当时，，当时，，故当时，函数恰有一个零点，方程仅有一个实数根，此时.-------------------------------------------------------11分
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，，则，
所以，
，
因为当，当，故只需或，-------14分
令，则，故当时，，当时，
，又，又，故，
，所以，故.
综上所述，实数的取值范围为.--------------------------------------17分
0
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